Статья "Возможность применения софизмов на уроках геометрии"

ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ СОФИЗМОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Людям, которые желают идти верной дорогой,

важно также знать и об отклонениях.

Аристотель

Одной из главных задач обучения становится развитие творческого мышления учащихся. Решение этой задачи органически связано с активизацией обучения. Наиболее эффективным, действенным способом активизации мышления является проблемное обучение, создание проблемных ситуаций. Перечислим задачи, приводящие к проблемным ситуациям:

1) задачи, требования которых противоречат исходным данным.

2) «опережающие задачи», решение которых предшествуют теоретическому материалу.

3) задачи с избыточными или неполными данными, или с несформулированным вопросом.

4) задание на составление задач самими учениками.

5) задачи, связанные с устранением ошибок- математические софизмы.

6) задачи на систематизацию и обобщение материала.

Рассмотрим подробнее вопрос об использовании математических софизмов на уроке геометрии.

Еще до 1917 года софизмы играли огромную роль в обучении. В конце XIX в- начале XXв особенно большой известностью среди учащихся пользовалась книга Обреимова «Математические софизмы». Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы её. Колмогоров был одним из тех, кто высоко оценил познавательную функцию софизмов.

Софизмы в настоящее время не находят большого применения на практике, хотя при рассмотрении софизма можно найти много интересного и познавательного.

Так что же такое софизм?

Софизм (от греческого sophisma «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка»)- умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или пападоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с помощью ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

Математический софизм- удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме- это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Когда ребёнок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности. Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Всё это нужно и важно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Было сделано много попыток сгруппировать софизмы и ошибочные заключения по характеру допущенных в них ошибок, но по вполне понятной причине они не оказались удачными. Дело в том, что зачастую при доказательствах и рассуждениях опускаются многие необходимые промежуточные звенья в цепи логического построения. Очень часто погрешность находится именно в этих, не разобранных подробно местах. Т.о., многие ошибочные заключения и софизмы принадлежат к тому большому классу рассуждений, в которых некоторые не рассмотренные подробно места считаются очевидными. Далее рассматриваются софизмы, которые можно применить при изучении соответствующей темы.

Но прежде чем заняться разбором софизма, считаю полезным дать несколько предварительных указаний и советов.

1) Опровергнуть неправильное геометрическое доказательство- значит найти в нём логическую ошибку. Трудность заключается в том, что такое доказате5льство почти всюду правильно, но обязательно в каком-то месте содержит пробел- его-то и следует обнаружить.

2) Критикуя доказательство, часто указывают, что оно проведено «на неверном чертеже». Это- не очень удачная формулировка, во всяком случае ограничиться ею нельзя. Когда говорят, что чертёж А неверен и должен быть заменён чертежом В, то этим обычно маскируется следующее положение дел: в доказательстве рассмотрены не все возможные случаи ( и это -логическая ошибка !), именно учтены и изображены на чертеже А те, которые окажутся впоследствии противоречащими условию теоремы, а пропущены те, которые (чертёж В) согласуются с этим условием. Т.о., источник ошибки не в чертеже, а в неполном перечислении возможных случаев.

3) Если случай, изображённый на чертеже А, приводит к абсурдному выводу, то достаточно показать, что на чертеже В такого вывода не получается, чтобы считать косвенно («от противного») доказанной невозможность случая А. При этом желательно (но не обязательно!) получить и прямое доказательство того, что условие теоремы приводит с необходимостью к случаю В.

4) Хотя чертёж сам по себе не может обнаружить ни правильности утверждения, ни его ошибочности, однако следует рекомендовать делать по возможности точные чертежи (с помощью инструментов). Там, где мы имеем дело с явным софизмом, полезно делать чертёж так, чтобы он резко подчёркивал абсурдность вывода. Такой чертёж может подсказать, в каком направлении искать ошибку.

5) В некоторых случаях ошибка не имеет никакого отношения к чертежу, а состоит, например, в следующем: доказывается (правильно) не то утверждение, которое брались доказать, а родственное ему, причем либо сам доказывающий не замечает сделанной подмены, либо рассчитывает на то, что её не заметят другие.

6) Если неизвестно, верно ли доказываемое предложение, то лучше (однако не обязательно) начать с выяснения этого вопроса. Следует помнить, что утверждение будет опровергнуто, если построить хотя бы один противоречащий ему пример.

Геометрические софизмы- это формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

С теоремой о сумме углов треугольника школьники знакомятся ещё на пропедевтическом этапе. Поэтому при изучении этой темы в дальнейшем к ней теряется интерес. Поэтому на уроках можно использовать следующий софизм.

