XIII районный конкурс
Конкурс творческих исследовательских работ
школьников 5-11 классов
Типы задач на проценты и способы их решения при сдаче ОГЭ
Автор: Федосеев Данил Дмитриевич Ученик 7 класса, МКОУ Шубинской СОШ Руководитель: Адутова О.В. Учитель математики, МКОУ Шубинская СОШ |
Оглавление Введение 3
Основная часть
Глава 1. Типы задач на проценты
1.1. История возникновения процентов 5
1.2. Типы задач на проценты и способы их решения 6
Практическая часть
Глава 2. Результаты выполнения задач на проценты
2.1. Подборка и анализ задач на проценты 9
2.2. Анализ результатов выполнения задач на проценты среди
учащихся 7 классов 9
Заключение 12
Использованная литература 13
Приложение1 14
Приложение 2 15
Приложение 3 18
Приложение 4 19
Введение
На уроках математики наш класс познакомился с заданиями государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе. Решение некоторых заданий не вызвало у меня затруднений. Например, действия с десятичными и обыкновенными дробями, решение линейных уравнений. Меня заинтересовало задание 16 - "Решение текстовых задач". Я выяснил, что в задание 16 собранны задачи по следующим темам: "Пропорции", "Разные задачи", и "Проценты" (Приложение 1). Меня заинтересовала тема "Проценты", так как в настоящее время проценты встречаются почти во всех областях человеческой деятельности. Мы встречаемся с процентами на уроках математики, физики, биологии, географии, при просмотре телепередач, чтение газет и журналов, в банке. Поэтому важно уметь решать задачи на проценты. Данную тему мы изучали в 5-6-х классах, причем непродолжительное время. В 7 классе задач, решаемых с помощью процентов, встречается не много. Мне стало интересно, какие задачи на данную тему включены в материалы государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе?
Цель моей работы: выяснить какие типы задач на проценты встречаются в текстах государственной итоговой аттестации по математике, как выполняют задачи на проценты учащиеся.
Поставленная цель требует решения следующих задач:
1. Познакомиться с историей возникновения задач на проценты;
2. Определить типы задач на проценты и способы их решения;
3. Подобрать и проанализировать задачи на проценты, которые входят в государственную итоговую аттестацию по математики в 9 классе;
4. Проанализировать результаты выполнения задач на проценты среди учащихся 7-го класса.
Методы исследования:
Гипотеза: если знать правила решения задач на проценты и уметь их применять, то можно повысить процент успешности выполнения задач на проценты.
Актуальность: Я считаю, что тема моей работы современна и актуальна, так как её исследование поможет качественно подготовится мне и моим одноклассникам к государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе. И начинать подготовку нужно заранее, чтобы в дальнейшем рационально использовать своё время на решение остальных заданий.
Основная часть
Глава 1. Типы задач на проценты
1.1. История возникновения процентов
Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменялось словом «cento» (сто) и писали сокращённо – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.
1.2. Типы задач на проценты и способы их решения
"Один процент – это одна сотая доля числа" - вот с такого определения я начал разбирать типы задач на проценты.
Определение одного процента можно записать равенством:
1% = = 0,01 * а
Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.
Вот так можно показать процент с помощью диаграммы:
В 5-7-х классах изучают три типа задач на проценты:
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).
Правило 2. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.
Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и. В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.
Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Практическая часть
Глава 2. Результаты выполнения задач на проценты
2.1. Подборка и анализ задач на проценты
Задачи с процентами в задание 16 можно разделить на три типа:
1) Нахождение процента от числа
2) Нахождение числа по его проценту
3) нахождение процентного отношения двух чисел
По рекомендации учителя математики, из банка заданий для подготовке к ОГЭ по математике "Решу ОГЭ" Д. Гущина и банка заданий Федерального института педагогических измерений, я сделал подборку задач на проценты (Приложение 2).
2.2.
Я выяснил, что задача на проценты была включена в экзамен государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе в 2015 году ("Методический сборник результатов ГИА в Новосибирской области в 2015 году") Задачу выполнили 70,37 % учащихся в Новосибирской области (Приложение 3). В 2016 году задача на проценты также была в материалах государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе. Моему классу скоро предстоит пройти ГИА по математике в 9 классе. Мне стало интересно, умеют ли мои одноклассники решать задачи на проценты?
Я провел анкетирование среди учеников 7 класса (Приложение 4).
В опросе принимали учащиеся 7 класса.
Первый вопрос анкеты показал, что большинство учащихся любят решать различные задачи.
При ответе на второй вопрос я выяснил, что у большинства учащихся
решение задач с процентами не вызывают затруднений.
Ответ на третий вопрос: " Решение задач какого типа вызывают у вас наибольшие затруднения?" - показал, что не все учащиеся могут определить тип задачи с процентами.
Как видно, отношение учащихся к решению задач неоднозначно. Некоторые из них не умеют решать типовые задачи или забыли способы их решения. Полученные результаты оказались ниже результата выполнения задач на проценты в Новосибирской области в 2015 году. Данные диаграммы ещё раз показывают актуальность выбранной темы.
