Справочные материалы по геометрии 7-9

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Признаки

1

Отрезок

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.

1. Длина отрезка выражается некоторым положительным числом.

2. Равные отрезки имеют равные длины.

3. Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

2

Луч

Часть прямой, ограниченная одной точкой, называется лучом.

Точка, ограничивающая луч, называются его началом.

3

Угол

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.

Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°.

1. Градусная мера угла выражается некоторым положительным числом.

2. Равные углы имеют равные градусные меры.

3. Развернутый угол равен 180°.

4. Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

1. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

2. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

4

Середина отрезка

Точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

5

Биссектриса

угла

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

6

Смежные

углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

1. Сумма смежных углов равна 180°.

2. Угол, образованный биссектрисами двух смежных углов - прямой.

Если биссектрисы двух углов с общей стороной перпендикулярны, то эти углы смежные.

7

Вертикальные

углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

1. Вертикальные углы равны.

2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Признаки

8

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т. е. параллельны.

2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

9

Параллельные

прямые

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

5. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

6. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то биссектрисы накрест лежащих углов равны.

7. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Терема Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Площадь

10

Треугольник

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Три точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Два треугольника называются равновеликими, если их площади равны.

1. Сумма углов треугольника равна 180°.

2. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

3. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

4. В треугольнике: 1) против равных сторон лежат равные углы; 2) против равных углов лежат равные стороны.

5. Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

6. Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

7. В неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенными из этой же вершины.

8. Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих сторон.

9. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

10. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

S = ah, где a – основание, h – высота.

2. Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой Герона

, где

p = – полупериметр треугольника.

3. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

S = ab

4. S = Pr, где P – периметр треугольника,

r – радиус вписанной в треугольник окружности.

5. S = , где R – радиус описанной около треугольника окружности.

1. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

2. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

3. Медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника.

11

Внешний угол

треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

2. Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Признаки

12

Равные треугольники

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением

1. В равных треугольниках все соответствующие элементы равны.

2. В равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.

3. В равных треугольниках биссектрисы, проведенные к равным сторонам, равны.

4. В равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам, равны.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4. Если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то такие треугольники равны.

13

Медиана

треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника.

3. Медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Формула для вычисления медианы треугольника

АМ = m.

14

Биссектриса треугольника

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

1. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Каждая точка, лежащая внутри угла, и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

15

Серединный

перпендикуляр

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

16

Высота треугольника

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

17

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Признаки

Площадь

18

Равнобедренный

треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием равнобедренного треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

5. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.

6. В равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник – равнобедренный.

3. Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник – равнобедренный.

4. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

5. Если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

19

Равносторонний треугольник

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле , где а – сторона треугольника.

20

Подобные

треугольники

В геометрии фигуры одинаковой формы, но разных размеров принято называть подобными.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение радиусов вписанных окружностей двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициентом подобия называется число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники равны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Признаки

Площадь

21

Четырехугольник

Фигура, составленная из четырех отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек, называется четырехугольником.

Две вершины четырехугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

2. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

3. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1. При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом.

2.Равные многоугольники имеют равные площади.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

4. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

5. Если в выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь этого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

22

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

4. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

1.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

4. Если сумма углов выпуклого четырехугольника, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°, то этот четырехугольник – параллелограмм.

5. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

1. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S = ah, где a – основание, h – высота.

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

S = ab

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

S_ABCD =

4. S_ABCD= 4

№

Фигура

Определение

Свойства

Признаки

Площадь

23

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

4. Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

5. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

6. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

1. Если в трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2. Если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

3. Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

4. Если в четырехугольнике параллельные стороны не равны, то этот четырехугольник является трапецией.

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

S = , где a,b –основания, h – высота.

2. Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.

S_ABCD =

3. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

24

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны.

2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

3. Диагонали прямоугольника равны.

4. Около любого прямоугольника можно описать окружность.

1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

2. Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник – прямоугольник.

1. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

S = ab, где a – длина, b – ширина.

2. S = , где d – диагональ прямоугольика, α - угол между диагоналями.

25

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

1. В ромбе противоположные углы равны.

2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

4. Точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

5. В любой ромб можно вписать окружность.

1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб.

3. Если две смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм – ромб.

1. Площадь ромба равна произведению его основания на высоту.

S = ah, где a –основание, h – высота.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S= d₁d₂, где d_1, d₂ – диагонали.

