Ученый спор за чайным столом

Профессор физики Икс пригласил в гости своего приятеля, профессора термодинамики Игрека. Супруга физика подала чай гостю и мужу. Икс размешал сахар, налил в стакан сливок и стал ждать, чтобы горячий чай остыл.

– Вы нерационально поступаете, дорогой коллега, – обратился к нему гость. – Я держусь правила сначала выждать, чтобы чай немного остыл, а затем окончательно остужаю его холодными сливками. Так гораздо скорее получается чай достаточно низкой температуры.

– Почему же скорее, коллега? Ведь и вам приходится дожидаться, чтобы чай остыл.

– Совершенно справедливо. Но позвольте вам напомнить о Ньютоновом законе охлаждения: «количество тепла, переходящее в единицу времени, пропорционально разности температур». Другими словами, горячее тело остывает быстрее, нежели тепловатое. Отсюда прямой расчет выжидать остывания чая, покуда он еще горяч, а не тогда, когда он уже немного остыл: в один и тот же промежуток времени чай горячий остынет более, нежели чай тепловатый. Вот почему выгоднее раньше дать чаю остыть и лишь потом долить сливок, – а отнюдь не наоборот, как поступаете вы, дорогой коллега.

– К сожалению, не могу с вами вполне согласиться. Ваше указание на Ньютонов закон охлаждения совершенно правильно и уместно. Но вы упустили из виду одно простое следствие правила Рихмана. Вы, конечно, помните формулу, по которой определяется средняя температура смеси двух жидкостей одинаковой теплоемкости, но разных температур?

Профессор Икс вырвал листок из книжки и быстро начертал на ней формулу:

– Температура смеси Θ равна этой дроби, так? – продолжал профессор физики. – Под M и m разумеются количества жидкостей, а под T и t – их температуры.

– Понимаю, понимаю, дорогой коллега. Но о каком следствии из этой формулы вы говорите?

– А вот о каком. Если мы вычтем из первоначальной температуры более горячей жидкости окончательную температуру смеси, то разность T – Θ будет означать понижение температуры. Ведь так?

– Конечно. Вместо Θ можно подставить соответствующее выражение из формулы, и мы получим…

– Получим: T – (MT + mt)/(M + m), или, приводя к одному знаменателю, (MT + mT – MT – mt)/(M + m), или, наконец, (mT – mt)/(M + m), что, впрочем, можно представить в виде m(T – t)/(M + m). Вот на какую величину понизится температура горячей жидкости, если к ней прилить холодной. Вы видите, коллега, что это понижение тем более, чем больше T, т. е. чем выше температура горячей жидкости. Если применить этот вывод к нашему случаю, то ясно, что, приливая холодных сливок к чаю, мы понизим его температуру тем сильнее, чем она была выше. Вот почему я остаюсь при своем мнении: надо раньше прилить сливок, а потом ждать остывания, а не наоборот, как рекомендуете вы, коллега. Ради простоты я считаю теплоемкости сливок и воды одинаковыми.

– Ваше замечание, дорогой коллега, о следствии из правила Рихмана очень остроумно и убедительно. Но окончательный ваш вывод все же нельзя признать вполне приемлемым. Оба способа охлаждения чая – как метод предварительного, так и метод последующего доливания сливок, – имеют свои выгоды и свои недостатки. За ваш метод говорит правило Рихмана, за мой – закон Ньютона. У меня первая стадия остуживания протекает быстрее, нежели вторая, у вас, напротив, более энергичное охлаждение происходит сначала. Одними рассуждениями, без вычислений, нельзя определить, каким приемом достигается более быстрое охлаждение.

– Прекрасно, коллега! Кто же мешает нам произвести это вычисление? Давайте же вычислять. В стакане, скажем, 15 куб. дюймов горячего чаю – ведь так, приблизительно? Температура чая, когда Марья Павловна его налила, была, допустим, 80° Цельсия. Значит, наше MT'= 15 × 80= 1200. Я приливаю 1 куб. дюйм сливок комнатной температуры, т. е. 20°. Получаем mt = 20. Подставляя эти величины в формулу и принимая во внимание, что M + m = 16, имеем окончательную температуру смеси = 1220/16 = 76¼ градусов. Такого чая пить, естественно, нельзя, прежде чем он не остынет до 50° градусов, т. е. не охладится на 26¼ градусов.

– Теперь позвольте, коллега, продолжать выкладки мне. Итак, вам приходится ждать некоторое время, – например пять минут, чтобы чай со сливками остыл на 26¼ градусов. Мне также приходится ждать, но в те же пять минут мой горячий 80‑градусный чай остынет более, чем ваш 76‑градусный. По закону Ньютона, количество переходящего тепла пропорционально разности температур. Разность между температурою вашего чая и окружающей комнатной, которую я принимаю в 20°, равна 76° – 20° = 56°; разность же между температурой моего чая и комнатной: 80° – 20° = 60°. Значит, в те же пять минут мой чай потеряет не 26¼ калорий, а больше в отношении 60:56. Другими словами, он охладится на (26 × 60)/56, т. е. почти ровно на 28 градусов. Итак, дорогой коллега, после пятиминутного ожидания я получаю чай температурой в 80–28 = 52 градуса.

– Совершенно верно. Теперь вы приливаете к этим 15 куб. дюймам 52‑градусного чая 1 куб. дюйм 20‑градусных сливок. Окончательная температура смеси у вас получается: (52 × 15 + 20)/16 = 800/16 = 50 градусов… Что это? Оказывается, коллега, что в результате вашего приема получается чай совершенно той же температуры, как и у меня! Вот любопытный результат! Марья Павловна, понимаешь, какая история: мы с коллегой спорили, каким приемом всего выгоднее остудить чай, и оказывается…

– Да уж чего проще, господа? Стоит только завести горячий спор! Я тебе с Кирилл Никитичем налью другой чай: ведь ваш совсем простыл.

– Но заметь, простыл совершенно одинаково, несмотря на различие приемов!