Способы доказательства теоремы о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника

Различные способы доказательства теоремы о средней линии треугольника

S  ABC

S  A 1 B 1 C 1

Равные треугольники

В

Теорема косинусов

Параллелограмм

А

С

Теорема Вариньона

Координаты

Подобные треугольники

Векторы

Дано:

 АВС

М  АВ

АМ = МВ

N  BC

BN = NC

• MN = 0,5AC
• MN ║ AC

В

M

N

A

С

 MBN   АВС

 B – общий

BM BN 1 BA BC 2

MN = 0,5AC

MN ║ AC

=

=

 АВС   А 1 В 1 С 1 (по 2 сторонам и углу между ними), треугольники имеют по равному углу, значит

Дано:

 АВС

А 1 ,В 1 ,С 1 -серед.

сторон  АВС

АВ 1 =0,5АВ

АС 1 =0,5АС

AB  AC

S  АВС

=

A

АВ 1  АС 1

S  А 1 В 1 С 1

AB  AC

S  АВС

C 1

B 1

=

= 4

В 1 С 1 ║ ВС

В 1 С 1 = 0,5 ВС

S  А 1 В 1 С 1

0,5  АВ  0,5  АС

S  АВС = 4 S  А 1 В 1 С 1

S  АВ 1 С 1 = 0,25 S  АВС

Аналогично:

 ВА 1 С 1   АВС S  ВА 1 С 1 = 0,25 S  АВС

 СА 1 В 1   АВС S  СА 1 В 1 = 0,25 S  АВС

C

B

H

А 1

K

S  А 1 В 1 С 1 = 0,25 S  АВС

Треугольники  А 1 В 1 С 1 и  А 1 В 1 С имеют равные основания и площади, поэтому их высоты равны. С 1 К = В 1 Н С 1 КНВ 1 – прямоугольник В 1 С 1 ║ ВС S  А 1 В 1 С 1 = S  ВА 1 С 1 (их высоты равны)

С 1 В 1 = ВА 1 , ВА 1 = А 1 С В 1 С 1 = 0,5 ВС

В

Дано:

 АВС

М  АВ

АМ = МВ

N  BC

BN = NC

• MN = 0,5AC
• MN ║ AC

M

N

A

С

MN 2 = BM 2 + BN 2 - 2  BM  BN  cosB

AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2  AB  AC  cosB =

= 2 2  BM 2 + 4  BN 2 - 2  4  BM  BN  cosB =

= 4(BM 2 + BN 2 - 2  BM  BN  cosB).

AC 2 = 4  MN 2

MN = 0,5  AC

MN ║ AC

В

b

N

М

m

n

С

А

c

a

О

Дано: Пусть O произвольная точка плоскости.

ABC m = 0, 5 * (a + b)

MN – ср. линия n = 0, 5 * ( b + c )

MN = 0, 5 AC MN = - m + n = n – m = 0,5b + 0,5c – 0,5a + 0,5b =

MN ║ AC = 0,5( с - a)

AC = с - a

MN = 0, 5 ( с - a)

MN = 0, 5 AC MN = 0, 5 AC

MN ║ AC MN ║ AC

Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

ABCD – Выпукл. Четырехуг. KL – средняя линия  ABC

K , L , M , N – Середины KL ║ AC

сторон KL = 0,5 AC

KLMN – Параллелограмм MN – средняя линия  ACD

MN ║ AC

MN = 0,5AC

KL ║ MN KL=MN

KLMN – параллелограмм

B

K

L

С

A

M

N

D

Дано:

 АВС М Є АВ АМ=МВ N Є BC BN=NC

1)MN=0,5AC 2)MN ║ AC

1)DC ║ AB, MN∩CD=D

2) Рассмотрим  MBN и  NDC  1=  2-верт.  5 =  6 -накр. леж. BN=NC – по условию

 MBN =  NDC (по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам

BM = CD

3) Рассмотрим  AMC и  MDC MC – общая AM=DC  5 =  6 ( т.к. С D ║ AB)

 AMC =  MDC ( по 2-ум сторонам и углу между ними

MD=AC MN=0,5MD MN=0,5AC

4)  AMC =  MDC

5

 3 =  4

1

MN ║ AC

4

2

7

8

6

3

В (X 3 ;Y 3 )

Дано:

 АВС М Є АВ АМ=МВ N Є BC BN=NC

1)MN=0,5AC 2)MN ║ AC

M

N

С (X 2 ;Y 2 )

A(X 1 ;Y 1 )

M((X 1 +X 2 )/ 2;( Y 1 +Y 2 )/2)

N ((X 2 +X 3 )/ 2;( Y 2 +Y 3 )/2)

MN 2 =((X 1 +X 3 -X 2 -X 3 )/2) 2 +((Y 1 +Y 3 -Y 2 -Y 3 )/2) 2 =

=((X 1 +X 2 )/ 2 )) 2 +(((Y 1 +Y 2 )/2)) 2

MN= √ 0,5 (X 1 +X 2 ) 2 +(Y 1 +Y 2 ) 2

AC= √ (X 1 +X 2 ) 2 +(Y 1 +Y 2 ) 2

MN=0,5AC

MN ║ AC по теореме Фалеса

Е

В

Дано:

 АВС М Є АВ АМ=МВ N Є BC BN=NC

1)MN=0,5AC 2)MN ║ AC

3

2

N

M

1

4

A

К

С

1)NK ║ AB

BE ║ AC

2)  1=  2-верт.

 3=  4-накр. леж.

По пост. АВЕК-параллелограмм

 BNE=  KNC ( по стороне и 2-ум прилежащим углам

KN=NE и BE=KC

3) AB=KE; AM=MB KN=NE

AM=NK

MB=NE

4) ANMK- параллелограмм

5) MN=0,5AC ( т.к. AK=0,5AC)

AK=MN и MN ║ AK

Дано:

 АВС

М  АВ

АМ = МВ

N  BC

BN = NC

• MN = 0,5AC
• MN ║ AC

В

M

N

A

С

MN = MB + BN

MN = MA + AC + CN

2MN = O + AC + O

MN = 0,5 AC MN AC

MN = 0,5AC

MN ║ AC

II

I