Заключение
Исследовательская работа позволила мне по иному взглянуть на определение процента, известного из курса математики 5 класса, на различные типы задач на проценты. В ходе работы я вспомнил понятие процента, закрепил навыки решения задач на проценты. Я выяснил, что задачи на проценты входят в экзаменационные материалы государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе, поэтому важно знать типы задач на проценты и уметь их решать.
Не все мои одноклассники могут определять типы задач на проценты и умеют их решать. Моя исследовательская работа и подборка задач поможет моим одноклассникам научится решать задачи на проценты и подготовится к государственной итоговой аттестации.
Моя гипотеза подтвердилась, умение решать задачи на проценты поможет подготовится к успешной сдаче ГИА.
В ходе моей работы я познакомился с более сложными задачами на проценты, а также различными способами их решения, работу над которыми продолжу в следующем году. Я думаю, что результаты моей работы могут быть интересны и полезны другим учащимся.
Использованная литература
1. Н.Я. Виленкин. Математика. 5 класс. - М.: Мнемозина, 2013 г.
2. Н.Я. Виленкин. Математика. 6 класс. - М.: Мнемозина, 2013 г.
3. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика 5 класс. - М.: Мнемозина, 2010 г.
4. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика 6 класс. - М.: Мнемозина, 2010 г.
5. И.И. Зубарева. «Ещё раз о процентах» . Журнал «Математика в школе»№10 2006г
6. Е.Л. Мардахаева. «Новое – это хорошо забытое старое или ещё один метод решения коварных задач на проценты». Журнал «Математика в школе»№3 2010г
Ресурсы интернета
https://oge.sdamgia.ru
http://www.fipi.ru
http://nimro.ru
Приложение 1
Приложение 2
Подборка задач на проценты
1. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?
2. Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
3. Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
4. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
5. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?
6. Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма в рублях из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
7. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?
8. В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
9. Тест по математике содержит 30 заданий, из которых 18 заданий по алгебре, остальные –– по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания?
10. На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
11. Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?
12. В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?
13. Брюки дороже рубашки на 20%, а пиджак дороже рубашки на 44%. На сколько процентов пиджак дороже брюк?
14. Виноград стоит 160 рублей за килограмм, а малина — 200 рублей за килограмм. На сколько процентов виноград дешевле малины?
15. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
16. Спортивный магазин проводит акцию: «Любая футболка по цене 300 рублей. При покупке двух футболок — скидка на вторую 60%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?
17. В течение августа помидоры подешевели на 50%, а затем в течение сентября подорожали на 70%. Какая цена меньше: в начале августа или в конце сентября — и на сколько процентов?
18. Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 4000 рублей. В сентябре он стал стоить 2560 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с апреля по сентябрь?
19. Туристическая фирма организует трехдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 3500 р. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек — 5%, группе более 10 человек — 10%. Сколько заплатит за экскурсию группа из 8 человек?
20. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 12,5%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.
21. Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляет 2,5%. Выразите эту часть десятичной дробью.
22. Плата за телефон составляет 340 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 2%. Сколько придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?
23. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй — на 45%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1400 р.?
24. На предприятии работало 240 сотрудников. После модернизации производства их число сократилось до 192. На сколько процентов сократилось число сотрудников предприятия?
25. В начале 2010 г. в поселке было 730 жителей, а в начале 2011 г. их стало 803. На сколько процентов увеличилось число жителей поселка за год?
26. После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?
27. Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,71 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?
28. В начале учебного года в школе было 1250 учащихся, а к концу года их стало 950. На сколько процентов уменьшилось за год число учащихся?
29. Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а виноград – 160 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дороже винограда?
30. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Десяток яиц стоит в магазине 35 рублей, а пенсионер заплатил за них 33 рубля 25 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?
31. Магазин детских товаров закупает погремушку по оптовой цене 260 рублей за одну штуку и продаёт с 40-процентной наценкой. Сколько будут стоить 3 такие погремушки, купленные в этом магазине?
32. Суточная норма потребления витамина С для взрослого человека составляет 60 мг. Один помидор в среднем содержит 17 мг витамина С. Сколько процентов суточной нормы витамина С получил человек, съевший один помидор? Ответ округлите до целых.
33. В городе 190 000 жителей, причем 29% – это пенсионеры. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.
Приложение 3
Результаты из "Методического сборника результатов ГИА в Новосибирской области в 2015 году"
Приложение 4
Опрос среди учащихся 7 класса
Вопрос | Ответ |
1. Любите ли вы решать задачи? А) да б) нет в) не всегда 2. Вызывают ли у вас затруднение решение задач с процентами? А) да б) нет в) не всегда 3. Решение задач какого типа вызывают у вас наибольшие затруднения? А) Находим процент (дробь) от числа. Б) Находим число по его проценту (дроби). В) Находим процентное отношение двух чисел 4. Решите задачи: А) За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества? Б) Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки? В)В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе? | |