Учебное пособие для учителей математики и учащихся 9 классов по теме: «Решение заданий по геометрии повышенного уровня сложности (КИМ-ОГЭ №23)»

Критерии оценки выполнения задания 23

Можно привести различные классификации задач по геометрии. В данном пособии разобьем их по трем группам в зависимости от набора понятий и теорем, используемых при решении задач.

1. Базовые понятия и свойства фигур

Задача 1.(4.2.43-4.2.44)

Прямая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N соответственно. Най­ди­те BN, если MN = 11, AC = 44, NC = 18.

Р ешение:

Докажем, что треугольники АВС и BMN подобны.

BAC=BMN как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей АВ. Значит, .

Обозначим BN=x, тогда BC= x+18. Получаем уравнение .

Откуда

Следовательно, BN=6.

Ответ: 6.

Задача 2.(4.2.45-4.2.46, варианты 16-20)

Отрезки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных прямых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 11, DC = 22, AC = 27.

Решение:

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам. Значит, 

Следовательно,  откуда

 .

Ответ: 18.

Задача 3. (4.2.47-4.2.48)

Прямая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках E и F соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка EF, если AD = 45, BC = 20, CF : DF = 4 : 1.

Решение 1 способ.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники KFC и ACD угол C — общий, углы CAD  и CKF равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, . Откуда   поэтому

 Аналогично, из подобных треугольников EKA и ABC получаем, что

  Таким образом, EF=EK+KF=4+36=40.  

Ответ: 40.

Сс

В

E

K

F

D

N

А

Проведем прямую СN параллельно АВ, она пересекает отрезки EF и AD в точках K и N соответственно.

Четырехугольник BCNА – параллелограмм, потому что его стороны попарно параллельны. Тогда ВС=АN=20 (противоположные стороны параллелограмма равны). Аналогично, BC=ЕK=20. Найдем длину отрезка ND.

ND=AD-AN=45-20=25.

Рассмотрим треугольники CEF и CND. Угол C у них общий, CND=CKF как соответственные углы при параллельных прямых EF и AD и секущей CN, значит треугольники подобны по двум углам.

Следовательно, . Обозначим CF=4x, DF=x, тогда CD=x+4x=5x.

Тогда EF=EK+KF=20+20=40.

Ответ: 40.

Задача 4.

Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке Н, лежащей на стороне СВ. Найдите ВС, если АВ=40.

Решение:

АН – биссектриса угла BAD, следовательно, AD и ВС и секущей АН.

Получаем

Аналогично DH – биссектриса угла ADC, следовательно, AD и ВС и секущей DH. Получаем DНC – равнобедренный и CD=CН.

AB=BH, HC=CD. Противоположные стороны параллелограмма равны, так AB=CD=40 и BC=AD, следовательно, BH=HC=AB=40, и тогда BC=40·2=80.

Ответ: 80.

Задача 5. (4.2.57-4.2.58)

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=6, СК=10.

Решение:

Обозначим BAK=KAD=BKA=

АК – биссектриса угла BAD, следовательно, AD и BC и секущей АК.

Получаем

Противоположные стороны параллелограмма равны, так AD=ВС=ВК+КС=6+10=16, АВ=CD=6.

Периметр параллелограмма ABCD равен Р=2(АВ+ВС)=2·(6+16)=44.

Ответ: 44.

1. Прямоугольный треугольник и его свойства

Задача 6. (4.2.49-4.2.50)

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и катетами АС=15, ВС=36. Проведем высоту СН к гипотенузе АВ.

Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора.

АВ²=АС²+ВС²=15²+36²=225+1296=1521, АВ=39.

Площадь прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна половине произведения катетов, с другой стороны, она равна половине произведения основания (гипотенузы) на высоту, проведенную к основанию (гипотенузе).

, тогда .

15·36=39·СН. Тогда СН=

Ответ: .

Задача 7. (4.2.51-4.2.52)

Точка Н яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем высоты, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B тре­уголь­ни­ка ABC к ги­по­те­ну­зе AC. Най­ди­те AB, если AH = 10, AC = 40.

Решение:

Способ 1.

Рассмотрим треугольник АВН и ВНС. ⁰-C=A, AHB=BHC=90⁰, значит, треугольники подобны по двум углам. В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны.

