Тригонометрические уравнения и неравенства в содержании школьных учебников по алгебре и началам математического анализа

Тригонометрические уравнения и неравенства в содержании школьных учебников по алгебре и началам математического анализа

В настоящее время вопросы решения тригонометрических уравнений и неравенств изучаются в 10-11 классах в рамках 102 - часового курса «Алгебра и начала математического анализа».

Проанализируем различные учебники курса алгебры и начал математического анализа последних лет, чтобы выяснить, каким образом идет изложение темы «Тригонометрические уравнения и неравенства».

В качестве таких учебников мы рассмотрим следующие:

• Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. (базовый уровень) Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. - М.: Просвещение, 2012 [8].

• Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. средн. шк. / М. И. Башмаков. – М.: Просвещение, 2010 [3].

• Алгебра и начала математический анализ. 10 кл. Углубленный уровень/ Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М., 2014 [4].

• Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл./ А.Н. Колмогоров, О.С. Ивашев-Мусатов, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд, – М.: Просвещение, 2008 [9].

• Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник (базовый уровень) / А.Г.Мордкович. – М., 2013 [7].

• Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник (проф. уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М. 2009 [5].

• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник: базовый и проф. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2009 [6].

Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников в целом. Данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеет свои особенности.

Учебник [7], например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличием большого числа примеров с подробными решениями. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии.

Учебник [9] имеет прикладную направленность, содержание отличается большей научностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей мере научен, чем доступен. Теоретический материал изложен достаточно кратко и лаконично.

Учебник [3] также имеет прикладную направленность, но в отличие от [9] ориентирован на физические приложения математических знаний и умений. В конце учебника представлены несколько лабораторных работ. В конце учебника весь изученный материал представлен в виде схем и таблиц, что удобно не только ученику при подготовке к какому-либо контрольному мероприятию, но и учителю при подготовке к уроку или к системе уроков. Также среди достоинств этого учебника стоит отметить и тот факт, что каждая глава открывается вводной беседой, подготавливающей появление новых основных понятий, и заключительной беседой, которая включает в себя сведения, полезные для учащихся, интересующихся математикой.

Учебники [4], [6], предназначенные для изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах с профильной подготовкой по математике. Изложение материала в учебнике [4] дается подробно и обстоятельно. Представлены подробные решения большого числа примеров. Отличительной особенностью, как и в [7], является приоритет функционально-графической линии.

В учебнике [6] содержится большое количество образцов решения задач по всем темам, что позволяет достичь результатов в решении задач на базовом уровне. Учебник завершается разделом «Задания для повторения», содержащим задачи как для текущего повторения, так и для подготовки к итоговой аттестации.

Перейдем к анализу изложения непосредственно темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» в данных учебниках.

Начнем анализ с учебника [9]. Этот учебник долгие годы был единственным, а затем основным в школе при изучении курса алгебры и начал анализа.

Первое. Отметим последовательность рассмотрения материала. Вначале изучаются тождественные преобразования тригонометрических выражений, далее вопросы, связанные со свойствами функций, в том числе тригонометрических функций. Завершалось изложение решением тригонометрических уравнений и неравенств.

Этот блок материала состоит из следующих вопросов:

1. решение тригонометрических уравнений;

2. решение тригонометрических неравенств;

3. примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.

В последнем пункте приводятся примеры уравнений, решаемых с помощью введения новой переменной:

,

,

,

однородные и неоднородные тригонометрические уравнения 2 степени:

,

,

уравнения, решаемые с помощью метода разложения на множители:

,

.

А также рассматривается система

Среди упражнений для решения по отработке материала, помимо аналогичных приведенным, предлагаются однородные уравнения 1 степени и уравнения, которые решаются с помощью применения различных преобразований (ниже мы отнесем их к уравнениям 7 типа).

Отметим еще, что в рассматриваемом учебнике тригонометрические неравенства решаются с привлечением числовой окружности, а учебнике с более ранней версией издания с помощью графиков тригонометрических функций.

В учебнике [8] опять же вначале изучают тождественные преобразования тригонометрических выражений. Далее рассматриваются тригонометрические уравнения и неравенства, а уже затем тригонометрические функции.

Параграф «Решение тригонометрических уравнений» содержит следующие пункты:

1. уравнения, сводимые к квадратам (отметим, что материал полностью идентичен, как и в учебнике [9]);

2. уравнения вида .

Здесь разбираются задачи:

«Решите уравнения

,

,

».

Как видим, в данном учебнике рассматриваются однородные уравнения 1 степени, неоднородные уравнения 1 степени и уравнения, относимые нами далее к 6 типу.

1. уравнения, решаемые разложением левой части на множители.

Отметим, что в этом пункте помимо заданий, аналогичных как в учебнике [9], предлагаются и такие:

«Решите уравнения

,

».

Первое из них предполагает по сравнению со многими другими примерами достаточно нетривиальные преобразования, а второе требует привлечения очень важного утверждения о равенстве произведения нулю, при использовании которого учащиеся очень часто допускают ошибки.

Далее идет параграф о решении простейших неравенств. В этом учебнике они решаются с привлечением числовой окружности.

