Тренировочная работы по математике в форме ЕГЭ профиль, 11 класс с изменениями 2022 года

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 1.

1. Найдите корень уравнения 

2. В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме "Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор".

3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 20,   Найдите BC.

4.

Найдите значение выражения 

5.  Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

6.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−5; 4].

7. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта   Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

8. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 90 км/ч, а последнюю — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

9.

На рисунке изображён график функции   Найдите 

10. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

11. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и  Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

14. Решите неравенство: 

15. Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не большее 270 тысяч рублей?

16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и 

17. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок 

18. Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 2.

1.

Решите уравнение 

2. В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме "Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор".

3.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите значение выражения 

5.  Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6. На рисунке изображён график   — производной функции   определенной на интервале (−11; 2). В какой точке отрезка [−9; 1] функция   принимает наибольшее значение?

7. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением   где p (атм.) — давление газа, V — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

8. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15 минут, а первый и третий — за 24 минуты. За сколько минут три эти насоса заполнят бассейн, работая вместе?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения  .

10. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

11.

Найдите точку минимума функции 

12. Решите уравнение 

13. ABCA₁B₁C₁ — правильная призма, сторона AB равна 16. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB₁ соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.

а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 40.

б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 46.

14. Решите неравенство

15. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды – 14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится?

16. Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O₁ касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO₁ прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 15 и AK = 32.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет более одного корня.

18. На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 3.

1. Найдите корень уравнения 

2. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

3.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 2. Найдите гипотенузу этого треугольника.

4. Найдите   если 

5.  Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

6.

Прямая   параллельна касательной к графику функции   Найдите абсциссу точки касания.

7.

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.

В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение   где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

8. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b, c и d — целые. Найдите 

10. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °C, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

11. Найдите точку максимума функции 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.

а) Докажите, что KM перпендикулярно AC.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC, если AB = 12, AC = 16 и AA₁ = 6.

14. Решите неравенство: 

15. У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

16. Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

18. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 4.

1.

Решите уравнение   Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

2. Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,091. В некотором городе из 1000 проданных ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую поступило 96 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, угол A равен     Найдите 

4. Найдите значение выражения 

5.  Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6.  На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = 6 − 2x или совпадает с ней.

7. Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону   где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний,   м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле   где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

9.

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

10. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

11. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 12. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 : 1, считая от вершины M.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

14. Решите неравенство 

15. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 15 млн рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 110 млн, а к концу проекта — больше 190 млн рублей.

16. В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B.

а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABM, если MK = 9, PK = 6, MP = 5.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].

18. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100.

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 5.

1. Найдите корень уравнения 

2.

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выступать после группы из Канады и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.

3.  Сторона AB треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

4. Найдите значение выражения 

5.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   B, C,    прямоугольного параллелепипеда   у которого     

6.  На рисунке изображен график производной функции  определенной на интервале   Найдите точку экстремума функции   на отрезке 

7. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле   где   r_пок — средняя оценка магазина покупателями, r_экс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 49, их средняя оценка равна 0,88, а оценка экспертов равна 0,38.

8. Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения  .

10. Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 5».

11.

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

а) Докажите, что AA₁ = AС.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 7, BC = 8.

14. Решите неравенство: 

15. 5 января 2020 года Андрей планирует открыть вклад на сумму 3 миллиона рублей. Первые три года 2 января банк будет начислять 10% на сумму вклада, а в последующие годы банк будет начислять 5% на сумму вклада.

4 января каждого года Андрей будет делать дополнительный взнос на вклад так, чтобы после этого величина вклада на 5 января была больше величины вклада на 5 января прошлого года на одно и то же число. Определите общий размер начислений банка, если 3 января 2031 года на вкладе будет лежать 24,15 миллиона рублей.

16. В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = 10, AC = BC = 13, вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₂ и О₃ центры этих окружностей. Найдите:

а) радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) площадь треугольника О₁, О₂, О₃.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

18. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a  b  c  d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a² − b² + с² − d² = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a² − b² + с² − d² = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a² − b² + с² − d² = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 6.

1. Найдите корень уравнения 

2.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет 1?

3.

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

4.

Найдите значение выражения 

5.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен 

6.  На рисунке изображены график функции   и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции   в точке x₀.

7. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель − целое число от –2 до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид 

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.

8. Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения  .

10. Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

11.

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

13. На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 10, а B₁Q = 4. Плоскость A₁PQ пересекает ребро CC₁ в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки С₁ до плоскости A₁PQ.

14. Решите неравенство

15. Строительство нового завода стоит 192 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x² + 4x + 18 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x² + 4x + 18). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет?

16. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

б) Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN = 1, AM + PN = 3 .

17. Найдите все значения a, при которых неравенство   выполняется для всех действительных значений 

18. Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа делятся на 36?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ ровно 9 чисел делятся на 36?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n больше кратных 36, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, ..., a_5n?

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 7.

1. Найдите корень уравнения 

2. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 спортсмена из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России.

3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите 

4. Найдите значение выражения 

5.  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

6.  На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

7. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле   где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на холме, видит горизонт на расстоянии 8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 11,2 километров?

8. Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

10. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

11. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

14. Решите неравенство: 

15. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использоваться или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

16. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что 

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если 

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

меньше 2.

18. Возрастающие арифметические прогрессии   и   состоят из натуральных чисел.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых 

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых  ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение   если  ?

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 8.

1. Найдите корень уравнения 

2. На конференцию приехали 6 ученых из Швейцарии, 3 из Болгарии и 6 из Австрии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что третьим окажется доклад ученого из Болгарии.

3.

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 9. Найдите сторону ромба.

4. Найдите значение выражения: 

5.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁прямоугольного параллелепипеда   у которого     

6.  На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

7. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле   где  (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 16 километров? Ответ выразите в километрах.

8.

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

10. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

11. Найдите точку минимума функции 

12. 

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМпроведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20, а боковое ребро — 

а) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.

б) Найдите площадь этого сечения.

14. Решите неравенство: 

15. В июле планируется взять кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

16. Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

18. Последовательность a₁, a₂, ...,a_n,... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2 = a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б) Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 

Ответы Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8