Тестовые задания "Первообразная и неопределенный интеграл"

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями x = a и x = b, и графиками функции у =f(x), y =g(x), непрерывных на отрезке [b, a] и таких, что для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x)≤g(x), вычисляется по формуле:

1. нет правильного ответа

Блок 1

1. Найдите общий вид первообразных для функции f

a) f(x)=2– х⁴ . Решение: воспользуемся правилами нахождения первообразных.

f(x) есть сумма двух функций y=2 и y= –x⁴, т.е. можно воспользоваться правилом нахождения первообразных №1(первообразная суммы равна сумме первообразных), для функции у=2 первообразной является у=2х, для того чтобы вычислить первообразную у функции у= –х⁴ необходимо воспользоваться правилом нахождения первообразных № 2(постоянный сомножитель можно вынести за знак первообразной), т.е. можно вынести -1, у функции у=х⁴ первообразной является функция у= ,следовательно у= –х⁴ имеет первообразную у= – , а функция f(x) имеет первообразную F(x)=2x– ; Ответ: F(x)=2x– +С.

б) f(x)= . Решение воспользуемся правилом нахождения первообразных №3 (если функция y=g(x) имеет первообразную y=G(x) ,то функция y=g(tx+m) имеет первообразную y= G(tx+m)), т.е. t= –15, m=4 , а g(x)= , следовательно

F(x)= . Ответ: F(x)= +С.

в) f(x)= . Ответ: F(x)= –2tg(π/3–x);

г) f(x)=7–3x+6x²–4x³. Ответ:F(x)=7x –1,5x²+2x³ –x⁴;

д) f(x)=2сos(2x–1). Ответ: F(x)= sin(2x-1).

2. Найдите неопределённый интеграл

a) Решение: воспользуемся правилами нахождения неопределённого интеграла: .

Ответ:

б) . Ответ: 8 ; в) . Ответ: 2х –0,25х⁴ –0,5х ^–2+С;

г) ; Ответ: –0,25(3+8х)^–2 –0,5sin2x; д) . Ответ: 0,5х² –sinx –4x ^–4;

3. Вычислите интегралы: a) . Решение: воспользуемся формулой Ньютона–Лейбница . . Ответ: б) . Ответ: 1; в) . Ответ: 20;

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y= , y=0, x=–1, x=1. Фигура ограниченная данными линиями является криволинейной трапецией и её площадь равна: Ответ: 0,4.

Блок 1 Тест самоконтроля

1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

a) F(x)=3–sinx, f(x)=cosx, xÎ(- ; );

б) F(x)=5– , f(x)= – 4 , xÎ(- ; );

в) F(x)=соsx–4, f(x)= – sinx, xÎ(- ; );

г) F(x)=3x+ , f(x)= , xÎ(0; )?

Ответ: нет, да, да, нет.

2. Правильно ли вычислены интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ?

Ответ: нет, да, нет, да, да.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0, x=0, x=p.

Ответ:2.

4. Верны ли равенства:

а) ; б) ; в) ;

г) д) ;

е) ?

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.

Блок 1 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=1– x³, y=0, x=0;

б) y=sinx, y=0, x=p/6, x=p/3.

Блок 1 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x⁴, y=1;

б) y=2sinx, y=0, x=p/6, x=p/3.

Блок 2 Задачи

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) . Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: , интеграл от полученной функции легко вычисляется: . Ответ: +С.

б) . Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: .

Ответ: .

2. Для функции f(х)=2cosx найти первообразную, график которой проходит через точку М(–0,5p;1). Решение: Найдём множество первообразных функции f(x), F(x)=2sinx+C, известно что график первообразной проходит через точку M, значит F(-0,5π)=1, но F(x)=2sinx+C, следовательно , откуда С= –1. Ответ: F(x)=2sinx –1.

3. Вычислите интеграл:

; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: . Ответ: .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= (x+2)², y=0, x=0. Решение: площадь искомой фигуры является площадью соответствующей криволинейной трапеции, которую можно вычислить с помощью определённого интеграла, нижний предел интегрирования равен –2 т.к. в точке

(–2;0) график функции пересекает прямую у=0, верхний предел интегрирования равен 0, т.к. фигура ограничена прямой х=0. .

Ответ: .