Отметим также, что задачный материал, предлагаемый в учебнике [8] значительно более богатый, чем в учебнике [9] как с количественной позиции, так и качественной. Самое главное, что есть много заданий, при решении которых требуется активно применять различные формулы тригонометрии (7 тип).

В учебнике [3] изложение материала ведется в последовательности тригонометрические функции  тождественные преобразования тригонометрических выражений  тригонометрические уравнения. В последнем параграфе рассматривают:

1) простейшие тригонометрические уравнения;

2) уравнения, сводимые к алгебраическим, в частности, здесь разбирается неоднородное тригонометрическое уравнение 1 степени, которое решается с помощью универсальной тригонометрической подстановки

;

3) уравнения, решаемые понижением степени (7 тип)

,

;

4) уравнения, решаемые после преобразований с помощью тригонометрических формул (7 тип)

,

;

5) однородные и неоднородные тригонометрические уравнения 2 степени.

Тригонометрические неравенства в данном учебнике не рассматриваются.

Упражнения для самостоятельного решения предлагаются в полном соответствие с указанными выше типами уравнений.

В учебнике [7] раздел, связанный с тригонометрией, излагается в такой последовательности: тригонометрические функции  тригонометрические уравнения  тождественные преобразования тригонометрических выражений (с решением соответствующих уравнений и неравенств).

В этом учебнике, как мы видим, раздел материала, касающийся тригонометрических уравнений и неравенств, рассматривается в 2 блоках. В первом из них решение проводится без использования основных формул тригонометрии, во втором уже с их привлечением.

Рассмотрим, какие уравнения рассматриваются в первом блоке. Это:

1) простейшие тригонометрические уравнения и неравенства;

2) однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени;

3) неоднородные уравнения 2 степени.

Здесь же значительное место отводится решению заданий с отбором корней. Выделяются два основных метода решения тригонометрических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители. В последнем случае предлагается пример

.

Во втором блоке по мере изучения необходимых формул предлагаются соответствующие уравнения и неравенства. Отметим, что в явном виде изучается формула дополнительного аргумента

.

В учебнике [5] для профильного уровня в первом блоке добавляются примеры, которые иллюстрируют наиболее «тонкие» ситуации при решении соответствующих типов уравнений. Например, рассматривается такой пример

,

при решении которого требуется учитывать ограничения на переменную.

Во втором блоке в данном учебнике вопрос о решении тригонометрических уравнений уже выделяется в отдельный параграф «Методы решения тригонометрических уравнений». Здесь рассматривается применение формул универсальной тригонометрической подстановки, а также задания повышенного и высокого уровня сложности.

В учебнике [4], изначально рассчитанного на классы математической специализации, тема в целом излагается в классической последовательности: тригонометрические функции  тождественные преобразования тригонометрических выражений  тригонометрические уравнения.

В последнем случае рассматриваются:

1) простейшие тригонометрические уравнения;

2) уравнения, сводимые к простейшим

,

;

3) уравнения вида

,

;

4) уравнения, решаемые методами замены переменной и разложения на множители;

5) различные виды тригонометрических уравнений, при решении которых используются разнообразные формулы тригонометрии (7 тип);

6) простейшие тригонометрические неравенства и неравенства более сложного вида, например,

.

В учебнике [6], который стал сейчас очень распространенным в профильных классах в нашем городе, материал рассматривается в последовательности тождественные преобразования тригонометрических выражений  тригонометрические функции  тригонометрические уравнения и неравенства.

В теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» рассматриваются:

1) простейшие тригонометрические уравнения;

2) уравнения, сводимые к простейшим путем замены переменной

,

,

.

3) уравнения, решаемые с помощью различных формул тригонометрии (7 тип);

5) однородные уравнения, причем n-ой степени;

6) простейшие тригонометрические неравенства и сводимые к ним;

7) уравнения и неравенства, решаемые с помощью формулы дополнительного аргумента;

8) уравнения и неравенства, решаемые заменой

,

,

.

Последние три пункта отмечены звездочкой и рассчитаны на изучение только в профильных классах. Должное внимание уделяется заданиям с отбором корней.

Подведем итоги.

1. Во всех учебниках, кроме [7], тригонометрические уравнения рассматриваются после изучения формул тригонометрии.

2. Только в учебниках [7] и [6] уделяется достаточное внимание решению тригонометрических уравнений с отбором корней.

3. Несмотря на схожесть во многих позициях у авторов в вопросе классификации тригонометрических уравнений, ни в одном учебнике в явном виде такой классификации не проводится, а в ряде случаев одни и те же задания могут быть отнесены в разные типы.

4. Наиболее полно рассмотрение различных типов тригонометрических уравнений представлено в учебнике [6].

5. Тригонометрические неравенства в достаточном объеме для профильного уровня рассматриваются в учебнике [4] и [6].

Для разработки эффективной методики изучения тригонометрических уравнений и неравенств необходимо также представлять характер и уровень сложности заданий, которые могут быть предложены учащимся в рамках единого государственного экзамена. Данный анализ мы проводим в третьем параграфе данный главы.