Теорема Менелая

Теорема Менелая

Применение теоремы в решении задач

Введение

• Исследовательская работа «Применение теоремы Менелая в решении задач» посвящена одной из самых трудных, но в то же время интересных и увлекательных тем геометрии - отношению отрезков. • Понятие пропорциональных отрезков используется при решении треугольников с применением теоремы Фалеса, теоремы о свойстве биссектрисы треугольника, признаков подобия. Пропорциональность и подобие рассматриваются в трапециях и правильных многоугольниках. • Обилие различных видов геометрических задач и многообразие приёмов и методов их решения делают геометрию наиболее трудным разделом школьной математики.      

О работе

• Гипотеза : знание особых свойств и подходов к решению задач на пропорциональные отрезки – необходимое условие успешного решения сложных планиметрических задач. • Цель работы : ознакомление с теоремой Менелая; исследование способов доказательства теоремы; овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Менелая; • Задачи исследования : проверить эффективность и целесообразность применения теоремы при решении задач; научиться применять теорему Менелая в задачах разной сложности; сравнить задачи, решенные с использованием теоремы Менелая с задачами, решенными традиционным способом. • Объект исследования : задачи на свойства пропорциональных отрезков. • Предмет исследования : методы решения задач.

Менелай Александрийский (1 век н.э.) написал «Сферику» в трех книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников. Вторая книга применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Теорема:

Если △ ABC пересечен прямой, образующей точки M и N на его сторонах AB и BC и точка K на продолжении стороны AC, то будет верно равенство:

* *

Доказательство:

Проведем прямую m, непараллельную прямой MN. Проведем через вершины A, B, C прямые, параллельные прямой MN, которые пересекаются с прямой m в точках B 1 , A 1, C 1 , а с прямой MN – в точке .

По т. Фалеса:

Задача 1.

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны AC за точку A взята точка M так, что MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F.

Найдите: отношение .

По условию задачи MA=AC, NC=3BN.

Пусть MA=AC=b, BN=k, NC=3k.

Прямая MN пересекает две стороны △ABC и продолжение третьей.

По теореме Менелая:

Ответ: 2:3.

Задача 2.

Дано: △ABC; AA 1 – биссектриса, BB 1 – медиана; BA 1 =2, A 1 C=3.

Найти: BO:OB 1 .

Решение:

AA 1 – биссектриса ⇒

Рассмотрим △BB 1 C и секущую AA 1; A ∈ B 1 C, A 1∈ BC, O ∈ BB 1.

По теореме Менелая:

Ответ: BO:OB 1 =4:3

Задача 3.

В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BE делит отрезок AC?

Дано: △ABC, D ∈ BC, BD:DC=1:3, O ∈ AD, AO:OD=5:2, BO⋂AC=E. Найти: AE:EC.

Решение (первый способ):

Проведем DM||BE. По теореме Фалеса .

Тогда AE=5k, EM=2k, где k-коэффициент пропорциональности. Аналогично , откуда MC=3EM=6k; EC=2k+6k=8k;

Решение (второй способ):

Рассмотрим △ADC; B ∈ DC, O ∈ AD, E ∈ AC. Точки O, B, E лежат на одной прямой;

По теореме Менелая . Так как BD:DC=1:3, то CB:BD=4:1, подставляем и получаем , .

Ответ: 5:8

Задача 4.

Пусть AD – медиана треугольника ABC. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая BK разбивает △ ABC на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. Решение:

Рассмотрим: △ADC и секущую KP:

По теореме Менелая имеем :

Ответ: 2:3

Задача 5.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC.

Дано: Δ ABC, BE – биссектриса ABD, AD - медиана BC, BD=DC, BE=AD=84. Найти AB, BC, AC.

Решение (первый способ):

Пусть P - точка пересечения отрезков BE и AD. ΔABD - р/б, т.к. его биссектриса BD является высотой. Поэтому AP=PD=42; BC=2BD=2AB.

По св-ву биссектрисы AC = 3AE.

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK=AC=3AE. Из подобия треугольников APE и KPB следует, что . Поэтому PE = 21 и PB = 63. Следовательно:

AB = = 21; BC = 2AB = 42;

AE = = 21; AC = 3AE = 63.

Решение (второй способ):

Рассмотрим ΔABD:

BP – биссектриса, BPAD ΔABD – р/б (по св-ву бис-сы в р/б Δ) AB=BD=DC; AP=PD=42, т.к. AD=84, BP – медиана (по св-ву р/б Δ).

Рассмотрим ΔABC:

BE – биссектриса, значит: (по св-ву биссектрисы);

Пусть BA=1часть(ч), тогда: AC=3ч;

По т. Менелая:

BP=, PE=;

Рассмотрим ΔABP:

По т. Пифагора:

AB 2 =AP 2 +PB 2 AB=AB=21, BC=2AB=42, AC=3AB=63.

Ответ. 21, 42, 63.

Задача 6.

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Через точку Q проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках K и L соответственно. Найти отношение DL:LC, если известно, что AK=KB, BQ:QD=2:3, CQ:QA=3:4.

Решение:

Сделаем доп. построение: продолжим отрезок DA влево до пересечения с прямой LK, т. пересечения – т. O.

Рассмотрим ΔABD:

По т. Менелая:

Рассмотрим ΔACD:

По т. Менелая:

, значит .

Ответ. 2:1

Заключение

Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Поэтому остановимся на том, когда же имеет смысл применять теорему Менелая при решении задач? Возможность применения теоремы Менелая имеет смысл, когда в условии задачи:

 • идёт речь, об отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка);

 • если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения);

 • иногда полезно применять обратную теорему (если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой). А также при доказательстве теорем.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Теорема Менелая помогает решить задачи более рационально, чем их решение другими способами; быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.

Эта теорема позволяют легко и изящно получить решение, в то время, когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Спасибо за внимание!