Тригонометрические уравнения и неравенства в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике

Тригонометрические уравнения и неравенства в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике

Рассмотрим какие задания по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» предлагаются в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена по математике за 2012-2018 годы.

Вначале рассмотрим несколько примеров из КИМов ЕГЭ по математике последних лет.

Пример 1.1 (ЕГЭ – 2018). Решить уравнение:

а) .

б) Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.

Применяя формулу синуса суммы аргументов, уравнение примет вид:

или

или или .

Отбор корней проведем с помощью числовой окружности.

, , .

Ответ: а) , , ;

б) , , .

Пример 1.2 (ЕГЭ – 2012). а) Решите уравнение:

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

Преобразуем левую часть уравнения:

,

,

или ,

.

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку .

Получим числа: , , .

Ответ: а) , б) , , .

Пример 1.3 (ЕГЭ – 2014). а) Решите уравнение:

.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

Преобразуем левую часть уравнения:

,

,

,

или ,

или .

С помощью числовой окружности отберем корни.

Получим: , , .

Ответ: а) , , б) , , .

Пример 1.4 (ЕГЭ – 2016). а) Решите уравнение:

.

б) укажите корни этого уравнения из отрезка .

Решение.

Преобразуем обе части уравнения, записав уравнение в виде:

,

,

или ,

или или .

С помощью числовой окружности отберем корни.

Получим числа: , .

Ответ: а) , , , б) , .

Таком образом, даже беглый анализ показывает, что для успешного решения данных заданий ученик должен владеть различными умениями:

- уметь применять различные формулы тригонометрии, в частности, формулы приведения, двойного угла, понижения степени, преобразования синуса суммы аргументов,

- уметь решать тригонометрические уравнения различных типов, в частности, владеть методами разложения тригонометрических выражений на множители и введения новой переменной,

- уметь учитывать различные ограничения и отбирать корни по заданному промежутку.

Рассмотрим несколько примеров из сборников для подготовки к ЕГЭ.

Пример 1.5. Найдите число корней уравнения .

Решение. Применяя утверждение о равенстве нулю произведения двух функций, будем иметь две системы:

1) или 2)

Решим первую систему.

(1) Û Û Û .

(2) Û Û .

Выберем из серии те, которые принадлежат промежутку .

Û Û , откуда . Следовательно, .

Решим вторую систему.

(3) . Оба значения удовлетворяют условию (4).

Подводя итог, получаем, что уравнение имеет 6 корней.

Ответ: 6.

Пример 1.6. Определите число корней уравнения на отрезке .

Решение. Представим данное уравнение в виде . Далее последовательно выполняем следующие преобразования:     .

Из них отрезку принадлежат числа , , , , . Но при и значение равно 0.

Таким образом, данному отрезку принадлежат только три корня данного уравнения.

Ответ: 3.

Пример 1.7. Найдите наименьший положительный корень уравнения .

Решение.

 

  или 

 (второе уравнение не имеет корней, так как 1,51).

Понятно, что наименьшим положительным корнем будет 0,2 (при k=1).

Ответ: 0,2.

Проведем некоторый методический анализ.

При выполнении первого из приведенных заданий, во-первых, ученик должен знать указанное утверждение о равенстве произведения нулю, знать ограничения, которые влекут за собой квадратный корень и тангенс. Во-вторых, он должен владеть умением отбирать числа, принадлежащие некоторому множеству. Отметим, что в подобных случаях существует три возможных варианта – решение двойного неравенства (чем воспользовались мы); перебор и использование числовой окружности (или прямой). Практика показывает, что эти умения сформированы лишь у отдельных учащихся.

Далее отметим, что, несмотря на необходимость нахождения числа корней, мы находили и сами корни. Это связано с тем, что часто значения, получаемые из различных случаев, повторяются. Тоже довольно тонкий вопрос.

Второе задание уже в явном виде задает соответствующий промежуток, которому должны принадлежать корни уравнения. В данном случае мы отобрали корни с помощью непосредственного перебора. Опять же здесь очень важно не упустить ограничения, связанные с наличием тангенса.

Третье задание заметно проще. Но и оно предполагает, что ученик не испытывает психологических трудностей при работе с аргументом, связанным с p и умеет моделировать ситуацию по вопросу задачи.

Задания № 13 из КИМов ЕГЭ часто представляют из себя комбинированные задания, когда уравнения содержат комбинации тригонометрических функций с иррациональными и логарифмическими функциями.

Такие уравнения решают успешно не более трети учащихся.

Несмотря на то, что тригонометрические неравенства не входят в обязательное содержание школьного курса, в КИМах ЕГЭ содержится ряд заданий на исследование функций, выполнение которых приводит к решению тригонометрических неравенств. Кроме того, включены комбинированные неравенства, содержащие функции разных видов.

Как показывает приведенный анализ, выпускник должен показать не только знание известных методов решения уравнений и преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т.п. Все это требует изменения методики обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств. Рассмотрение возможных методических подходов мы проведем во второй главе нашего исследования.