Запишем пропорцию , НС=АС-АН=40-10=30.

Тогда ВН²=АН·НС=10·30=300.

Найдем гипотенузу АВ треугольника АВН по теореме Пифагора. АВ²=АН²+НВ²=10²+300=400. АВ=20.

Ответ: 20.

Способ 2.

Рассмотрим треугольники АВС и АВН. Угол А у них общий, AHB=ABC=90⁰, значит, треугольники подобны по двум углам. В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны.

Запишем пропорцию , тогда АВ²=АС·АН=40·10=400, АВ=20.

Ответ: 20.

Задача 8. (4.2.53-4.2.54, варианты 21-25)

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=16 и CH=4. Найдите высоту ромба.

Решение:

Поскольку ABCD – ромб, AD=DC=DH+HC=16+4=20.

Треугольник DAH прямоугольный, находим катет по теореме Пифагора:

Ответ: 12.

Задача 9. (4.2.55-4.2.56)

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45⁰ и 150⁰, а CD=26.

Решение:

В трапеции ABCD проведем высоты АН и DM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆DMC.

Угол ∠DСM и ∠ВСD – смежные углы, тогда

∠DСM + ∠ВСD = 180⁰, ∠DСM = 180⁰ – ∠ВСD = 180⁰ – 150⁰ = 30⁰. .

DM = DC·sin∠DСM, DM = 26·sin30⁰.

(или треугольник ∆DMC – прямоугольный, ∠DСM = 30⁰. DM – катет, лежащий против угла в 30⁰, следовательно, DM равен половине гипотенузы DС, т. е. 13)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВН: АН = DM,  ∠АВН = 45⁰.

Получим, боковая сторона

Ответ: .

Задача 10. (4.2.59-4.2.60, варианты 7-8, 11-15)

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=12, BF=5.

Решение:

Основания трапеции параллельны, поэтому ∠BAD+∠ABC=180⁰.

BF и AF – биссектрисы углов ∠АВС и ∠BAD, поэтому

Следовательно, ∠BFA=90⁰ и треугольник ABF прямоугольный. По теореме Пифагора гипотенуза равна

Ответ: 13.

1. Окружность и ее свойства

Задача 11.

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Решение:

Пусть O — центр окружности, OM = 16 и ON = 12 — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники АОВ и COD равнобедренные поскольку ОА=ОВ=ОС=OD=r. Тогда ОМ и ON медианы, а значит АМ=МВ=12 и CN=ND.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMB имеем:  , откуда ОВ = 20.

В прямоугольном треугольнике СON гипотенуза СО=ОВ=20, откуда по теореме Пифагора

Получаем, что CD=2CN=32.

Ответ: 32.

Задача 12. (4.2.61-4.2.62, вариант 5)

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ = 30, CD=40, а расстояние от центра окружности до хорды АВ  равно 20.

Решение:

Пусть O — центр окружности, OM =20 и ON  — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники АОВ и COD равнобедренные поскольку ОА=ОВ=ОС=OD=r. Тогда ОМ и ON медианы, а значит АМ=МВ=15 и CN=ND=20.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMB имеем:  , откуда ОВ = 25.

В прямоугольном треугольнике СON гипотенуза СО=ОВ=25, откуда по теореме Пифагора

Получаем, что ОN=15.

Ответ: 15.

Задача 13. (4.2.63)

В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные 4 и 6. Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.

Решение:

Опустим перпендикуляры ОМ и OL на хорды из центра окружности О. Четырехугольник OLKM – прямоугольник. ОМ делит хорду CD пополам (Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.)

, MK=MD-KD=5-4=1.

Аналогично, LK=1. Значит четырехугольник OLKM – квадрат.

OL=OM=1 – расстояние от центра окружности до хорд.

Ответ: 1

Задача 14. (4.2.64)

В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Одна из хорд удалена от центра на расстоянии 6, а другая – на расстоянии 8. На каком расстоянии от центра окружности находится точка пересечения хорд?

Решение:

Опустим перпендикуляры ОМ и OL на хорды из центра окружности О. Четырехугольник OLKM – прямоугольник. ОМ=8, OL=6 по условию.

Искомое расстояние ОК от центра окружности до точки пересечения хорд – диагональ прямоугольника OLKM.

Треугольник ОМК – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора находим

Ответ: 10.

