Учебная презентация "Задачи теории вероятностей" (подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике)

Задачи по теории вероятностей.

Задачи ЕГЭ (профильный уровень)

Задачи урока:

• Научиться решать задания ЕГЭ по теории вероятностей.

Метапредмет – Знание

Задания ЕГЭ

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет  ни разу.

Ответ:  0,125

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет  ровно один раз.

Ответ:  0,375

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет  хотя бы один раз.

Ответ:  0,875

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Ответ:  0,0625

5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ:  0,14

6. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ:  0,07

Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.

Правило сложения для несовместимых событий

Правило сложения вероятностей:  если A и В несовместимые события, то вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух событий  А или В , равна сумме их вероятностей.

P(A + B) = P(A) + P(B)

!

Обратите внимание: Мы говорим о  сумме событий , когда может наступить хотя бы одно из двух событий или А, или В, или оба вместе.

Приведенную формулу применяем только для несовместимых событий , т.е. в случае, если они не могут произойти вместе.

Например, не может один ученик писать экзамен сразу в двух аудиториях.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Правило сложения для совместимых событий

Правило сложения вероятностей для совместимых событий:  

вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Правило умножения для независимых событий

Правило умножения вероятностей:  если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий  А и В , равна произведению их вероятностей.

P(A·B) = P(A) · P(B)

!

Обратите внимание: Мы говорим о  произведении событий  при наступлении и А, и В одновременно.

Но приведенную формулу применяем только для независимых событий , когда результат одного из них не связан с результатом другого.

Например, при бросании двух игральных костей ни одна из них «не знает», какое число очков выпало на другой.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Правило умножения для зависимых событий

Правило умножения вероятностей для зависимых событий:  

вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

P(A·B) = P(A) · P(B / A)

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

P(B / A)- вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ

Правило сложения вероятностей используем там, где перед описанием события в тексте задачи можно вставить союз «или», поэтому называем его ИЛИ-правилом .

Правило умножения вероятностей используем там, где перед описанием события в тексте задачи можно вставить союз «и», поэтому называем его И-правилом .

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача о ковбое)

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2.

На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху.

Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи о ковбое)

Можно построить дерево вероятностей

А – «Джон промахнулся»

Взял пристрелянный револьвер

И

Не попал в муху

Взял непристрелянный револьвер

И

Не попал в муху

ИЛИ

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача об экзамене)

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов.

Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2.

Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15.

Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.

Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем .

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи об экзамене)

Можно построить дерево вероятностей

А – вынул вопрос по одной из двух тем

Вопрос на тему «Вписанная окружность»

Вопрос на тему «Параллелограмм»

ИЛИ

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача о гроссмейстере)

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52.

Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.

Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.

Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза .

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи о гроссмейстере)

Можно построить дерево вероятностей

С – А. выиграет две партии

А. играет белыми и выигрывает

А. играет черными и выигрывает

И

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача об автоматах)

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3.

Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12.

Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах .

!

События A - Кофе закончится в первом автомате;

И событие B - Кофе закончится во втором автомате

не являются несовместимыми , так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми , так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее. 

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи об автоматах)

+ - кофе остался в автомате

- кофе закончился в автомате

I автомат

II автомат

+

+

+

+

+

+

+

+

С 1 – кофе закончится в I автомате

Р( С 1 ) = 0,3

Р( С 2 ) = 0,3

С 2 – кофе закончится во II автомате

С 3 – кофе закончится в обоих автоматах или С 1 ∙ С 2

Р( С 3 ) = 0,12

С 4 – кофе останется в обоих автоматах

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих».

P( С 1 +С 2 ) = P( С 1 ) + P( С 2 ) − P( С 3 ) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48 Р( С 4 ) = 1 − 0,48 = 0,52

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (решение задачи об автоматах)

Второй автомат

Кофе остался

Кофе закончился

Первый автомат

Кофе остался

Кофе закончился

1- 0,12 – 2 ∙ 0,18 =

0,52

0,18

0,18

0,3

0,12

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

0,3

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача сроке использования)

Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,98.

Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87.

Найдите вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи о сроках использования)

СРОК СЛУЖБЫ

А – сканер прослужит меньше года

В – сканер прослужит больше года, но меньше двух лет

– сканер прослужит меньше двух лет

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

С – сканер прослужит более двух лет

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача о часах)

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти.

Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась , достигнув отметки 8, но не дойдя до отметки 11 часов.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача о пауке)

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке " Вход ". Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу  D .

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи о пауке)

Ошибочно думать, что в заданных условиях на вероятность выйти через конкретный выход или попасть в один из тупиков влияет количество выходов и тупиков или длина пути к ним.

Раз паук развернуться и ползти назад не может, то самое главное для него - на каждой встретившейся развилке выбрать правильный путь: И на первой, И на второй, И на ...

Т.е. это задача на правило умножения вероятностей.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи о пауке)

Поставим на развилках «точки раздумья».

По условию задачи паук не раздумывал, а выбирал путь чисто случайно, значит из каждой точки он мог пойти по любому пути с вероятностью , где

n - количество путей на развилке за исключением того, по которому паук пришел.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

На рисунке на нужном пути встречается 4 точки, и в каждой из них паук может выбрать два новых пути, следовательно p 1  = p 2  = p 3  = p 4   = 0,5. На каждой развилке паук выбирает новый путь независимо от решения принятого на прошлой развилке (по условию - чисто случайно), то P = p 1  · p 2  · p 3  · p 4  = 0,5·0,5·0,5·0,5 = 0,0625

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача о пауке)

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (задача о браке)

При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968.

Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

!

Качественная деталь

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ ( решение задачи о браке)

Фраза «диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм» просто означает, что диаметр подшипника будет находиться за пределами диапазона:

Таким образом речь идёт о противоположном событии, вероятность которого:

1 − 0,968 = 0,032.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

• На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждого из заявленных городов. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Омска будет выступать после группы из Хабаровска и перед группой из Челябинска? Ответ округлите до сотых.
• Вероятность того, что новый утюг прослужит больше года, равна 0,86. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,73. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
• Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,92. Вероятность того, что окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,32. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 22 до 29.
• Вероятность того, что светодиод бракованный, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой два светодиода. Найдите вероятность того, что оба светодиода окажутся бракованными.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

• На прилавке лежит 8 одинаковых пар перчаток, но у одной пары есть незаметный снаружи брак внутри обеих перчаток. В ходе примерок все перчатки перемешались. Продавец разделил все перчатки случайным образом на 4 группы по 4 штуки. Какова вероятность того, что обе бракованный перчатки находятся в одной группе?
• В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
• При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
• В классе 33 учащихся, среди них два друга — Михаил и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной группе.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

• У автомобиля две передние фары, в каждой из которых по одной лампе ближнего света. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы в одной фаре лампа не перегорит.
• В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,04 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
• Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,32. Если А. играет чёрными фигурами, то А. проигрывает Б. с вероятностью 0,6. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. проиграет оба раза.
• За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 2 мальчика и 19 девочек. Найдите вероятность того, что оба мальчика будут сидеть рядом.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

1. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выступать после группы из Канады и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.

2. При изготовлении подшипников диаметром 60 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 59,99 мм, или больше, чем 60,01 мм.

3. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

1. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

2. При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 60,99 мм, или больше, чем 61,01 мм.

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

4. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выступать после группы из Вьетнама и после группы из Канады? Результат округлите до сотых.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Задания ЕГЭ (реши самостоятельно)

1. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

2. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет выступать после группы из Вьетнама и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.

3. При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,981. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 64,99 мм, или больше, чем 65,01 мм.

Визуализация решения – последовательно щелчок мышки по пустому полю слайда.

4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

5. В классе 51 учащийся, среди них два друга — Сергей и Вадим. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Вадим окажутся в одной группе.

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи