Справочный материал для подготовки к ЕГЭ
Таблица квадратов
а 2
10
0
1
20
100
400
30
2
121
144
900
3
441
40
484
169
961
1600
50
4
1024
529
2500
60
1681
5
196
1089
576
2601
1764
3600
6
70
225
4900
256
3721
1156
1849
7
80
2704
625
5041
2809
90
1225
289
6400
3844
676
8
1936
8100
3969
5184
100
1296
324
6561
729
9
2916
2025
110
6724
784
1369
8281
10000
5329
361
4096
2116
3025
12100
6889
841
8464
1444
10201
120
5476
4225
2209
3136
10404
8649
1521
130
14400
12321
5625
4356
7056
3249
2304
14641
10609
12544
16900
7225
5776
3364
2401
4489
8836
140
12769
17161
14884
19600
150
3481
7396
9025
10816
4624
5929
15129
17424
11025
22500
6084
7569
19881
9216
160
12996
4761
17689
20164
6241
170
7744
22801
25600
11236
13225
15376
9409
23104
7921
25921
13456
28900
17956
20449
9604
15625
11449
180
11664
23409
26244
15876
13689
32400
9801
29241
18225
190
20736
26569
36100
29584
200
32761
11881
13924
16129
18496
21025
23716
40000
29929
33124
16384
36481
18769
14161
21316
24025
26896
33489
16641
40401
36864
19044
24336
30276
27225
21609
37249
19321
40804
30625
21904
27556
24649
33856
41209
37636
22201
27889
30976
24964
34225
28224
41616
38025
34596
31329
25281
31684
38416
42025
28561
34969
32041
38809
35344
42436
42849
39204
35721
43264
39601
43681
Таблица степеней
a n
2
1
3
2
2
3
4
4
3
4
8
5
4
9
6
16
16
27
5
5
6
25
7
64
32
81
6
256
7
36
125
64
8
7
243
625
9
216
128
8
8
49
729
1024
1296
256
2187
9
343
10
3125
4096
9
64
512
2401
11
10
81
16384
15625
7776
6561
512
10
46656
729
4096
78125
12
1024
65536
16807
100
19683
11
6561
390625
279936
1000
121
262144
59049
32768
117649
12
1679616
1331
262144
1048576
823543
59049
10000
1953125
144
1728
14641
9765625
5764801
2097152
531441
10077696
100000
4782969
20736
60466176
16777216
1000000
40353607
161051
43046721
248832
1771561
282475249
10000000
134217728
1073741824
387420489
19487171
2985984
100000000
35831808
3486784401
214358881
1000000000
429981696
2357947691
10000000000
25937424601
5159780352
61917364224
Формулы сокращенного умножения
a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 – сумма кубов;
a b a b a 2 b 2 – разность квадратов;
a b 2 a 2 2 ab b 2 – квадрат разности;
a b 3 a 3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 – куб разности;
a b 2 a 2 2 ab b 2 – квадрат суммы; a b 3 a 3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 – куб суммы;
a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 – разность кубов; a b 2 b a 2 – квадрат разности.
a a, если а 0 ,
Модуль числа
а, если а 0 .
Свойства модуля
- x a a x a, a 0 ;
- x a x a или x a .
1. a b b a ;
a 0 ;
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Уравнения и неравенства с модулем
g x 0 ,
1. f x g x
f x g x ,
f x g x .
2. f x g x f x 2 g x 2
f x g x ,
f x g x 0 ,
f x g x 0 .
f x g x
3. f x g x g x f x g x f x g x ,
f x g x .
f x g x ,
4. f x g x
f x g x .
5. f x g x f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0 .
Последовательности и прогрессии
Прогрессия
Формула n - го члена, n N
Арифметическая
Рекуррентная формула
a n a 1 n 1 d
Геометрическая
Характеристическое
b b q n 1
a n 1 a n d
свойство
b n 1 b n q
n 1
a n 1 a n 1 a
b b b 2 , b 0
2 n
Формула суммы n первых
членов
S a 1 a n n
n 1 n 1 n n
S b 1 b n q
Дополнительные формулы
n 2
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 0 q 1 , S b 1 – формула суммы
S 2 a 1 n 1 d n
n 1 q
a n a m d, n m n m
n 2
b 1 q n
1 q
S n 1
1 q
b : b q n m n m
Метод координат на плоскости
→ x , y и b x , y имеют место действия:
Для векторов a
1 1 2 2
→ b x x ; y y ;
1) сложение a
1 2 1 2
→ b x x ; y y ;
2) вычитание a
1 2 1 2
3) умножение на число k → kx ;ky .
a
1 1
→ →
→ → → →
Скалярное произведение векторов: a b x 1 x 2 y 1 y 2 a b cos a;b .