3. S =.

26

Квадрат

1. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.

2. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

3. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

1. В квадрате все стороны и углы равны.

2. Диагонали квадрата

• равны;

• взаимно перпендикулярны;

• точкой пересечения делятся пополам;

• делят углы пополам.

3. Диагональ квадрата равна , где a – сторона квадрата.

1. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб – квадрат.

2. Если в прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат.

3. Если в ромбе один угол прямой, то этот ромб является квадратом.

4. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник – квадрат.

5. Если около ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

S = a², где а – сторона квадрата.

2. , где d - диагональ квадрата.

6. Если в прямоугольнике смежные стороны равны, то этот прямоугольник – квадрат.

27

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским треугольником.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синусы смежных углов равны.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусы смежных углов противоположны, причем косинус острого угла положителен, а косинус тупого угла отрицателен.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенсы смежных углов противоположны, причем тангенс острого угла положителен, а тангенс тупого угла отрицателен.

+ = 1 – основное тригонометрическое тождество

,

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

2. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной около него окружности. R = m =

6. Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6. Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

7. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

• Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

• Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

8. В прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианной, проведенными из той же вершины, пополам.

9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле:

r = , где a, b – катеты, с – гипотенуза.

Если медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части, то треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

5. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе.

№ п/п

Название

фигуры

Определение

Свойства

Признаки

28

Окружность

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Часть окружности, ограниченная двумя точками, называется дугой окружности.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

1. Все радиусы одной окружности имеют одну и ту же длину.

2. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

3. Центр окружности являются серединой любого диаметра.

4. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

5. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

6. Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров.

7. Если через точку Р, лежащую вне окружности, проведены две секущие, пересекающие ее соответственно в точках A, B и C, D, то PA·PB = PC·PD.

8. Если через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки (прямая – секущая).

2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку (прямая – касательная).

3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются.

2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Формулы:

1. d = 2r.

2., С – длина окружности.

3. l – длина дуги окружности, соответствующая центральному углу α.

4. Площадь круга равна S =.

5. Площадь кругового сектора равна

S = .

29

Касательная

к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3. Если через точку А проведены касательная AB (В точка – касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках C и D, то AC·AD = AB².

1. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку, т. е. касаются.

30

Центральный угол

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

1. Если дуга окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла.

2. Если же дуга больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360° – градусная мера центрального угла.

31

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

3. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

4. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

32

Вписанная

окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность. Центр этой окружности – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Радиус вписанной в треугольник окружности – перпендикуляр, опущенный из центра окружности к любой стороне треугольника.

2. r = - радиус вписанной в треугольник окружности,

a, b, c – стороны треугольника, S – площадь треугольника.

3. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

4. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

2. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – ромб.

33

Описанная

окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность. Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус – расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника.

2. R = - радиус описанной около треугольника окружности, a, b, c – стороны треугольника, S – площадь треугольника.

2. Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

1. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

2. Если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.

34

Правильные

многоугольники

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

3. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

4. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Формулы:

1. вычисление угла многоугольника.

2. S = площадь.

3. а_nсторона многоугольника.

4.

5. R =

6. R = , где n – число сторон,

R – радиус описанной окружности,

r – радиус вписанной окружности,

Р – периметр

35

Расстояние

Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Расстояние между точками

А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂)

Координаты (х; у) середины отрезка АВ с концами А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂)

Уравнение прямой

Уравнение окружности с радиусом R и

с центром в точке (х₀; у₀)

Если А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂), то координаты вектора

{х₂-х₁; у₂-у₁}

Сложение векторов

{x₁; y₁} + {x₂; y₂} = { x₁ x₂; y₁ y₂}

{x₁; y₁} {x₂; y₂} = {x₁ x₂; y₁ y₂}

Умножение вектора {x; y} на число k

k {x; y} = k{ k x; k y}

Длина вектора

Скалярное произведение векторов

и

∙ = ∙

где - угол между векторами и

Скалярное произведение векторов в координатах

{x₁; y₁} и {x₂; y₂}

∙ = x₁ · x₂ + y₁ · y₂

Скалярный квадрат вектора{x; y}

Косинус угла между векторами

{x₁; y₁} и {x₂; y₂}

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов

{x₁; y₁} ┴ {x₂; y₂}

∙ = 0 или x₁ · x₂ + y₁ · y₂= 0