Тема 5. Дискретные случайные величины
Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины – числа опробованных ключей.
Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак,
Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. =2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3. То есть,
Аналогично вычисляется вероятность
В результате получается следующий ряд распределения:
Задача 2. Построить функцию распределения F(x) для случайной величины из задачи 1.
Решение. Случайная величина имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка:
. Если xx невозможно (левее x нет значений случайной величины ) и значит, для такого x функция F(x)=0.
Если 1xx возможно только если =1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F(x)=1/3.
Если 2xx означает, что или =1, или =2, поэтому в этом случае вероятность P(P(=1)+P(=2)=2/3, т.е. F(x)=2/3.
И, наконец, в случае x3 неравенство x выполняется для всех значений случайной величины , поэтому P(P(=1)+P(=2)+P(=3)=1, т.е. F(x)=1.
Итак, мы получили следующую функцию:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/21/s_58838c52699c2/535147_5.png)
Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы
x h | 1 | 2 |
–1 | 1/16 | 3/16 |
0 | 1/16 | 3/16 |
1 | 1/8 | 3/8 |
Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность
.
Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:
;
;
.
Аналогично получается частное распределение для h:
;
.
Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:
x h | 1 | 2 | px |
–1 | 1/16 | 3/16 | 1/4 |
0 | 1/16 | 3/16 | 1/4 |
1 | 1/8 | 3/8 | 1/2 |
ph | 1/4 | 3/4 | 1 |
Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение
(т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности
в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины x и h независимы.
Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.
Для вычисления вероятности
отметим клетки, для которых выполнено условие
. Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/21/s_58838c52699c2/535147_16.png)
Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:
Вычислить математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратическое отклонение .
Решение. По определению математическое ожидание равно
.
Далее
,
а потому
.
Среднее квадратическое отклонение
.
Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить
.
Решение. Воспользуемся формулой
. А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений
и
, результат умножаем на вероятность pij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/21/s_58838c52699c2/535147_25.png)
Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(,).
Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем
; ;
и значит,
,
чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.
Задача 7. Случайный вектор (x,h) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.
Решение. Поскольку Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, то Мx=3/50+1/51+1/5(–1)=0 и Мh=0;
М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0.
Получаем cov(x,h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть x=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ=0,η=0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно, x и h зависимы.
Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день и имеют совместное распределение, заданное таблицей:
| 1 | +1 |
1 | 0,3 | 0,2 |
+1 | 0,1 | 0,4 |
Найти коэффициент корреляции.
Решение. Прежде всего вычисляем M=0,30,20,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределения и :
| 1 | +1 | p |
1 | 0,3 | 0,2 | 0,5 |
+1 | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
p | 0,4 | 0,6 | |
Определяем M=0,50,5=0; M=0,60,4=0,2; D=1; D=1–0,22=0,96; cov(,)=0,4. Получаем
.
Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии D=1 и D=2, а коэффициент их корреляции =0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.
Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:
.
Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:
h\x | 1 | 3 | 4 | 8 |
3 | 0,15 | 0,06 | 0,25 | 0,04 |
6 | 0,30 | 0,10 | 0,03 | 0,07 |
Найти условное распределение и условное математическое ожидание h при x=1.
Решение. Условное математическое ожидание равно
.
Из условия задачи найдем распределение составляющих h и x (последний столбец и последняя строка таблицы).
h\x | 1 | 3 | 4 | 8 | Ph |
3 | 0,15 | 0,06 | 0,25 | 0,04 | 0,50 |
6 | 0,30 | 0,10 | 0,03 | 0,07 | 0,50 |
Px | 0,45 | 0,16 | 0,28 | 0,11 | 1 |
Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам
, ,
а искомое условное математическое ожидание равно .
5