1. Сумма углов треугольника равна 2d (доказательство, не опирающееся на аксиому параллельности)

Произвольный треугольник АВС разобьём на два треугольника. С помощью отрезка, выходящего из вершины, обозначим углы цифрами. Пусть х- неизвестная нам пока сумма углов треугольника, тогда ∟1+∟2+∟6=х, ∟3+∟4+∟5=х. Складывая, получаем: ∟1+∟2+∟3+∟4+∟5+∟6=2х. Но сумма ∟1+∟2+∟3+∟4 есть сумма углов треугольника АВС, т.е. снова х, а ∟5 и ∟6 как смежные в сумме составляют 2d. Таким образом, для нахождения х получаем уравнение: х+2d=2х, откуда х=2d.

Мы привыкли к тому, что сумма углов треугольника одинакова (а именно равна 2d) для всех треугольников независимо от их формы и размеров, поэтому большинство из нас не протестует, когда слышит: «обозначим через х сумму углов (любого) треугольника». Но ведь в момент доказательства интересующей нас теоремы ничего не известно о сумме углов треугольника, и нет никаких оснований предполагать её одной и той же для всех треугольников. Конечно, мы могли бы принять факт одинаковости суммы без доказательства, и тогда приведённое рассуждение действительно доказывало бы, что эта сумма равна 2d. Но это только означало бы, что вместо аксиомы параллельности мы ввели другую аксиому, не имеющую перед первой никаких преимуществ.

2. Хорда окружности, не проходящая через центр, равна диаметру.

Пусть в окружности проведём диаметр АВ. Через точку В проведём какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр; затем через середину этой хорды Д и точку А проведём новую хорду АЕ; наконец, точки Е и С соединим отрезком. Рассмотрим треугольники АВД и ЕДС. В них | ВД|=|ДС| (по построению), ∟А=∟С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ∟ВДА=∟ЕДС (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольник и равны. Значит, ВДА = ЕДС. Поэтому |АВ|=|ЕС|. Где ошибка ?

Существует второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае, если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники не обязаны быть равными.

3. Все хорды одной и той же окружности имеют одинаковую длину.

Пусть АВ и СД- две параллельные между собой хорды некоторой окружности. Пусть S- точка пересечения прямых АС и ВД. Из подобия треугольников SАВ и SСД имеем АВ:СД= АS:SС. Следовательно, АВ· SС=СД·АS. Умножая почленно последнее равенство на отличную от нуля величину СД-АВ, получаем

АВ·SC·CД- АВ²·SС=АS·CД²- АВ·АS·СД, или АВ·SC·CД- АS·CД² = АВ²·SС - АВ·АS·СД, или СД (АВ·SC- АS·CД = АВ (АВ·SС - АS·СД). Сокращая на общий множитель, имеем СД=АВ. Так как две хорды одной и той же окружности всегда можно сделать параллельными, то данное утверждение справедливо для всех хорд окружности.

Ошибочность данного утверждения в следующем: по условию АВ· SС=СД·АS, следовательно, АВ· SС-СД·АS=0, а деление на нуль недопустимо.

4. Всякая окружность имеет два центра.

Построим острый угол АВС. На сторонах его возьмём точки Д и Е и через них проведём перпендикуляры к сторонам угла. Пусть эти перпендикуляры пересекаются в точке F. Через три точки Д, F и Е проведём окружность. Эта окружность пересечёт стороны угла в точках М и N. Отрезки МF и NF должны быть диаметрами построенной окружности, так как на них опираются вписанные в эту окружность прямые углы МДF и NEF. Середины отрезков МF и NF должны быть центрами построенной окружности. Следовательно, окружность имеет два центра. Где ошибка ?

Ошибочен чертёж: МF и NF должны совпадать, так как углы МДF и NЕД прямые, опирающиеся на диаметр.

Софизмам можно посвятить целые уроки, или часть урока. Желательно проводить работу с софизмом на обобщающем уроке, чтобы повторить и систематизировать материал. Интересными покажутся ребятам математические вечера с приведёнными на нём софизмами. Ведь софизмы схожи с фокусами, их разбор увлекателен.

На уроках математики софизмы используются для закрепления какого-либо факта. На первых этапах изучения темы рассматриваются софизмы, ложность утверждения которых очевидна школьникам.

5. Катет равен гипотенузе.

Треугольник АВС- прямоугольный, угол С равен 90⁰; ВД- биссектриса угла СВА, |СК|=|КА|, ОК СА, О- точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ АВ, ОL ВС. Имеем: треугольники LВО и МВО равны; |ВL|=|ВМ|,|ОМ|=|ОL|=|СК|=|КА|; треугольники КОА и ОМА равны (ОА- общая сторона, |КА|=|ОМ|, ∟ОКА =∟ОМА =90⁰), ∟ОАК=∟МОА, |ОК|=|МА|=|CL|, |ВА|=|ВМ|+|МА|, |ВС|=|ВL|+|LС|, но |ВМ|=|ВL|, |МА|=|СL|, и поэтому |ВА|=|ВС|. Где допущена ошибка ?

