Точечные оценки параметров распределения

Точечные оценки параметров распределения

Рассмотрим повторную выборку значение генеральной

совокупности . Пусть , генеральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оценок для и рассмотрим выборочную среднюю [среднюю арифметическую выборки]

и выборочную дисперсию

Доказано, что является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой для , причем

Доказано, что , т.е. оценка является смещенной.

На практике, чтобы избавится от этого недостатка, для оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправленной несмещенной оценкой

Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оценка ,

так и является состоятельными оценками для .

Для бесповторной выборки оценки (1), (4) так же являются несмещенными и состоятельными, а дисперсия равна

Где объем генеральной совокупности. При бесповоротная выборка неотличима от повторной и формула (8) переходит в формулу (6).

Пусть генеральная совокупность содержит элементов, обладающих некоторыми признаками Тогда генеральной долей признаки называется величина

Для доли несмещенной и состоятельной оценкой будет выборочная

доля.

где число элементов выборки, обладающих признаком

Дисперсия в случае повторной выборки равна

а в случаи бесповторной выборки

где

Если намного меньше то повторная выборка практически не отличается от беспроводной и формулы (8) и (12) дают одинаковый результат. Если же , то объёмвыборки равен объёму генеральной совокупности и выборочная доля равна генеральной, тогда

Для наглядности и удобства пользования сведем данные о точечных оценках параметров генеральной совокупности в таблицу:

Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Важно! При больших неизвестные параметры в формулах для дисперсии можно заменить на их выборочные значения без особой потери точности.