Справочник по теме " Прямоугольный треугольник"

№№

Название тематических разделов

Произвольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

1.

Элементы треугольника

Три угла и три стороны

Гипотенуза и два катета. Прямой угол и два острых угла

а

Стороны равны и углы по 60⁰

2.

Признаки равенства треугольников

Вывод: Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов: высот, биссектрис, ме­ди­а­н, ра­ди­у­сов впи­сан­ных и опи­сан­ных окруж­но­стей и т.д.

1 при­знак: Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка и угол между ними равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

2 при­знак: Если сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но сто­роне и двум при­ле­жа­щим к ней углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

3 при­знак: Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны трем сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

1 при­знак: Если катеты одного пря­мо­уголь­ного тре­уголь­ни­ка равны катетам другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны.

2 при­знак: Если катет и острый угол од­но­го прямоугольного тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но катету и острому углу другого прямоугольного тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

3 при­знак: Если гипотенуза и острый угол од­но­го прямоугольного тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но гипотенузе и острому углу другого прямоугольного тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

4 при­знак: Если гипотенуза и катет од­но­го прямоугольного тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но гипотенузе и катету другого прямоугольного тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

1 при­знак: Если угол и боковая сторона одного равнобедренного треугольника равны углу боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то

треугольники равны

2 при­знак: Если угол и основание одного равнобедренного треугольника равны углу основанию другого равнобедренного треугольника, то

треугольники равны

3 при­знак: Если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то

треугольники равны

При­знак: Если одна из сторон одного равностороннего треугольника, равна стороне другого треугольника, то треугольники равны.

3.

Признаки подобия треугольников

1 при­знак:. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2 при­знак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3 при­знак: Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1 при­знак: Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны

2 при­знак:. Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны

3 при­знак: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

1 при­знак: Если равнобедренные треугольник имеют равные углы между боковыми сторонами, то такие треугольники подобны.

2 при­знак: Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между основанием и боковой стороной, то такие треугольники подобны.

3 при­знак: Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника пропорциональны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны.

Любые равносторонние треугольники подобны.

4.

Свойства треугольников

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1

2. Биссектриса треугольника разделяет противополжную сторону на отрезки пропорциональные сторонам угла. y:b=x:a

3.Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

4.Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

5.Сумма углов треугольника равна 180 º .

1.Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов

2. В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

3. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30 градусов.

4. В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы и равна радиусу описанной окружности

5. Если в прямоугольном треугольнике угол равен 45⁰, то треугольник равнобедренный

6. пропорциональные отрезки

а=

h =

2.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3 В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Средние линии проведённые параллельно к боковым сторонам образуют ромб.

6. Все замечательные точки лежат на биссектрисе (медиане, высоте) проведённой к основанию.

7. В равнобедренном треугольнике

- биссектрисы, высоты, медианы, проведенные из вершин при основании, равны;

1.Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

2. Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

3.Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей

4. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин

5.

Окружность вписанная в треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность .

Её центром является точка пересечения биссектрис треугольника

Формула нахождения радиуса:

p=

Формула нахождения радиуса:

r=1/2 (a + b –c)

Формула нахождения радиуса:

r =

1.Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности.

2. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе:

R+ r= h.

3.Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Формула нахождения радиуса :

r = 1/2R =

6.

Окружность описанная около треугольника

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров .

Формулы нахождения радиуса:

R =

R=

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен:

1. Половине гипотенузы.

2. Медиане, проведенной к гипотенузе.

Формула нахождения радиуса:

R = ½ c

Центр окружности лежит высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Формула нахождения радиуса:

1.Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

Формула нахождения радиуса:

R =

7.

Формулы площадей треугольников

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

S = ½ ah_a

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

S =1/2ab sin

3. Нахождение площади произвольного треугольника по формуле Герона.

S=

P = ½( a + b +c)

4. S =

5. S= 1/2Pr

1.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

S= 1/2ab

1. S =1/2a² sin

2. S=

P = ½( 2а +c)

S =

8.

Основные формулы

1.Теорема косинусов:

a² = b²+c² - 2bc cosα

b² = a²+c² - 2ac cosβ

c² = b²+a² - 2ab cosγ

2.Теорема синусов:

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R

3.Длина медианы:

m_b =

4.Длина бессектрисы:

l_a

1. Теорема Пифагора:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

АС² + ВС² = АВ²

2. sinA=a/c

cosA=b/c

tgA=a/b

ctgA=b/a

3.Длина медианы:

m_a² + m_b² = 5 m_c² = 5/4c²

4.Пропорциональные отрезки прямоугольного треугольника:

h² = a_c b_c

a²=a_c c

b²= b_c c

9.

Задачи, с практическим содержанием

Задача: Стороны треугольника равны 5 и 6. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение: S=1/2*ab*sin a. Подставим значения: S=1/2*5*6*sin 60=15√3/2

Ответ: S=15√3/2

Задача: в треугольнике ABC , a=6, b=8, c=10. Найти площадь треугольника.

