Статья к исследовательской работе "Фракталы и математический хаос"

ФРАКТАЛЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ХАОС

Шакуров Н.А., БПОУ ОО «Усть-Заостровский

сельскохозяйственный техникум»,

Руководитель: Приходько Н.В.

Введение

Фракталы – нечто такое, о  чем я не мог написать, нечто такое, что поражает воображение многих людей, которые видят фрактальное изображение в первый раз, не зная, что это. 

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников. Однако, этот набор, как не сложно заметить, трудно применим для описания сложных объектов, таких как, турбулентный поток жидкости, пористые материалы, форма облаков, кровеносно-сосудистая система, крона дерева и т.д.

Поэтому необходимы были новые геометрические понятия и методы для описания этих объектов. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Основной идеей новой геометрии является идея самоподобия. Т.е. фрактальные структуры при различном увеличении не претерпевают в среднем значительных изменений. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветви поменьше и т.д. То же самое можно заметить, рассматривая горный рельеф, кровеносную систему человека и др. Сейчас очевидно, что с помощью евклидовой геометрии сложно описывать природные объекты, т.к. в ней отсутствует некоторая нерегулярность, беспорядок. В таких случаях и применяется теория фракталов.

Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду. Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов.

Было принято решение провести исследование по теме «Фракталы и математический хаос». Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе обсуждения ее с руководителем, который одобрил выбор темы исследования. Действительно, многие даже не знакомы с понятием «фракталы» и, более того, не предполагают, что это понятие математическое. Мы понимали, что наш сборник «Галерея фракталов» будет иметь и познавательную, и эстетическую значимость для учащихся и педагогов.

Цель исследовательской работы – знакомство и изучение мира фракталов, областей их применения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• познакомиться с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;

• изучить виды фракталов, их применение в современном мире;

• создать собственную «Галерею фракталов».

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Фрактал - значит "состоящие из фрагментов". Их разработке мы обязаны такому выдающемуся математику, как Мандельброт, разработавшему в 1975 году методику фрактальных вычислений, графическая реализация которых стала возможна только на современных моделях персональных компьютеров. Конечно, по этой небольшой репродукции трудно представить себе всю красоту исходных полноэкранных цветных узоров (рис.1), но даже его достаточно, чтобы почувствовать то необъятное разнообразие, которое может быть получено с помощью фракталов. К тому же один и тот же сюжет можно представить совершенно разными способами.

Рис. 1

Как фракталы связаны с хаосом?

Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Я лично, определил бы фракталы, как частички хаоса. Фракталы проявляют хаотическое поведение, благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри фрактала. Например, посмотрите на дерево, затем выберите определенную ветку и изучите ее поближе. Теперь выберите связку из нескольких листьев. Для ученых, занимающихся фракталами (которых иногда называют хаологами), все эти три объекта представляются идентичными.

Слово хаос наводит большинство людей на мысли о чем-то беспорядочном и непредсказуемом. На самом деле, это не совсем так. Итак, насколько хаотичен хаос? Ответ таков, что хаос, в действительности, достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Проблема состоит в том, что отыскание этих законов может быть очень сложным. Цель изучения хаоса и фракталов — предсказать закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.

Система — это набор вещей, или область изучения, причем некоторые из обычных систем, которые хаологи любят изучать включают облачные образования, погода, движение водных потоков, миграции животных, и множество других аспектов из жизни матери природы. Так что, в конце концов, может быть, весь мир вокруг нас фрактален!

Классификация фракталов

Так что же такое фрактал?

Фрактал - геометрическая фигура, составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которое в более крупном масштабе подобно себе.

Фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы

Приведем самые известные примеры геометрических фракталов:

Снежинка Коха.

Изобретена в 1904 год немецким математиком Хельге фон Кохом. Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

Пятиугольник Дюрера.

Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

Алгебраические фракталы

Второй вид фракталов – алгебраические фракталы. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

Примеры самых известных алгебраических фракталов:

Множество Мандельброта

Это наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями

Множество Жулиа

Было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа. Не менее известный алгебраический фрактал.

Стохастические фракталы.

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастичными. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря

Наиболее понятны для нас так называемые природные фракталы.

Природные фракталы в живой природе:

Кораллы

Морские звезды и ежи

Морские раковины

Цветы и растения (брокколи, капуста)

Кроны деревьев и листья растений

Плоды (ананас)

Кровеносная система и бронхи людей и животных

В неживой природе:

Границы географических объектов (стран, областей, городов)

Береговые линии

Горные хребты

Снежинки

Облака

Молнии

Морозные узоры на оконных стёклах

Кристаллы

Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

Заключение

Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее: в нашей исследовательской работе мы познакомились с историей возникновения и развития фрактальной геометрии; изучили виды фракталов, их применение в современном мире; создали брошюру «Галерея фракталов», что явилось продуктом данной работы.

Нами была собрана необходимая информация: с использованием сети Интернет, книг, публикаций по данной теме. Подготовлены материалы для брошюры «Галерея фракталов».

В ходе данного исследования были использованы методы: теоретические, эмпирические, математические.

Считаем, что практическая значимость данной работы заключается в следующем:

• изучив литературу по данному вопросу, я получил дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке;

• подготовленные нами материалы могут быть использованы учащимися при подготовке к выставкам, другим занятиям;

• наше исследование может быть полезно и интересно не только учащимся, но и педагогам;

• в перспективе было бы интересно более подробно изучить связь фракталов с Информационными технологиями.

В конце своей исследовательской работы хотелось бы обратить Ваше внимание на понравившееся мне высказывание одного компьютерного пользователя: «Принцип подобия или фрактальности заложен в системе мироздания - то, что «вверху» подобно тому что «внизу», например, клетки человека похожи на население Земли. Когда все клетки работают слаженно, организм здоров. Когда люди Земли начнут стремиться жить во благо мира - наше общество тоже выздоровеет.

Земля, в свою очередь, также является, по принципу фрактальности, органом строения Солнечной системы, либо галактики - как и орган внутри человеческого организма. 

Принципы похожи, разница лишь в масштабе.

Список литературы

1. Мандельброт Б. Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. - М., НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009. - 392 с. ISBN: 978-5-93972-772-3;

2. В.В. Исаева и др. - Фракталы и хаос в биологическом морфогенезе. 2006.

3. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике». М.: Мир 1988 г.;

4. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г.;

5. http://elementy.ru;

6. http://ru.wikipedia.org;

7. http://www.deviantart.com;

8. http://fractals.nsu.ru;

9. http://fraktals.ucoz.ru;

10. http://www.bsu.burnet.ru/library/berson/index.html;

11. http://www.uni-dubna.ru/kafedr/mazny/page11.htm;

12. http://robots.ural.net/fractals/;

13. http://fract.narod.ru;

14. http://sakva.narod.ru/fractals.htm#History;

15. http://oco.newmail.ru/fractals.htm;

16. http://www.ghcube.com/fractals;

17. http://www.fractalus.com/galleries/.