Задача 15.

В треугольнике АВС известно, что ∠В=38⁰ и дуга AB окружности, описанной около треугольника АВС, равна 164⁰. Найдите радиус этой окружности, если сторона ВС равна 36.

Решение:

Обозначим R радиус описанной окружности треугольника АВС. По теореме синусов для треугольника АВС

Угол ВСА вписанный, опирается на дугу АВ, следовательно, ∠АСВ=164⁰:2=82⁰.

Из треугольника АВС

∠А=180⁰ - ∠В - ∠С=180⁰-38⁰-82⁰=60⁰,

Ответ: .

Задача 16. (4.2.65-4.2.66)

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 66⁰ и 84⁰. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15.

Решение:

Воспользуемся формулой для радиуса описанной около треугольника окружности

.

Выразим из нее ВС:

BC = 2R·sin∠A.

Сумма углов треугольника равна 180⁰: ∠А + ∠В + ∠С = 180⁰.

Тогда ∠А = 180⁰ – (∠В + ∠С) = 180⁰ – (66⁰ + 84⁰) = 30⁰,

BC = 2·15·sin30⁰ = 2·15·(1/2) = 15

Ответ: 15.

Задача 17. ( 4.2.67-4.2.68, варианты 9-10)

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Решение:

Вычислим величины дуг, на которые делят окружность вершины треугольника. Пусть х – одна часть, тогда дуга ВС=3х, дуга АС=7х, дуга АВ=8х.

Градусная мера дуги всей окружности 360⁰. Значит:

3х+7х+8х=360⁰,

18х=360⁰,

х=360⁰:18,

х=20⁰.

Следовательно, дуга ВС = 3∙20⁰=60⁰.

Угол ∠ВОС – центральный, опирается на дугу ВС, значит ∠ВОС=60⁰.

Треугольник ВОС – равнобедренный, т.к.ОВ=ОС (радиусы), по свойству углов в равнобедренном треугольнике ∠ОВС=∠ОСВ=(180⁰-∠ВОС):2=(180⁰-60⁰):2=60⁰.

Следовательно, ΔВОС – равносторонний и ОС=ОВ=ВС=20.

Ответ: 20.

Задача 18. (4.2.69-4.2.70, варианты 3-4)

Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 14.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник BKHP, вписанный в окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰.

Угол ∠PBK = 90⁰, следовательно, угол ∠КНР = 180⁰ – ∠PBK = 90⁰.

Угол ∠BPН = 90⁰, так как это вписанный в окружность угол, опирающийся на полуокружность, следовательно, угол ∠ВКН = 180⁰ – ∠BPН = 90⁰.

Получаем, ∠PBK = ∠ВКН = ∠КНР = ∠BPН = 90⁰, следовательно, четырехугольник BKHP – прямоугольник.

По свойству прямоугольника (диагонали прямоугольника равны): ВН = РК = 14.

Ответ:14.

Задача 19. (4.2.71-4.2.72)

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, АВ = 2, АС = 8.

Решение:

Диаметр окружности равен двум радиусам, т. е. D = 2R.

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С, тогда ОС – радиус окружности, т. е. ОС = R.

Окружность касается прямой АВ в точке В, тогда АВ перпендикулярна к радиусу окружности ВО, проведенному в точку касания. Получим треугольник ∆АВО – прямоугольный, АО – гипотенуза, АВ и ВО – катеты. Найдем АО по теореме Пифагора:

АО² = АВ² + ВО²,

АО² = 2² + R²,

АО² = 4 + R²,

.

Сторона АС=АО+ОС, подставим соответствующие данные в это равенство, получим

,

,

,

4 + R² = 64 – 16R + R²

16R = 60

,

Ответ: 7,5.

Задача 20. (4.2.73-4.2.74, варианты 1-2, 26-30)

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=9, а сторона ВС в 3 раза меньше стороны АВ.

Решение:

Четырехугольник ВКРС вписан в окружность, значит, ∠KВС + ∠КРС=180⁰. Углы АРК и КРС смежные, значит, их сумма также равна 180⁰. Получаем, что ∠KВС = ∠АРК.

В треугольнике АВС и АРК угол А – общий, ∠KВС = ∠АРК, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, откуда получаем, что , KP=9:3=3.

Ответ:3.

6