Свойства и графики основных функций.

Уроки №№ 3-6.

Тема урока: Свойства и графики основных функций.

 Цели урока:

Образовательные:

- закрепить изученный материал в ходе выполнения упраж­нений;

- развивать у учащихся навыки построения графиков функций;

- изучить свойства функции;

- выяснить, какими свойствами обладают некоторые ранее изученные функции.

Развивающие:

- развивать логическое мышление обучающихся;

- развивать математическую речь обучающихся;

- развивать наблюдательность, память обучающихся.

Воспитательные:

- прививать аккуратность, точность;

- формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

План урока:

Ход урока:

I. Организационный момент (2 минуты):

- заполнить доску (число, тема урока, домашнее задание);

- заполнить журнал (проставить число, отметить отсутствующих, записать тему, число и домашнее задание);

- проверить готовность обучающихся к уроку (наличие учебников, тетрадей, дневников, письменных принадлежностей).

II. Повторение и закрепление пройденного материала (5 минут):

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разобрать вопросы к параграфу и разобрать нерешённые задачи у доски).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа):

Вариант 1

1. Найдите значения функции :

а) ;

б) ;

в) .

1. Найдите область определения функции:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 2

1. Найдите значения функции :

а) ;

б) ;

в) .

1. Найдите область определения функции:

а) ;

б) ;

в) .

III. Изучение нового материала (15 минут):

1. Свойства функции:

Как уже известно из курса 7-8 классов, любая функция характеризуется определёнными свойствами. Часть этих свойств была рассмотрена ранее. Теперь необходимо систематизировать эти свойства и рассматривать их при исследовании любых функций и построении их графиков.

Остановимся теперь на свойствах функции. С двумя свойствами функции вы уже знакомы - это область определения и область значений функции. Рассмотрим следующее свойство функции - точка пересечения графика функции с осями координат.

Так как ось Оу характерна тем, что любая точка на ней имеет координату х = 0, а для оси Ох - любая точка на ней имеет координату у = 0, то точки пересечения графика с осями координат находятся очень просто. Точка пересечения с осью Оу равна значению функции у(х) при х = 0, т. е. у(0).

Точки пересечения с осью Ох являются корнями уравнения у(х) = 0 и называются нулями функции.

1. Рассмотреть свойства функции у = кх +b , где к ≠ 0 (по рис. 12

в учебнике).

2. Рассмотреть свойства функции у = k/x, где к ≠ 0 (по рис. 13).

3. Рассмотреть функции,,, и описать их свойства в таблице:

Пример 1

Рассмотрим функцию .

Найдём точки пересечения графика этой функции с осями координат. Чтобы определить точку пересечения графика с осью ординат, вычислим значение функции y(х) при х = 0: . Получаем координаты этой точки A(0; -8).

Теперь определим точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс. Для этого в функцию подставим значение у = 0 и получим квадратное уравнение , или .

Решим его: , то есть .  

Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4; 0). Для наглядности на рисунке приведён график данной функции (здесь мы несколько забежали вперёд).

  Следующее свойство - ограниченность функции.

Функция называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше некоторого числа а (т. е. у(х) ≥ а).

Функция называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше некоторого числа А (т. е. y(x) ≤ А). Если функция ограничена снизу и сверху, то она называется ограниченной. На рисунке приведены графики ограниченных и неограниченных функций.

Для выяснения ограниченности функции очень часто используются алгебраические преобразования.

Пример 2

Докажем, что функция  ограничена сверху.

Выделим в функции  полный квадрат разности. Для этого в скобках прибавим и вычтем единицу.

Получаем: .

Так как при всех значениях х величина , величина , то , т. е. . Тогда по определению данная функция ограничена сверху (при этом число А, входящее в определение, равно 1). Из графика примера 1 наглядно видно, что при всех значениях x значения .

Рассмотрим еще одно свойство функции - монотонность (т. е. возрастание или убывание функции).

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (т. е. если х₂ х₁, то .

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т. е. если х₂  x₁, то ).

На рисунке приведены графики монотонных (возрастающей и убывающей) и немонотонной функций.

Пример 3

Определить монотонность функции .

Область определения этой функции - все значения х, т. е. х ∈ (-∞; +∞). Возьмём два значения х из области определения этой функции х₁ и х₂ и пусть х₂ х₁. Найдём значения функции в этих точках: . Теперь необходимо сравнить эти значения и определить, какое из них больше. Для этого рассмотрим разницу этих величин: .

