Сюжетные задачи в ЕГЭ

Межрайонная научно-практическая конференция

Шаг в будущее

Секция: Математика

Научно-исследовательская работа:

«Сюжетные задачи в ЕГЭ»

Автор: Карпюк Мария Васильевна

Ученица 11а класса, МБОУ «Лицей №6»

Руководитель: Любинецкая Ирина Владимировна учитель математики

Содержание:

1. Введение

2. Основная част

• Задача 1

• Задача 2

• Задача 3

1. Заключение

Введение

Актуальность

Обучаясь в 11 классе, каждый задумывается о сдаче экзаменов. И конечно, многие стремятся к получению 100 баллов, но этого достичь не так уж и просто. Во второй часть у заданий разный уровень сложности, и за каждое из них дают разное количество баллов. Одним из самых интересных заданий является №19. В нем необходимо применять не только математические знания, но и нестандартное мышление. Именно поэтому это задание можно сравнить с олимпиадным. Разочаровывает то, что не многие из ребят приступают к выполнению данного задания, считая его сложным. Однако решить эти задания возможно, что я и хочу показать в своей работе.

В прошлом году ученик из нашей школы представлял работу «Теория чисел в заданиях ЕГЭ или Хочу знать все», в своей работе он изучал под тему задания №19 «Числа и их свойства». Его работа заинтересовала меня, именно поэтому я хочу изучить еще одну под тему задания №19.

Гипотеза моего исследования заключается в том, что существуют методы решений этих задач, посильные большинству учеников.

Предмет исследования: методы решения некоторых заданий №19 ЕГЭ.

Цели и задачи:

Цель проекта: Повышение интереса к задачам повышенного уровня сложности.

Задачи:

1. Изучение типовых задач №19 ЕГЭ.

2. Изучения методов их решения.

3. Проведение самостоятельной работы с целью проверки уровня подготовки учеников.

4. Создания методической книжки.

5. Проведение урока, предназначенное для помощи подготовки к ЕГЭ.

Основная часть

19 задание (С7) «Числа и их свойства» делятся на несколько типов:

1. Числа и их свойства

2. Числовые наборы на карточках и досках

3. Последовательности и прогрессии

4. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки веревки и др.

В своей работе я бы хотела разобрать сюжетные задачи. Также в своем классе я провела самостоятельную работу, результаты которой представлены на экране:

Задание 1

Положим s = n + m, тогда Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.

а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Решение.

а) Например, можно купить 14 красных и 18 синих карандашей:

14 · 17 + 18 · 13 = 472 (руб.).

б) Дешевле всего 35 карандашей будут стоить, если купить наибольшее возможное число синих карандашей и наименьшее возможное число красных, то есть если купить 15 красных и 20 синих, поскольку если красных меньше 15, то синих больше 20, и в этом случае разность между числом красных и синих больше чем 5. Но тогда стоимость покупки

15 · 17 + 20 · 13 = 515 (руб.),

что больше, чем имеющаяся сумма 495 рублей.

в) Пусть n и m —число синих и красных карандашей соответственно. Тогда

Следовательно,  откуда 

Можно купить не больше 33 карандашей. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s = 33. При m = 14, n = 19 получаем

14 · 17 + 19 · 13 = 485

Значит, наибольшее возможное число карандашей 33.

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

Задание 2

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Решение.

а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше  Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку  но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

значит,  Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна 

Ответ: а) да: б) 10; в) 

Задание 3

После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство. На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены ― нецелым числом?

в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы?

Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 15 человек не поняли доказательство (большая часть класса), а затем их осталось 14 (меньшая часть).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами понявших и не понявших, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 24 ученика, из которых ровно 6 поняли доказательство. Тогда исходно процент понявших ― 25, а после перемены, когда понявших станет 7, процент понявших будет нецелым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 3 ученика из 30 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество так и не понявших доказательство равно k. Очевидно, k не превосходит (n − 1), ведь один ученик понял доказательство на перемене. Тогда искомый процент равен  Чтобы это число было как можно большим, требуется максимизировать дробь  при условии, что 

Докажем, что наибольшее значение дроби  равно 96. Результат 96 достигается, если  Если  то очевидно, что 

Далее, разберем случаи 

1) n = 26. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 13, что возможно только при k = 13, а 

2) n = 27. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 27, что возможно только при k = 0.

3) n = 28. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 7, что возможно только при k не большем 21, а 

4) n = 29. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 29, что возможно только при k = 0.

5) n = 30. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 3, что возможно только при k не большем 27, а 

Таким образом, 96 — наибольшее целое значение искомого процента.

Ответ: а) да; б) да; в) 96.

г.Северобайкальск

2017