Для опровержения доказательства достаточно выполнить правильно чертёж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВД и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

6. Пересечём треугольник прямой, параллельной одной из его сторон. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между двумя другими сторонами, равен первой его стороне.

Мы имеем ВС: ДЕ= АВ:АД, или ВС·АД= ДЕ·АВ. Умножая последнее равенство на (ВС-ДЕ), получим ВС·АД (ВС-ДЕ)=ДЕ·АД (ВС-ДЕ), ВС²·АД- ВС·АД·ДЕ=ВС·ДЕ·АВ-ДЕ²·АВ; ВС²·АД- ВС·ДЕ·АВ=ВС·АД·ДЕ- ДЕ²·АВ; ВС (ВС·АД- ДЕ·АВ)=ДЕ (ВС·АД- ДЕ·АВ), откуда ВС=ДЕ. Где ошибка ?

Если по условию ВС·АД=ДЕ·АВ, то ВС·АД- ДЕ·АВ=0, а на нуль делить нельзя.

На последующих уроках по изложению данной темы приводятся более сложные софизмы.

7. «Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом α, противолежащим катету a. Имеем: a=c·sinα, b=c·cosα, откуда a²=c² ·sin² α, b²=c² ·cos² α. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a²+b²=c²(sin²α+cos²α). Но sin²α+cos²α=1, и поэтому a²+ b²= c². Подвергните критике это «доказательство».

Формула sin²α+cos²α=1 выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждении получается порочный круг.

Софизм применяют для мотивации изучения новой темы.

8. Треугольник с двумя прямыми углами можно построить следующим образом.

Две окружности с центрами в точках А и В пересекаются в точке С. Проведём диаметры САД и СВЕ и соединим точки Д и Е. Прямая ДЕ пересекается с одной окружностью в точке F, а с другой- в точке G. Углы СFE и CGД (опирающиеся на диаметр) будут прямыми, следовательно, треугольник СFG имеет два прямых угла.

Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности прямая ДЕ, соединяющая точки Д и Е проходит через точку К пересечения окружностей, то есть точки F и G совпадают.

Софизм повышает интерес учащихся на уроке со скучным обыденным материалом.

9. Все треугольники- прямоугольные.

Пусть в треугольнике АВС высота СД=h, а АД=р и ВД=q- проекции сторон АС и ВС на сторону АВ. Согласно теореме сложения, sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ, то есть sin(α+β)= h/b·q/а+р/b·h/а=(h·с)/(а·b)=(h·sinγ)/(2Rsinα·sinβ). Кроме того, h=2Rsinα·sinβ, ибо sinα=h/b и b=2Rsinβ. Следовательно, sin(α+β)=sinγ, α+β=γ, откуда α+β=γ=90⁰.

В треугольнике каждый из углов α, β, γ может иметь градусную меру от 0⁰ до 180⁰, то есть каждый из углов может быть как острым, так и тупым. Поэтому из sin(α+β)=sinγ не следует α+β=γ, так как α+β может быть тупым, а γ-острым.

Софизмы выступают также в качестве контрпримеров.

10. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ АС и ВД АС. В чём ошибка?

Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, то есть ВЕ совпадает с ВД.

Большим искусством является изложение софизма, чтобы слушатель не заметил допущенной ошибки до тех пор, пока абсурдный вывод не натолкнёт его на мысль о том, каким же образом он был введён в заблуждение. Эта цель, однако, не всегда достигается. Встречаются очень сообразительные люди, которых трудно ввести в заблуждение, особенно когда их внимание вдвойне обостряется в силу странности утверждения. Учитель должен сделать на доске чертёж (если это необходимо) и уверенно доказать данное утверждение. После этого, если не последует никаких опровержений, нужно либо проверить каждый шаг доказательства, либо повторить основные свойства.

В истории математики софизмы сыграли немалую роль. Некоторые из них можно рассматривать как исходные точки новых путей в развитии математики. Возникает вопрос: если ошибки в математических рассуждениях оказываются иногда настолько замаскированными, что их можно обнаружить лишь после тщательного анализа, то является ли математика тем надёжным фундаментом для точных наук, каким мы её привыкли считать?

Конечно, ни один научный метод не гарантирует от ошибочных выводов, необходимо ещё, чтобы этим методом пользовались правильно. Это только означает, что следует изучать источники возможных ошибок, быть более требовательным к обоснованию своих утверждений. Поэтому необходимо научить школьников критически подходить к поставленной задаче, к предложенному доказательству, а для этого целесообразно применять софизмы на уроках математики.

Литература

1. БЭКМ-2007, -Москва, 2007

2. Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах, -Государственное издательство технико-теоретической литературы, -М, 1995.

3. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы, -Москва, изд. «Омега», 1994.

4. Литцман В. Где ошибка ?, -Государственное издательство физико-математической литературы, -М, 1962.

5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка, -М, Просвещение, 1988.

6. Сефибеков С.Р., Внеклассная работа по математике, -М, Просвещение, 1988.