Системы линейных неравенств и решение экономических задач

Системы линейных неравенств и решение задач

Подготовила: Литовченко Валерия

Учитель: Иванченко Ирина Алексеевна

Цель и задачи

• Цель: Узнать, что такое системы линейных неравенств и применить их к решению задач
• Задачи: Рассмотреть историю линейных неравенств
• Изучить способы решения линейных неравенств
• Показать применение линейных неравенств в решении задач

(больше), С помощью неравенств задаются основные числовые множества, формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов, оценить их количество, провести классификацию. " width="640"

Линейные неравенства

• Неравенство – это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: (больше),
• С помощью неравенств задаются основные числовые множества, формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов, оценить их количество, провести классификацию.

История

• Исследование неравенств с множеством переменных началось примерно в XVIII веке, но было отрывочным и беспорядочным. Систематическое изучение систем линейных неравенств началось в самом конце 19 века, но о теории линейных неравенств стало возможно говорить лишь в конце двадцатых годов 20 века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов и исследований.

Пример 1

• Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение

• Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки.
• а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Решение

• Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство:
• Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству . Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями:

Решение

• б) Решим неравенство . Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность . Проводим сплошную линию, так как неравенство нестрогое.
• Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится.

Решение

• Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

• Получено верное неравенство, значит,точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая

Пример 2

• Рассмотрим одно неравенство с двумя переменными и :
• где коэффициенты при переменных (некоторые числа), - свободный член (также некоторое число).

Решение

• Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой
• которую назовём граничной прямой.

• Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства
• Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.
• Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Решение

• Найдём пересечение с осью :
• Подставляя значение в первое уравнение, получаем , откуда .
• Таким образом, нашли абсциссу точки A .
• Найдём координаты точки пересечения с осью
• Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:
• Решение:
• следовательно, координаты точки B: .

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

• ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ – задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных. В отличие от математических, Э.з. не всегда удается формализовать, свести только к расчету Их решение сопровождается поиском недостающих данных, экспертными оценками, обсуждением, принятием решений.

Пример 3

• Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95% от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число машин.

Решение

• Обозначим через х количество машин, производимых в сутки первым заводом. Тогда второй завод до реконструкции производил в сутки машин, а после ввода дополнительной линии стал выпускать машин. Из условия задачи следует система неравенств:

Решение

• Множество решений этой системы есть промежуток , т. к. числа и должны быть целыми, то х должно делиться на 100 и быть из указанного промежутка, поэтому х = 900. Следовательно I завод выпускает в сутки 900 автомобилей, а II завод до реконструкции выпускал автомобилей.
• Ответ: 900 и 885.

Задача 4

• Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?
• 1. Составление математической модели.
• х л/час – производительность первой трубы;
• у л/час – производительность второй трубы;
• V л – объем бассейна.

Решение

• Тогда условие задачи можно записать следующим образом

• t = V/x, T = V/y. Тогда систему можно переписать так

Решение

• 1) Из второго уравнения имеем t = 20 – 2T.
• 2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T
• 3T2 - 34 T + 80 = 0.
• Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3.
• 3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются
• Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.
• Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая – за 8 часов.
• Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача 5

• На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.

Решение

• Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде,
• у км - расстояние от пристани А до пристани В.
• ч – время движения катера из В в С,
• - время движения катера из В в С и обратно из С в А против течения.
• По условию

Решение

• Работа с математической моделью.

4. Получим, что 4 Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч. Ответ: (4; 12] км/ч. " width="640"

Решение

• Применим метод интервалов, учитывая, что x 4.

• Получим, что 4
• Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч.
• Ответ: (4; 12] км/ч.

Заключение

Системы линейных неравенств находят себе применение во многих отраслях науки. В физике они применяются в теории электрических цепей, имеют особо важное значение для экономистов, т. к именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и в расчете бюджетов и наиболее выгодных вариантов ведения торговли. Геометрическая модель системы помогает рассчитать и описать национальный доход государства, наглядно показать импорт и экспорт товаров и ресурсов, рассчитать средне годовой национальный доход государства.

источники

• www.hintfox.com/article/spolzovanie-neravenstv-pri-reshenii-ekonomicheskih-zadach.html
• mathprofi.ru/lineinye_neravenstva.html
• https://4ege.ru/matematika/53328-metody-resheniya-ekonomicheskih-zadach.html
• https://открытыйурок.рф/статьи/565934/