→
→
x x y y
→ → a b
y
→ 1 2 1 2 .
cos a;b
В x В , y В
→
a b
x 2 y 2 x 2 y 2
1 1
2 2
→
АВ
2 2
Длина вектора a : a x 1 y .
1
Пусть заданы точки А x А , y А и В x В , y В , тогда
А x А , y А
Координаты вектора: АВ x x ; y y .
В А В А
x A x B ; y y A y B . 0 x
М 2 М 2
Координаты середины отрезка АВ: x
Расстояние между точками А и В (длина вектора АВ ): АВ АВ x В x А y y
2 2
В А
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Тригонометрия
1. cos 2 α sin 2 α 1 ;
tg α ctg α 1 ;
13. cos α cos β 2 cos α β cos α β ;
2 2
2. tg α sinα ;
ctg α cos α ;
cos α
sinα
14. cos α cos β 2 sin α β sin α β ;
2 2
sin α β
ctgα 1 ;
3. tg α 1 ;
tg α
ctg α
;
15. tg α tg β
cos α cos β
- sin α β sinα cos β cosα sin β ;
- cos α β cosα cos β ∓ sinα sin β ;
1 ctg 2 α 1 ;
cos 2 α 1 cos 2 α ;
cos 2 α sin 2 α
16. sin 2 α 1 cos 2 α ;
2 2
17. sinα cos β 1 sin α β sin α β ;
2
1
tg α tg β
;
18. cos α cos β cos α β cos α β ;
1 ∓ tg α tg β
2
1
- sin 2 α 2 sinα cosα ;
- cos 2 α cos 2 α sin 2 α ;
cos α β cos α β
19. sinα sin β
2
10. cos 2 α 2 cos 2 α 1 1 2 sin 2 α ;
1 cos α ; 1 cos α ;
cos α
20. sin α
2 tg α сtg 2 α 1
;
сtg 2 α
1 tg 2 α
2
2 2
2
2 сtg α
α ∓ β
ctg α sinα .
α β
2 2
21. tg α sin α ;
cos ; 2 1 cos α
2 1 cos α
Таблица значений тригонометрических функций
α,
α, °
рад
0
0°
sin α
π
30°
π
cos α
6
0
45°
tg α
π
1
1
4
ctg α
60°
3
3
π
2
0
2
90°
3
2
1
–
2 π
2
2
2
1
120°
3
3 π
1
3
3
2
2
1
5 π
135 °
3
1
3
4
0
2
150 °
1
2
6
–
– 1
π
2
0
– 2
7 π
180 °
1
3
– 3
2
2
5 π
– 1
210 °
– 1
– 3
2
2
0
6
4 π
– 1
225 °
– 1
4
3
2
– 1
– 1
240 °
– 3
– 2
– 3
3
3 π
0
3
2
–
1
– 3
5 π
– 2
270 °
2
2
2
7 π
1
– 1
300 °
3
3
– 1
2
2
3
315 °
1
11 π
3
0
2
4
– 3
330 °
1
– 2
–
1
6
2 π
2
– 1
0
2
– 3
360 °
3
2
2
– 1
– 1
3
2
2
0
– 1
– 1
1
2
3
– 3
0
3
–
Решение тригонометрических уравнений
Уравнение
Общее решение
Частные случаи
x 1 n arcsin a π n
а = 0
tg x a
cos x a
x arccos a 2 π n
или
sinx a
а = 1
ctg x a
x arctg a π n
x 1 arcsin a 2 π n
или
а = −1
x arcctg a π n
x π n
x 1 arccos a 2 π n
x π π n
x π n
где n ∈ Z ( Z – множество целых чисел: …, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …)
x π arcsin a 2 π n
x π π n
2
2
x π π n
x 2 π n
x arccos a 2 π n
x π 2 π n
2
x π π n
x π 2 π n
x π 2 π n
2
4
x π π n
2
4
4
x 3 π π n
2
4
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Свойства четности и нечетности тригонометрических функций
arccos x π arccos x arcsin x arcsin x arctg x arctgx arcctg x π arcctgx
cos x cos x − четная
sin x sin x − нечетная
tg x tgx − нечетная
ctg x ctgx − нечетная
Обратные тригонометрические функции
arcsin a t, t π ; π , sint a, a 1 ; 1
arctg a t, t π ; π , tg t a, a R
2
2
2
2
arctg tg t t, t π ; π
arcsin sint t, t π ; π
2
2
2
2
sin arcsin a a, a 1 ; 1
tg arctg a a, a R
arcctg a t, t 0 ; π , ctgt a, a R arcctg ctg t t, t 0 ; π
ctg arcctg a a, a R
arccos a t, t 0 ; π , cost a, a 1 ; 1
arccos cos t t, t 0 ; π
cos arccos a a, a 1 ; 1
Формулы приведения
ctg π t ∓ tg t
sin π t cost
cos π t ∓ sint tg π t ∓ ctgt
2
2 2
2
cos π t cost
ctg π t ctgt
tg π t tg t
sin π t ∓ sint
tg 3 π t ∓ ctgt
ctg 3 π t ∓ tg t
sin 3 π t cost
cos 3 π t sint
2
2
2
2
cos 2 π t cost tg 2 π t tg t
ctg 2 π t ctgt
sin 2 π t sint
Знаки тригонометрических функций
+ +
− −
− +
− +
− +
+ −
cos t
Показательные уравнения и неравенства
tg t, ctg t
sin t
a f x a g x
a f x a g x
f x g x .
