Цикл уроков по теме: «Аксиомы стереометрии и их следствия».

Цикл уроков по теме: «Аксиомы стереометрии и их следствия».

Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Цели урока:

1. ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;

2. изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;

3. учить применять аксиомы стереометрии при решении задач.

Ход урока:

Слайд 1.

1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

2. Изучение нового материала.

Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.

Слайд 2.Вопросы учащимся:

- Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)

- Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)

- Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)

Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.

Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)

Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.

1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.

Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Слайд 6. Вопросы учащимся:

- Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.

- Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Слайд 7. Практическая работа ( в тетрадях)

1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).

2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА₁В₁С₁Д₁

3. Выделите цветным карандашом:

• вершины А, С, В₁, Д₁; отрезки АВ, СД, В₁С, Д₁С; диагонали квадрата АА₁В₁В.

Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА₁В₁В в пространстве.

Слайд 8. Вопросы к учащимся:

- Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.

Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12. Вопрос учащимся:

- Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

3. Закрепление изученного материала.

Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).

Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.

Задача 1.

а) Р, Е (АДВ) РЕ (АДВ) по А₂

Аналогично МК (ВДС)

В,Д (АДВ) и (ВДС) ВД (АДВ) и (ДВС)

Аналогично АВ (АДВ) и (АВС)

С, Е (АВС) и (ДЕС) СЕ (АВС) и (ДЕС)

б) С (ДК) и (АВС) ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной ( прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.

Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.

Задача 2(а)

В плоскости ДСС₁: Д, С, С₁, Д₁, К, М, R. В плоскости ВQС: В₁, В, Р, Q, С₁, М, С.

Слайд 15. 4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

1. Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?

2. Что такое стереометрия?

3. Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

Слайд 16. 5. Домашнее задание.

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом.

Цели урока:

- повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;

- ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;

- научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;

- повторить формулы вычисления площади ромба.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.

2) №1 (в,г); 2(б,д).

Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.

Слайд 3. 3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.

- Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)

- Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)

- Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)

- Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)

- Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)

- Где построим еще две точки? (на данной прямой)

- Какой вывод можем сделать? ( через три точки строим плоскость)

- Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)

- На основании чего можно сделать такой вывод? ( на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)

- Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)

- Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)

Слайд 4. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)

Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

Слайд 5. 4. Закрепление изученного материала.

Задача 6 (из учебного пособия)

Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.

Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.

Дано: АВСД – ромб, АС∩ВД=О, М, (А,Д,О); АВ = 4см, А=60º.

Найти: (В,С); Д (МОВ); (МОВ)∩(АДО); S_АВСД.

Решение:

Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

5. Подведение итогов:

- Сформулируйте аксиомы стереометрии.

- Сформулируйте следствия из аксиом.

Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.

Выставление отметок (с комментариями)

Слайд 8. 6. Постановка домашнего задания:

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:

- повторить аксиомы стереометрии и их следствия;

- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;

- учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.

3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд .

4) Фронтальная работа с учащимися.

Слайд 2. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1

Найдите:

1. Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)

2. Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А₁, В₁, С₁, Д₁)

3. Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)

4. Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А₁В₁, В₁С₁, С₁Д₁, А₁Д₁, А₁С₁, В₁Д₁, АА₁, ВВ₁, СС₁, ДД₁)

5. Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ₁, СС₁)

6. Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА₁ …)

Слайд 3. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Слайд 4. Лежат ли прямые АА₁, АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА₁, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)

3. Решение задач.

Слайд 5. Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.

Задача № 7.

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Решение: По следствию 2:

2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)

Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.

Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.

Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Слайд 6. Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.

Задача. Дано: куб АВСДА₁В₁С₁Д₁

т.М лежит на ребре ВВ₁, т.N лежит на ребре СС₁ и точка К лежит на ребре ДД₁

а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.

б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.

г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.

Решение:

Слайд 7. Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Слайд 8. Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.

Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.

Ответ: 60 см²

4. Подведение итогов урока.

- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.

- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?

- Что полезного для вас лично было на уроке?

- Что вызвало затруднения? Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.

Слайд 9. 5. Постановка домашнего задания:

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:

- провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;

- закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;

- повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.

Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.

Слайд 3. 3. Решение задач (фронтальная работа с классом)

Задача № 1.

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.

2. Найдите длину СF и SАВС

3. Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Вопросы к учащимся ( при необходимости):

- Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?

- Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.

- Сформулируйте теорему Пифагора.

- Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?

- Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?

- Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Слайд 4. Задача №2.

1. Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д₁Р?

2. Как построить линию пересечения плоскости АД₁Р и АВВ₁?

3. Вычислите длину отрезков АР и АД₁, если АВ = а

Решение:

1. Д₁Р и ДВ лежат в одной плоскости Д₁ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка к принадлежит прямой ДВ, а значит, К (АВС)

2. Точка Р принадлежит ВВ₁, а значит, и плоскости АВВ₁. Точка А принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ₁. Аналогично АР АД₁Р. Значит, (АД₁Р)∩(АВВ₁)=АР.

3. а)Из ∆АВР, по теореме Пифагора АР = ; б) Из ∆АДД₁ по теореме Пифагора АД₁=.

Слайд 5. Задача №3.

Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.

Вопросы учащимся ( по необходимости):

- Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?

- Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?

- Какой вывод можно сделать о точке М?

- Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?

- Какой вывод можно сделать о точке К?

- Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?

- Какой вывод можно сделать о точке Р?

Решение ( другой способ доказательства):

АВ∩АС=А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.

Слайд 6. Задача № 4.

Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Вопросы учащимся (при необходимости):

- Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)

- Каким свойством обладает точка В? ( Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)

- Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)

- Каково взаимное расположение точки В и прямой с? ( точка В принадлежит прямой с)

- Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? ( прямые пересекаются в точке В)

Слайд 7. Задача №5.

Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, АОВ = 60º.

Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:

1. Найти стороны прямоугольника.

2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма ( прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.

3. Использовать формулу .

Предложить учащимся решить задачу разными способами. Ответ: 16см².

4. Подведение итогов урока:

- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.

- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?

- Что полезного для вас лично было на уроке?

- Что вызвало затруднения?

Выставление отметок за урок ( с комментированием каждой отметки)

Слайд 8. 5. Постановка домашнего задания:

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)

Цели урока:

- закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;

- проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

Задача 1.

Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.

Решение:

Слайд 3. Задача 2.

На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.

Решение:

Слайды 4, 5, 6 3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)

Слайды 7,8 4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера) Учащиеся выбирают свой уровень сложности.

5. Подведение итогов.

1) Собрать тетради с самостоятельной работой.

2) Объявление отметок с комментированием.

Слайд 9. 6. Домашнее задание.