Учебно-исследовательская работа «Формула Пика»

Гомельская областная научно-практическая конференция учащихся

по естественно-научным и социально-гуманитарным направлениям

«Поиск»

Отдел образования, спорта и туризма Ельского райисполкома

ГУО «Движковский ясли-сад-базовая школа Ельского района»

Секция «Математика»

«Формула Пика»

Учебно-исследовательская работа

Выполнила

Тимощенко Наталья Леонидовна, учащаяся 9 класса

Руководитель

Черепанова Татьяна Михайловна учитель математики

Движки, 2019

Введение

Ни для кого не секрет, что изучение геометрии доставляет немало трудностей: необходимо знать не только определения понятий, их свойства и признаки, но «держать» в голове много различных формул. Изучая тему «Площади многоугольников», я задалась вопросом «Существует ли способ нахождения площадей, отличные от тех, которые мы изучали на уроках?»

Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольник, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Изучая литературу по данной теме, я нашла формулу Пика. Эта формула меня заинтересовала. Решив несколько задач используя данную формулу, пришла к выводу, что задачи решаются быстрее и легче. В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, с помощью формулы Пика можно решить более рационально.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: рациональность применения формулы Пика при решении задач.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Задачи:

• изучить литературу по данной теме.

• прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

• прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

• сравнить и проанализировать результаты исследования.

Методы исследования: сравнение, обобщение.

Актуальность данного исследования состоит в том, что усвоение формулы может помочь школьникам быстро и легко решать задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге. При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Также при решении таких задач возникает ощущение математических открытий на уровне, доступном каждому ученику.

Теоретическая часть

К летчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник (рисунок 1). Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и трапецию, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.

И спользованный способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так следующий многоугольник нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае (рисунок 2). Можно, например, попробовать дополнить его до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

Однако оказывается, что есть очень простая формула, позволяющая вычислить площади таких многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки:

S = B + 1, где

S - площадь многоугольника, выраженная в площадях единичных квадратиков сетки,

Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника,

В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника.

Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 – 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика–Жюлиа, Пика – Невалины, доказал неравенство Шварца–Пика.

Эта формула оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в 1949 г. польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В Германии формула Пика включена в школьные учебники [2].

1. Экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур:

1) без узлов внутри и на сторонах, 

2) с узлами на сторонах,

3) с узлами внутри и на сторонах.

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

1. б ез узлов внутри и на сторонах.

Доказательство: Рассмотрим единичный квадрат. В самом деле, для него = 1, В = 0, Г= 4, и формула верна.

S = В + - 1.

S=0+ 4/2 - 1 =1

1. с узлами на сторонах.

Д оказательство: Рассмотрим произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Его площадь – это произведение длины и ширины, т.е. S = 1*10 = 10. Для доказательства формулы посчитаем В = 0, Г = 22. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.

S = 0 + 22\2 – 1= 10

1. с узлами внутри и на сторонах.

Д оказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат.

S = 5*8 = 40. Для проверки формулы Пика посчитаем: В=14, Г=14, тогда имеем: S=14+14/2–1=20. Формула Пика верна для такого треугольника.

Практическая часть

Нахождение площади фигур

геометрическим методом и по формуле Пика

Я решила убедиться в том, что формула Пика верна для разных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Я рассмотрела некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1см 1см и провела сравнительный анализ по решению задач (Таблица№1).

Таблица №1. Решение задач различными способами.

Проверим применимость этой формулы к пространственным формам.

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности по формуле Пика невозможно.

Это недостаток формулы.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3. Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

4. Из рассмотренных решений задач я увидела, что некоторые из них, легче решить, применяя геометрические формулы, так как высоту и основание можно определить по рисунку. Но в большинстве задач требуется разбиение фигуры на более простые или достраивание до прямоугольника, квадрата.

5. Из решения задач №9 и №10 я увидела, что применение формулы Пика к фигурам, которые не являются многоугольниками, даёт приближённый результат.

6. Для того чтобы проверить рациональность применения формулы Пика, я провела исследование на предмет затраченного времени (Приложение 1, таблица №2).

7. Вывод: решение задач с помощью формулы Пика, времени затрачивается гораздо меньше.

Заключение

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач.

При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Анализ решений и эксперимент по определению затраченного времени показал, что применение формулы даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, более рационально. Это позволяет экономить время на уроках математики.

Нахождение площади различных фигур, изображённых на клетчатой бумаге, позволило сделать вывод, что использование формулы Пика для вычисления площади кругового сектора и кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат, и, что формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась. Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны.

Приложение 1

Таблица №2. Сравнительный анализ времени, затраченного на решение задач.