a 1
f x g x
1.
0 .
h x p x
7.
a h x a p x 0
1 ,
a x
2. a x f x a x g x
a x 0 ,
a x f x a x g x
a x 0 ,
f x g x .
8.
a f x a g x
a f x a g x
a 1 f x g x 0 .
3.
4.
0 .
a x 1 f x g x
a 1 f x g x 0 .
a x f x a x g x
a x 0 ,
f x g x
a 1 f x g x
a a
h x
a 1 f x g x
h x
0 .
0
5.
9.
h x
a x 1 f x g x 0 .
a f x a g x
0
0 .
6.
h x
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Степени
Корень n- ой степени
q a p , где a 0 , q N, p Z
p
a q
a b, b a, где a 0 , b 0 , n N, n 1
Свойства корня n- ой степени
n
n
Свойства степени (для n ∈ R, k ∈ R)
n ab n a n b, где a 0 , b 0 ;
1.
n a
a
, где a 0 , b 0 ;
2.
n
n b
b
- n a k n a k , где a 0 ;
- k n a nk a, где a 0 ;
а
a n
1 , где а 0 ;
4.
а n
- a n : a k a n k , где а 0 ;
np
5. a kp n a k , где a 0 ;
a , n четно ,
n a n
6.
a, n нечетно ;
- n a n a, n нечетно ;
k
- a n n a k , где a 0 .
a n
a n
9.
, где b 0 ;
n
b
b
a n b n
10. b
a , где a 0 , b 0 .
Иррациональные уравнения и неравенства
g x 0 , f x 0 ,
1. f x g x
f x g x .
f x g x
g x 0 ,
2. f x g x g x 0 ,
f x 0 ;
f x g x .
2
5. f x g x
f x 0 ,
g x 0 ,
0 ;
f x
g x
f x g x .
g x
2
3.
0
f x 0 ,
f x 0 ,
g x
6. f x
f x g x .
g x 0 .
f x 0 ,
g x 0 ,
7. f x g x
f x g x .
4. f x g x f x 0 ,
f x g x .
2
Логарифм
log a b c, a b , где a 0 , a 1 , b 0 .
c
Основное логарифмическое тождество: а log a b b .
Свойства логарифмов
1
2
log a 1 0
6
3
log a a 1
4
log 1 1
7
log a m m
log a 1
a a
8
5
log с ab log c a log c b
11
a k k
a k k
log a a m
9
12
log a log a log b
log b m m log b
10
m
log b 1 log b
a k k a
13
a log c b b log c a
с b c c
log b log c b
a k k a
14
log a b mlog b
m
15
log b 1
a log a
c
log a b log c d log c b log a d
a log a
a
b
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Логарифмические уравнения и неравенства
При условии f x 0 , g x 0 , a x 0 , а x 1 , h x 0 , h x 1 , p x 0 , p x 1
выполняются следующие переходы:
1
log a f x log a g x
2
f x g x
log a x f x log a x g x
3
4
f x g x
log a f x 0 или 0 ; 0 ; 0
5
a 1 f x 1 0 или 0 ; 0 ; 0
log a x f x 0 или 0 ; 0 ; 0
a x 1 f x 1 0 или 0 ; 0 ; 0
log a f x log a g x или ; ;
6
a 1 f x g x 0 или 0 ; 0 ; 0
log a x f x log a x g x или ; ;
7
8
a x 1 f x g x 0 или 0 ; 0 ; 0
log h x а x log p x а x 0
log h x f x log p x g x 0
или 0 ; 0 ; 0
а x 1 h x 1 p x 1 p x h x 0
или 0 ; 0 ; 0
или 0 ; 0 ; 0
f x 1 g x 1 0 или 0 ; 0 ; 0
9
log h x f x
f x 1 0
h x 1 p x 1
log g x 0 или 0 ; 0 ; 0
g x 1 h x 1 p x 1
p x
или 0 ; 0 ; 0
Соотношения в правильных многоугольниках
n
S(a)
R(a)
𝑎 2 √ 3 4
𝑎 2
r(a)
𝑎
a(r)
𝑎
𝑎
3𝑎 2 √ 3
√ 3
𝑎
2√3𝑟
2 √ 3
𝑎
√ 2
a(R)
2
2𝑟
2
R(r)
𝑎 √ 3 2
𝑅√ 3
2𝑟
𝑅√ 2
2𝑟
r(R)
𝑅
S(R)
𝑟√ 2
√ 3
𝑅
𝑅
3 √ 3𝑅 2
2
S(r)
2𝑟
2𝑅 2
√ 2
𝑅 √ 3 2
4
P(a)
3√3𝑟 2
√ 3
3 √ 3𝑅 2
P(r)
4𝑟 2
3𝑎
6√3𝑟
P(R)
4𝑎
2√3𝑟 2
2
8𝑟
3𝑅√3
6𝑎
h(a)
4√2𝑅
4√3𝑟
𝑎 √ 3 2
6𝑅
–
–
Обозначения
a – сторона правильного n- угольника
R – радиус описанной окружности около правильного n- угольника
r – радиус вписанной окружности в правильный n- угольник
S – площадь правильного n- угольника
Р – периметр правильного n- угольника
h(a) – высота, проведенная к стороне правильного n- угольника
Теория вероятностей
Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий,
которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: P A m .
