Содержание модели межотраслевого баланса. Технологическая матрица как основа МОБ

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица – таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное . Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

(2.1)

Итак, коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

С учётом формулы (2.1) систему уравнений баланса можно переписать в виде:

,

или

(2.3)

если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

, ,

то система уравнений (2.3) в матричной форме примет вид (1,238):

(2.4)

данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”.

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли ( ):

(2.5)

(при этом E обозначает единичную матрицу n-го порядка).

• задав величины конечной продукции всех отраслей ( ), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли ( ):

(2.6)

(при этом обозначает матрицу, обратную ).

• для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.4), а системой линейных уравнений (2.3).

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Переписав матричное уравнение в виде:

, можно сделать следующие выводы:

Если матрица невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю), тогда имеем:

.

Обозначим обратную матрицу

Эта матрица называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (2.6) теперь запишется как:

(2.7)

Элементы матрицы В будем обозначать через , тогда из матричного уравнения (2.7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:

В отличие от коэффициентов прямых затрат коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы , будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

…

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:

…

Следовательно, каждый элемент матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях и .

Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица А называется продуктивной, если:

1. все главные миноры матрицы положительны;

2. необходимое: хотя бы для одного j;

достаточное: для любого ;

1. выполняется условие для всех собственных чисел матрицы А.

Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений, прежде всего, следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.