Решение: для вычисления площади, сначала нам нужно найти полупериметр данного треугольника: p=a+b+c/2. Подставляем: p=6+8+10/2=12

Теперь найдём площадь: S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√12(12-6)(12-8)(12-10)=√576=24

Ответ: S=24

Задачи :

№1 .Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30⁰. Боковая сторона треугольника равна 5. Найдите площадь этого треугольника. 

Решение:

Известно, что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.

Используем формулу для нахождения площади:

*Площадь треугольника равна половине произведения двух соседних сторон на синус угла между ними.

В данном случае:

S=1/2AC*BC*sin c =1/2*5*5*sin 30=1/2*25*1/2=6,25

Ответ: S = 6,25

№3 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника .

Решение :Если опустить высоту на основание то она делит основание на две равные части по теореме Пифагора:

CD=4

S=1/2*АB*CD=1/2*6*4=6/2*4=3*4=12

Ответ: S=12

10.

Задачи

Задача 1.

Через вершину С треугольника АВС проведена прямая параллельная его биссектрисе АА1, и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите,что AC=AD.

Решение:

1 Способ:

1.)угол 3=углу 1(т.к.накрест лежащие, при DC||AA1)

2)угол4=углу 2(т.к они соответственные при DC||AA1)

3) угол 3=углу 1=углу2=углу 4

Тогда треугольник DCA – равнобедренный т.е. AC=AD ч.т.д

2Способ:

1. DC||AA1,тогда угол 3 = углу 1(накрест лежащие)

2. Угол САВ - внешний для треугольника DCA.

Угол САВ=угол 4+угол 3, но угол САВ=угол1+ угол2 

Угол 1+угол 2=угол 4+угол 3, с учетом п.1 заключаем, что угол 4= углу 2

3)тогда угол 3=углу 1=углу 2=углу 4, угол 4 = углу 3 , треугольник DCA равнобедренный т.е. АС=AD ч.т.д.

Задача 2.

Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины треугольника, делят этот угол на три равные части. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Решение:

Треугольник АСВ, СМ – высота ,CN- медиана ,т.е.AN=NB.

1 Способ:

1.)треугольник АСМ=NCM- прямоугольные , т.к. СМ - общая, угол 1 = углу 2.

2) Из равенства

треугольников следует: AM=MN и AC=CN.

3) Т.к. CN - медиана ,т.е. AN = NB. То MC=0.5AN=0.5NB.

4) Проведем NK, NK перпендикулярно ВС.

5) треугольник CMN= треугольнику CNK – прямоугольные, CN – общая,

угол2 = углу 3, MN=NK=0.5NB.

6) треугольник NKB : угол NKB – 90° . NK=0.5NB,тогда угол NBC=30°.

7) треугольник СМВ : угол MCB= 90°- 30°=60°. то угол 2=30° н угол 1=30°. Следовательно угол ACB = 90° .

2 способ:

1) Очевидно треугольник AСМ подобен треугольнику АВС. Из подобия треугольников следует угол 1= углу ACM = углу B

2) треуг.САМ = треуг.CNM - прямоугольные (общая сторона СМ, угол l = углу 2). Тогда AC=CN. Отсюда, треугольник ACN - равнобедренный.

3) треуг.ACN : СМ - биссектриса, высота, медиана. Следовательно,

1. В прямоугольном треугольнике СМВ :CN - биссектриса угла MCB.

По свойству биссектрисы треугольника

Т.е. СМ =0.5СВ .

Что означает: угол В = 30 градусам.

5) но угол B= углу 1 = углу 2 = углу 3 = 30 градусам, угол C =3* угол1=90°.

Задача 3.

На высоте равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) ВВ1,, взята точка D. Докажите,, что :

I) треугольник АВD = треугольнику BDC

2) треугольник ADB1=треугольнику DB1C.

Решение:

Первая часть - равенство треугольников ABD и BDC докатывается

Легко.

Рассмотрим способы доказательства второго равенства.

1 Способ:

Треугольник ADB1= треугольнику DB1C т.к.

а) AD=DC из равенства треугольников ABD и В DC,

б) B1D-общая.

в) угол ADB1 = углу В1DC (т.к. смежные с ними углы ADB и BDC равны

из равенства треугольников ABD и BDC).

2 способ.

Треугольник ADC - равнобедренный (из равенства треугольников ABD и BDC).

DB1- высота этого треугольника, а значит и биссектриса угла ADC. Тогда треугольник ADB1= треугольнику DB1C по двум сторонам и углу между ними.)

Задача 4.

Стороны треугольника a,b,c. Найдите радиус окружности, имеющей свой центр на стороне с и касающейся 2-х других сторон a и b. (a,b,c- заданные числа.)

Решение:

1 способ:

1.) углы А и В находим по теореме косинусов.

2.) из треугольника ADO

3.) из треугольника OEB

4.)из уравнения

2 способ:

1.) обозначим AD через х

2.)из треугольника AOD

3.) из треугольника COD

4.) CE=CD=b-x( по свойству касательны, проведенных из одной точки)

5.) BE=a-b+x

6.)из треугольника OBE

7.) решим уравнение