«Системный подход к обучению решению геометрических задач с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»

«Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»

(ОГЭ, задание №26, ЕГЭ, задание №16)

Подготовила слушатель курсов повышения

квалификации ГАУ ДПО БИПКРО

«Современный урок в логике ФГОС»

Коростина И.С., учитель математики

МБОУ «Гимназия №7 имени Героя

России С.В.Василева» г. Брянска

Брянск, 2019г.

Актуальность темы:

Задачи на данную тему представлены на экзаменах в 9-х и 11-х классах. При их решении выпускники испытывают наибольшие затруднения. Многие из них даже не приступают к решению. Данная тема выходит за рамки школьной программы. В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а появляется как вспомогательная фигура, именно, поэтому знание свойств вневписанной окружности помогает решать различные геометрические задачи.

Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Подготовительные задачи на свойства вневписанной окружности.

З адача 1. Дан ABC. Центры вневписанных окружностей O₁, O₂ и O₃  соединены прямыми. Доказать, что  O₁O₂O₃ — остроугольный.

Решение: Центр O₁ вневписанной окружности, касающейся стороны BC, является точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B и C. Поэтому 

∠O₁CB =    и ∠ O₁BC =   . Следовательно, ∠BO₁C =    ^o.

Задача 2. Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

Решение: Пусть O₁ и O₂ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC соответственно; O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Поскольку точкиO₁ и O₂ расположены на биссектрисах вертикальных углов с вершиной A, то прямая O₁O₂ проходит через точку A.∠ O₁AO – это угол между биссектрисами смежных углов, поэтому  ∠O₁AO = 90°.

Задача 3. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Решение: BD – биссектриса внешнего угла ∠B. Треугольник CBD – равнобедренный, поэтому  ∠GCD = ∠BDC = ∠DCB  (G – точка на продолжении отрезка AC за точку C), то есть CD – биссектриса ∠C.  D –точка пересечения биссектрис BD и CD, она, как известно, является центром вневписанной окружности.

Задача 4. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны. а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение:

а) Вневписанной окружностью называется окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Пусть ∠А = ∠С = α, так как треугольника ∆АВС — равнобедренный. ∠DBC – внешний угол треугольника ∆АВС, поэтому ∠DBC = ∠А + ∠С = 2α. Окружность касается сторон угла ∠DBC, значит, ВО – биссектриса угла ∠DBC, т. е. угол ∠DBО = ∠ОBC = α. Получаем, что ∠DBО = ∠А = α. Соответственные углы ∠DBО и ∠А при пересечении прямых ВО и АМ секущей AD равны, то прямые ВО и АМ параллельны. BH – высота треугольника ∆АВС, следовательно, BH перпендикулярна АМ. АМ – касательная к окружности, следовательно, ОМ перпендикулярна АМ (ОМ – радиус окружности). Значит, ВН || ОМ. Получаем, ВОМН – прямоугольник. Следовательно, радиус окружности равен высоте треугольника, опущенной на основании, т. е. R = BH.

б) Пусть радиус вневписанной окружности ОМ = R, а радиус вписанной в треугольник окружности QK = QH = r. Тогда по условию R = 4r. Треугольники ∆АВН и ∆QВК – подобные треугольники (∠В – общий, ∠ВКQ = ∠ВНА), следовательно,

AB=

BH = OM = R = 4rQB = BH – QH = 4r – r = 3r

Из прямоугольного треугольника ∆QBK по теореме Пифагора найдем BK:

BK² = QB² – KQ²⁼(3r)² – r² = 8 ^.BK = 2√2r.

AB= AK = AB – BK=3√2r – 2√2r = √2r. Тогда отношение, в котором точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону, равно Ответ: .

Задача 5 . Найдите периметр треугольника ABC, если расстояние от вершины A до точки касания с вневписанной окружностью равно 17, расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины C до точки касания окружности со стороной AC равно 4.

Р ешение:

1)Рассмотрим

a)Т.к.BL=B =6 (как отрезки касательных, проведенных из одной точки), то AB=A -B =AB=17-6=11. b) Т.к. CL=C =4 (как отрезки касательных, проведенных из одной точки), то BC=BL+LC =BC=6+4=10.c)Т.к. A =A =17(как отрезки касательный, проведенных из одной точки), то AC=A -C =AC=17-4=13

2) P=AB+BC+AC = P=11+10+13=34 Ответ: 34.

Задача 6. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001.

Решение:

Т .к. сумма величин обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно

, то составим равенство: =

= .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Вневписанная окружность касается боковой стороны равнобедренного треугольника АВС. Доказать, что высота треугольника АВС, опущенная на основание, равна радиусу вневписанной окружности. В каком отношении точка касания вписанной в треугольник АВС окружности делит его сторону ВС, если радиус, вписанной в треугольник АВС окружности в 4 раза меньше радиуса вневписанной окружности. (Задача №16 ЕГЭ 2016г.) Ответ:1:2.

Задача 2. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? (Задача №16 ЕГЭ 2016г.) Ответ: .

Задача 3. Дана трапеция АВСD, основания которой ВС=44, АD=100, АВ=СD=35. Окружность касается прямых АD и ВС, касается стороны СD в точке К. а)Докажите, что Ас=75. б)Найдите длину отрезка СК.(20 вариантов текстов ЕГЭ 2019Ященко. Тематическая рабочая тетрадь. Диагностическая работа №2. Задача № 16). Ответ 5 или 30.

Задача 4. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Ответ: 10/3.

Задача 5. Точка О ₁ - центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О ₂ – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О ₁ и О ₂ , если радиус описанной окружности треугольника АВС равен 6, а sin 1С = √5/3. ( Сборник « Математика. Все для ЕГЭ 2011». Часть I. Автор Д. А. Мальцев). Ответ: 16.

Задача 6. В равнобедренном треугольнике ABC основанием AB = 24 длины боковых сторон равны 37. Найдите радиус окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC, BC за точки A и B соответственно. (сборник «Подготовка к ОГЭ-2019, под редакцией Д.А. Мальцева). Ответ: 16,8.

Задача 7. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная , которая параллельна основанию AB и пересекает боковые стороны AC, BC в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если MN = 20, CM = 26. (сборник «Подготовка к ОГЭ-2019, под редакцией Д.А. Мальцева) Ответ: 1215.

Задача 8. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6.(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Ответ:225 √7 /8.

Задача 9. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. .(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко). Ответ: 5460 .

Задача 10. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника со сторонами 13, 13, 10. (ЕГЭ-2015, система задач по геометрии Р.К.Гордина) Ответ: r_a = 7,5; r_b = 12; r_c = 12.

Задача 11. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если СN=4 и АМ : МС как 1:3.

(вариант 36, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018). Ответ:7.

Задача 12. Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. (вариант 3, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2015). Ответ:68,75.

Задача 13. Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности , точки С и D - на второй . При этом АС и ВD - общие касательные окружностей . Найдите расстояние между прямыми АВ и СD . (вариант 17, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2015). Ответ:39.

Задача 14 . Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 23. Найдите расстояние между их центрами. (ЕГЭ - 2015. С.4).Ответ: 34 или 30 .

Задача 15 . В окружность с центром в точке О вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что АС=ВD. Точка Е – середина дуги АСВ.

а) Докажите, что угол СЕD= 90^0.

^{б) Найдите площадь пятиугольника АОDЕС, если известно, что АВ=13, АС = 5.}

^{(Тренировочные работы №6, т/р №167 А.Ларина). Ответ: 36.}

З

3