Триады Мякишева

Первая арифметическая триада 1+2=3 представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 1 и , гипотинузой в осевом сечении цилиндра

А

В

С

Тангенс угла 35⁰16′ наклона этой диагонали равен Для определенности назовем его углом И.Кеплера в теореме: Из всех цилиндров с постоянной длиной диагонали в осевом сечении, наибольшей объем имеет, тот, у которого отношение диаметра основания к высоте равно .

Тангенс 26⁰34′ равный 0,5 представляет угол в теореме:

«Из всех цилиндров с открытыми верхними основаниями с постоянной площадью поверхности, наибольший объем имеет тот, у которого отношение диаметра основания к высоте равна 2».

И, конечно, тангенс 45⁰ равный 1 представляет классическую теорему «Из цилиндров с открытыми верхними основаниями с постоянной площадью полной поверхности, наибольший объем имеет тот, у которого высота равна диаметру».

Этот прямоугольный треугольник выражен арифметической триадой: 1+1=2 или .

Удвоение этого треугольника относительно катета ВС порождает равно равнобедренный треугольник с углом А=С=54⁰44′.

У этого треугольника ортоцентр Н делит высоту пополам, а центр описанной окружности О находится в середине отрезка HN. Таким образом АО=ОВ=R;

Но самое важное в том, что четвертая вершина равногранного тетраэдра D находится на перпендикуляре DN=BN к плоскости ΔABC, при этом этот тетраэдр можно получить перегибанием листа бумаги формата А4.

Грань АВD перпендикулярна грани АВС; центроид G удален от плоскости АВС на расстоянии ON=r*. Так нам центроид G совпадает с центром вписанной сферы, то удобно AN=4 у.е.; BN=4 ; ON= ; AB=8; AC=4 . Если B^(4;4√2)C^(8,0), то D^(4;0,4√2); G*≡O*≡J*(4 )

R*= ; r*= .

Введем понятие сопряженности ортоцентра к равногранному тетраэдру с той же опорной гранью АВС, вершина которого Е* проектируется в ортоцентр Н, поэтому Е(4; 2 ;4 ), его H*(4; 2 ).

На гранях равногранного и ортоцентрического тетраэдров можно демонстрировать отдельные компоненты геометрии треугольника.

Триада 2,3,4- треугольник основная грань тетраэдра Торичелли!

Из всех треугольников вида n-1, n, n+1 существует только один треугольник 2, 3, 4! Соответствующее квадратное уравнение имеет только одно целочисленное решение:

(n-1)²+(n²)n+1)².

В тетраэдре ABCD (см.чертеж) с высотой DG проведем отрезки CE, FG и DF перпендикулярно к АВ, СН параллельно к АВ¹. Высота DG тетраэдра является высотой треугольника DFH. Она будет найдена, если нам удастся найти стороны этого треугольника. Стороны DF и FH=СЕ могут быть найдены как высоты соответственно треугольников АВD и АВС, стороны которых известны. Третью сторону DН можно рассматривать как катет прямоугольного треугольника CDH, гипотенуза которого известна, а другой катет СН=EF есть разность отрезков BF и BE; последние вычисляются по обобщенной теореме Пифагора, примененной к треугольникам ABD и АВС. Шаги приведенной схемы требуют применения формулы Герона, обычный вид которой удобен в случае рациональных сторон треугольника. Если же последние являются квадратичными иррациональностями (таковыми могут оказаться стороны треугольника DFH), удобнее использоваться следующей записью формулы Герона:

1 6S²=4a²b²-(a²+b²-c²)².

Приведем численный пример: Пусть а=2, b=3, с=4, а₁=3, b₁=4, с₁=3.

Имеем:

;

Треугольник 3,4,5 – египетский. Из всех прямоугольных треугольников вида n-1, n, n+1.

(n-1)²+(n²) = (n+1)².

n²-4n=0

N=4.

4,5,6- такой треугольник был представлен недавно на республиканской Олимпиаде в Якутии. У такого треугольника ﮮС = 2ﮮА, AD = BD = 8.

144=81+63.

A=41⁰24´.

C=82⁰48´.

Треугольник 5,6,7 использовался в заданиях ЕГЭ 2011 года.

1. Надо было найти длину отрезка касательной и вписанной окружности.

Ответ:

При заключительном объяснении этого задания, надо сформулировать теорему Зеттеля:

Если длина сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то

, где b- среднее сторон.

Треугольник 13,14,15 имеет стороны на 10 больше, чем такие же параметры у египетского, с другой стороны это первый треугольник вида n-1, n, n+1 сопряженный нашему, так как он тоже является объединением египетского и индийского.

И, в заключении надо дать обобщенную формулу героновых треугольников Шебаршина: n-1, n, n+1.

=16+36=52;

Объединение треугольников 45;28;53 с латинским треугольником 3(15;8;17).

, .

Найдем точки касания M_i.

N(5,76 ; 7,68)

N- основание высоты, опущенной из прямого угла.

Уравнение окружности Эйлера:

(x-4)²+(y-3)²=25

(5,76-4)²+(7,68-3)²=1,76²+4,68²=25

Триада:

1,76; 4,68; 5 или 44; 117; 125

1^ Я.А.Габович 1963 с.58.

2