Так как , то разность и величина . Поэтому получаем: , или . Это неравенство означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому данная функция (по определению) является убывающей. Это же видно из приведённого графика функции:

Функция во всей области определения может быть немонотонной, но на отдельных промежутках функция может быть монотонной. Например, в примере 1 функция в целом немонотонная, но на промежутке функция убывает, а на промежутке - возрастает (докажите самостоятельно).

И наконец, рассмотрим ещё одно свойство функции - чётность. Предварительно введём ещё одно понятие - симметричность области определения.

Область определения называется симметричной, если функция определена и в точке х₀, и в точке (-х₀) (т. е. в точке, симметричной х₀ относительно начала числовой оси).

Пример 4

а) Областью определения функции   являются все значения х, кроме тех, для которых . Поэтому эта функция определена, например, как при х = -1, так и при х = -(-1) = 1.

И наоборот, эта функция не определена и при х = -2, и при х = -(-2) = 2. Следовательно, область определения данной функции симметричная.

б) Областью определения функции   являются все значения х, кроме тех, для которых . Поэтому эта функция определена в точке x = -4, но не определена в симметричной точке x = -(-4) = 4. Поэтому область определения данной функции  не является симметричной.

  Понятие чётности функции вводится только для функции с симметричной областью определения.

Функция называется чётной, если при изменении знака аргумента, значение функции не меняется, т. е. .

График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат.

Функция называется начётной, если при изменении знака аргумента, значение функции также меняется на противоположное, т. е. .

График начётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

На рисунке приведены (для наглядности) графики чётной, нечётной функции и функции, не имеющей никакой чётности.

Пример 5

Выяснить чётность функций: а) ; б) ; в) .

Прежде всего отметим, что области определения всех трёх функций симметричны.

Для выяснения чётности этих функций  надо найти значение  и сравнить значения .

а)  (здесь учтено, что . Теперь легко видеть, что совпадает с данной функцией , т. е. . Поэтому данная функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

 б) . Видно, что значения функции в точках х и -х противоположны по знаку, т. е. . Поэтому данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

 в) . Сравнивая значение со значением , видим, что равенство не выполняется. Поэтому эта функция не является четной. Найдем теперь величину . Сравнивая значение  со значением , видим, что равенство  также не выполняется. Поэтому эта функция не является нечетной.

  Итак, данная функция никакой чётности не имеет и её график не обладает никакой симметрией.

В заключение отметим, что исследование основных свойств функции облегчает анализ её поведения и построение её графика. В старших классах будут рассмотрены и другие свойства функции.

 2. Свойства и графики некоторых функций:

Теперь необходимо вспомнить основные свойства и графики некоторых ранее изученных функций (свойства надо представлять, но запоминать не стоит).

Линейная функция :

1. Область определения - множество всех чисел.

2. Графиком функции является прямая линия.

3. График функции пересекает ось абсцисс в точке  (при k ≠ 0) и параллелен оси абсцисс при k = 0. График функции пересекает ось ординат в точке у = b.

4. Функция возрастает при k  0, убывает при k k = 0.

5. Функция неограниченная при k ≠ 0 и ограниченная при k = 0.

6. Функция определённой чётности не имеет при b ≠ 0, нечётная при b = 0 и чётная при k = 0.

7. Область значений - множество всех чисел при k ≠ 0 и у = b при k = 0.

8. При b = 0 функцию называют прямой пропорциональностью.

Пример 6

Найти условие, при котором линейная функция  является: а) начётной; б) чётной.

Область определения функции х ∈ (-∞; +∞) — симметричная. Найдём значение .

а) Если функция нечётная, то . Получаем: , или b = -b, или 2b = 0, откуда b = 0.

б) Если функция чётная, то . Получаем: , или 0 = 2kх, откуда k = 0 (т. к. x - любое число, не равное нулю).

Обратная пропорциональность :

1. Область определения - множество всех чисел, кроме нуля.

2. Графиком функции является гипербола.

3. График функции осей координат не пересекает.

4. Функция возрастает при k k  0 в области определения.

5. Функция неограниченная.

6. Функция нечётная.

7. Область значений - множество всех чисел, кроме нуля.

Пример 7

Выясним монотонность обратной пропорциональности .