Блок 2 Тест самоконтроля

1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

a) F(x)=2x +cos , f(x)= 2 – sin , xÎ(- ; ); б) F(x)= , f(x)= – , xÎ(-2;2);

в) F(x)= , f(x)= , xÎ(0; ); г) F(x)= , f(x)= , xÎ(0; )?

Ответ: да, да, нет, да.

2. Для функции f(х)= найдите первообразную, график которой

проходит через точку М(4;5):

а) F(х)= +3; б) F(х)=2 +1; в) F(х)=2 +3; г) F(х)= +5.

Ответ: б)

3.Верны ли равенства:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ?

Ответ: да, да, да, нет, да.

Блок 2 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

2. Графики первообразных F₁ и F₂ функции f(x)=3x² –2x+4 проходят через точки М(–1;1) и N(0;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F₁ и F₂ расположен выше?

3. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x² –2x+4, y=3, x=–1;

б) y=sinx, y=1/2, x=p/6, x=5p/6.

Блок 2 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

2. Графики первообразных F₁ и F₂ функции f(x)=–6x² +4x+1 проходят через точки М(0;2) и N(1;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F₁ и F₂ расположен выше?

3. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x³ , y=8, x=1;

б) y=cosx, y=1, x=–p/3, x=p/3.

Блок 3 Задачи.
Покажите, что функции F₁ (x)=tg²x, F₂ (x)= , F₃ (x)= являются первообразными функции f(x)= на интервале (-p/2; p/2). Найдите первообразную для функции f на интервале

(-p/2; p/2), график которой проходит через точку (0;10).

2. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;3), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 3x² .

3. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= sint cost. Найдите уравнение движения точки, если при t=p/4 её координата равна 3.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой 2x–4x² , линией x=–2 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x=0.

5. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороной в её середине?

Блок 3 Тест самоконтроля

1.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F(x)=f(p/2–x).

Ответ: f(x)=cosx, F(x)=sinx.

2. Являются ли первообразными для одной и той же функции F₁(x)=2соs²x, F₂(x)=cos2x, F₃(x)=3соs²x+ sin²x ? Если да, то укажите эту функцию.

Ответ: f(x)=–2sinx, F₂(x)= F₁(x)–1, F₃(x)= F₁(x)+1.

3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (3;7), если угловой коэффициент касательной в точке x равен x² .

Ответ: y=1/3x³–2 (угловой коэффициент касательной в точке x – производная в этой точке).

4. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= 2соs . Найдите уравнение движения точки, если при t=p/3 её координата равна 4.

Ответ: x(t)= 4sin +2 ( x’(t)= v(t) ).

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=2,5+2x–0,5x² , линией x=–1 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x=3.

Ответ: 10

Блок 3 Контрольный тест Вариант 1

1.Приведите пример ограниченной на интервале функции с неограниченной на этом интервале первообразной.

2.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что f(x)=2F(p/2–2x).

3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (p/4 ;5 ), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 6cosx .

4.Точка движется по координатной прямой с ускорением а(t)=–2t. В начальный момент t₀ =1 её координата x₀ =4 и скорость v₀ =2. Найдите уравнение движения точки.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой x²– 4x+5 и касательными к ней, проведёнными через её точки с абсциссами x=1 и x=3.

Блок 3 Контрольный тест Вариант 2

1.Приведите пример ограниченной на R функции с ограниченной на R первообразной.

2.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F(x)=–f(p/2–x).

3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (p/4 ;–3 ), если угловой коэффициент касательной в точке x равен sinx .

4.Точка движется по координатной прямой с ускорением а(t)=sint. В начальный момент t₀ =p/2 её координата x₀ =2 и скорость v₀ =1. Найдите уравнение движения точки.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=8x–2x² , линией x=0 и касательной к данной параболе, проведённой через её вершину.

Блок 4

1. Докажите следующую формулу: , где u, v –произвольные функции, dv, du – производные функций v и u.соответственно.

2. Используя выше доказанную формулу найти интеграл

3.Найдите наибольшее и наименьшее значение интеграла

Уровневая контрольная работа

1. Найдите неопределённый интеграл

а) ;

б) ;

2. Вычислите площадь фигуры ограниченной графиками функций

и

3. Вычислите определённый интеграл

а) ;

б)

4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции , касательной к нему в точке х=1 и осью у.

5. При каком отрицательном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями равна .

При составлении тестов использовались задания учебников [2, 5, 9, 11, 14].