Тема: «Иррациональные уравнения и неравенства»

Тема: «Иррациональные уравнения и неравенства»

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что  а≥0, тогда 

Для нашего случая получим

 или 

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е. 

По определению квадратного корня f(x)  0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

Примеры:

Ответ: х=4

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Пример 1.

Решим уравнение: 

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня  , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

№1.

Подчеркните корни данного уравнения

1. 0; 1

2. -1;0;1

3. -1;0

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Верный ответ: 2

1. 0; 1

2. -1;0;1

3. -1;0

Пример 2.

Решите уравнение: 

1 способ:

Рассмотрим область определения функций:

х-5=2х-3

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

2 способ:

х-5=2х-3

х=-2

Проверка:

Значит, х=-2- посторонний корень

Ответ: решений нет