Область определения данной функции D(y) = (-∞; 0)U(0; +∞). Рассмотрим два произвольных значения x₁ и х₂ (где x₁  х₂) из области определения функции. Найдём значения функции в этих точках  и  и сравним их. Для этого рассмотрим разность . Так как х₂ х₁, то разность x₁ - х₂ отрицательна. Поэтому знак разности противоположен знаку дроби .

Функция  не определена в точке х = 0. Рассмотрим два промежутка области определения. При х₁, х₂ ∈ (-∞; 0) и при х₁ ,х₂ ∈ (0; +∞) произведение x₁x₂ положительно. Поэтому знак разности противоположен знаку коэффициента k. Следовательно, при k . т. е. и функция возрастает; при k  0 величина , т. е. и функция убывает.

Квадратная функция :

Заметим, что функция является частным случаем квадратичной функции, которая детально будет изучаться позднее.

1. Область определения - множество всех чисел.

2. Графиком функции является парабола.

3. График функции проходит через начало координат.

4. Функция убывает на промежутке (-∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞).

5. Функция ограничена снизу, т. е. у ≥ 0.

6. Функция чётная.

7. Область значений - промежуток [0; +∞).

Пример 8

Докажем ограниченность квадратичной функции .

Очевидно, что при всех значениях x величина принимает только неотрицательные значения, т. е. у ≥ 0. По определению функция ограничена снизу, т. е. у ≥ а (где а может быть любым неположительным числом: a = -103, a = -5, a = -0,1, a = 0).

Кубическая функция :

1. Область определения - множество всех чисел.

2. График специального названия не имеет.

3. График функции проходит через начало координат.

4. Функция возрастает.

5. Функция неограниченная.

6. Функция нечётная.

7. Область значений - множество всех чисел.

Пример 9

Докажем нечётность кубической функции .

Область определения функции х ∈ (-∞; ∞) - симметричная. Найдём значение функции . Так как выполнено равенство , то по определению данная функция нечетная.

Функция :

1. Область определения — множество неотрицательных чисел.

2. График специального названия не имеет.

3. График выходит из начала координат.

4. Функция возрастает.

5. Функция ограничена снизу, т. е. у ≥ 0.

6. Функция определённой чётности не имеет.

7. Область значений - множество неотрицательных чисел.

Функция :

1. Область определения - множество всех чисел.

2. График специального названия не имеет.

3. График проходит через начало координат.

4. Функция убывает на промежутке (-∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞).

5. Функция ограничена снизу, т. е. у ≥ 0.

6. Функция чётная.

7. Область значений - множество неотрицательных чисел.

  Рассмотренные свойства функций используются и при построении графиков более сложных функций.

Пример 10

Построим график функции . 

Область определения функции - множество всех чисел, кроме х = 2. Сократим дробь и запишем функцию в виде .  Поэтому надо построить график линейной функции и удалить из него точку с абсциссой х = 2 (показана стрелками).

Пример 11

Построим график функции .

Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая. При х - 3 , при x - 3 ≥ 0 имеем: . Таким образом, надо построить график функции   Строим при х (луч АВ) и при x ≥ 3 график прямой (луч АС). Поэтому графиком данной функции будет ломаная ВАС.

 IV. Контрольные вопросы (3 минуты):

1. Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

2. Понятие ограниченности функции.

3. Возрастающая и убывающая на промежутке функция.

4. Нечётная и чётная функции и их свойства.

5. Свойства и график линейной функции .

6. Свойства и график обратной пропорциональности .

7. Свойства и график квадратичной функции .

8. Свойства и график кубической функции .

9. Свойства и график функции . 

10. Свойства и график функции .

 V. Задание на уроке (10 минут):

№ 17 (а, в); 18 (а); 20; 23; 25 (а); 27; 29 (а); 30 (а, в, д); 31 (а, г); 32; 37; 41 (б); 42 (а); 45; 51 (а); 53 (б); 54 (а).

 VI. Творческие задания (10 минут):

1. Постройте график функции:

2. Постройте множество точек (х; у), координаты которых удовлетворяют условию:

 VII. Подведение итогов урока (3 минуты):

 - подвести итоги урока;

- сделать выводы о достижении поставленных перед уроком целей;

- выставить оценки обучающимся;

- объявить и похвалить наиболее отличившихся обучающихся.

VIII. Задание на дом (2 минуты):

№ 17 (б, г); 18 (б); 21; 22; 25 (б); 28; 29 (б); 30 (б, г, е); 31 (б, в); 33; 38; 41 (в); 42 (б); 46 (а); 51 (б); 53 (в); 54 (б, в).