n (Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n 2 k . Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n 6 k ) Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей 0 P A 1 .
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: P A B P A P B . Теорема сложения вероятностей совместных событий: P A B P A P B P A B .
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Производная
Функция , f(x)
Производная , f '(x)
A (const), A ∈ R
Функция , f(x)
kx + b, k R, b ∈ R
0
Производная , f '(x)
x²
k, k ∈ R
sin x
cos x
2x
x n , n ∈ N
cos x
cos²x
nx n 1 , n ∈ N
1
– sin x
sin²x
1
1 , n ∈ N
– sin 2x
x
n , n ∈ N
sin 2x
x 2
e x
x n
n x , n ∈ N
a x
x n 1
1 , n ∈ N
x
e x
a x ln a
n n x n 1
ln x
1
1
x α , α ∈ R
1
2 x
log a x
x
1
arcsin x
α x α 1 , α ∈ R
x
1
2 x x
tg x
arccos x
xlna
1
ctg x
1
1 x 2
– 1
cos 2 x
1
arctg x
arcctg x
sin 2 x
1
1 x 2
1 x 2
– 1
1 x 2
Правила дифференцирования
1. u v u v ;
2. Сu C u ;
v
1
;
4.
2
v v
u u v u v
5. v
3. u v u v u v ;
.
v 2
Производная сложной функции
h f x h f x f x
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x о равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α ), проведенной к графику функции в точке с абсциссой x о .
k f x о tg α
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х о :
у f x о x x o f x o
Физический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть мгновенная скорость:
v t s t
Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с « − » на «+», то х о – точка минимума функции f(x) .
Если в точке х о производная функции f(x)
меняет знак с «+» на « − », то х о – точка
максимума функции f(x) .
f x
f x
f x
f x
− +
–
+
х о
х о
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Логарифмические уравнения и неравенства
f x g x , a x 0 ,
f x 0 ,
1. log f x log g x f x 0 , 6. log f x 0
a x
a a
a x 1 f x 1 0 .
g x 0 .
a x 0 ,
f x g x ,
a x 1 ,
a x 0 ,
7. log f x 0
f x 0 ,
a x 1 ,
a x
2. log f x log g x
a x
a x
a x 1 f x 1 0 .
a x 0 ,
a x 1 ,
f x 0 ,
g x 0 .
f x 0 ,
8. log f x 0
3. log a f x 0
f x 0 ,
a x
a 1 f x 1 0 .
f x 0 ,
a x 1 f x 1 0 .
0
4. log a f x
f x 0 ,
a 1 f x 1 0 .
9. log f x log g x x 0 ,
g
a x 0 ,
a
a
a 1 f x g x 0 .
5. log a x f x 0 f x 0 ,
a x 1 f x 1 0 .
a x 0 ,
f x 0 ,
10. log f x log g x
0 ,
a x
a x
g x
a x 1 f x g x 0 .
a x 0 ,
a x 1 ,
f x 0 ,
11. log f x log g x
a x
a x
g x 0 ,
a x 1 f x g x 0 .
h x 0 ,
h x 1 ,
p x 0 ,
f x 1 g x 1
g x 0
0 ,
12. log f x log
h x 1 p x 1
h x
p x
p x 1 ,
f x 0 ,
g x 0 .
h x 0 ,
h x 1 ,
p x 0 ,
p x 1 ,
log h x f x
13. 0
f x 0 ,
log g x
g x 0 ,
p x
g x 1 ,
f x 1
0 .
h x 1 p x 1 g x 1
Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
57
222 307 
