Учебно-методическое пособие по физике Электричество и магнетизм на факультативных занятиях в учреждениях среднего профессионального образования

Министерство образования и науки Краснодарского края

Государственное Бюджетное Профессиональное Образовательное Учреждение

Краснодарского края «Колледж Ейский»

Учебно-методическое пособие

по физике

Электричество и магнетизм

на факультативных занятиях

в учреждениях среднего

профессионального образования

Автор: преподаватель физики и математики

Черных Л.С.

г. Ейск

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое учебно-методическое пособие подготовлено по разделу “Электричество и магнетизм” в соответствии с государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования и предназначено для организации самостоятельной и аудиторной работы на лекционных и практических занятиях по курсу физики, а также самостоятельного изучения раздела. Теоретический и практический материал распределен по трем темам: электростатика, постоянный электрический ток, электромагнетизм. По каждой теме приведены блоки, посвященные решению задач, которые состоят из примеров решения задач и подборки задач для самостоятельного решения. Данное пособие рекомендовано для студентов специальностей с ограниченным числом часов по физике, а также студентов заочной формы обучения.

ТЕМА 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1. Закон сохранения электрического заряда.

Закон Кулона.

Все тела в природе способны электризоваться, то есть приобретать электрический заряд. В природе существуют частицы с электрическими зарядами проти­воположных знаков. Заряд электрона считают отрицательным, а заряд протона – элементарной частицы, которая входит в состав ядра атома, – положительным. Большинство тел электрически нейтрально; число электронов в них равно числу протонов. Если нарушить электрическую нейтральность тела, то оно становится наэлектризованным (заряженным). Тело заряжено отрицательно – значит, оно имеет избыток электронов. Тело, в котором электронов мень­ше, чем положительно заряженных частиц, заряжено положительно. При взаимодействии одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Электрический заряд обладает свойством дискретности – при электризации электрический заряд изменяется на строго определенное значение, равное или кратное минимальному количеству электричества, называе­мому элементарным электрическим зарядом. Наименьшая по массе стабильная частица, обладающая элементар­ным электрическим отрицательным зарядом, называется электроном. Заряд электрона е = 1,6 10^-19 Кл. Масса электрона т_е = 9,1110^–31 кг. За­ряд протона положителен и по модулю равен заряду электрона, его масса т_р = 1,6710^–27 кг. Заряд тела, состоящего из N заряженных частиц, кра­тен целым значениям заряда электрона: q=±Ne. Заряд электрона впервые был измерен Р.Э.Милликеном в 1909 г. Дробных зарядов в свободном состоянии не существует.

Опытным путем был установлен фундаментальный закон природы –закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы не происходили внутри этой системы.

Единица заряда – кулон (Кл).

Основным законом элек­тростатики является закон взаи­модействия двух неподвиж­ных точечных зарядов. Закон был эксперимен­тально установлен француз­ским физиком Ш. О. Кулоном в 1785 г.: сила элек­трического взаимодейст­вия между двумя неподвижными точечными зарядами, нахо­дящихся в вакууме, пропорциональна произведению за­рядов q₁ и q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц физических величин].

Сила направлена по прямой, соеди­няющей заряды, то есть является центральной. Сила отталкивания , действующая на заряд q₂ со стороны одно­именного заряда q₁, совпадает по направлению с радиусом-вектором r, проведенным из q₁ к этому заряду. Сила притяжения, дейст­вующая на заряд q₂ со стороны разноименного заряда q₁, имеет проти­воположное направление (рис., 6). Силы отталкивания принято счи­тать положительными, силы притяжения – отрицательными. В векторной форме закон Кулона записывается в виде

Коэффициент k в законе Кулона в СИ опре­деляется по формуле :

=9.10⁹Н.м²/Кл², а _о= Ф/м =8,85.10^-12 Ф/м.

Здесь _о – электростатическая постоянная.

Таким образом, закон Кулона в скалярном виде: . Этот закон мы сформулировали для вакуума. С учетом среды:

где  - диэлектрическая проницаемость среды. Для вакуума =1. диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз в данной среде силы взаимодействия между точечными зарядами меньше, чем в вакууме, при одинаковых расстояниях.

2. Электростатическое поле.

Напряженность электростатического поля.

Если имеем систему неподвижно распределенных электрических за­рядов, то их взаимодействие осуществляется посредством электрического (электростатического) поля. Электроста­тическое поле не изменяется во времени и создается только электриче­скими зарядами.

Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если в пространство, окружающее этот заряд q, внести другой заряд. Обычно для исследования свойств поля пользуются положительным за­рядом, который называют пробным и обозначают (считают, что пробный заряд не искажает изучаемого поля). На пробный заряд, помещенный в какую-либо точку поля, создаваемого зарядом q, действует сила

Если в одну и ту же точку поля вносить разные заряды q₁, q₂, q₃,..., то на них будут действовать разные силы F₁, F₂, F₃, ..., но отношение

F₁/q₁= F₂/q₂ = F_i/q_i=const

для этой точки поля всегда будет постоянным. Отношение называют напряженностью электростати­ческого поля.

Напряженность поля точечного заряда:

Единица напряженности — вольт на метр (В/м).

Напряженность – величина векторная. За направление вектора на­пряженности Е принимают направление силы, с которой поле действует на пробный заряд, помещен­ный в данную точку поля.

Напряженность – сило­вая характеристика поля; она численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд:

.

Электростатическое по­ле графически удобно пред­ставлять силовыми линиями. Силовыми линиями или линиями напряженности поля называют линии, каса­тельные к которым в каж­дой точке совпадают с век­тором напряженности в данной точке поля. Линии напряженности электрического поля направлены от положительного заряда к отрицательному, т. е. выходят из по­ложительного, а входят в отрицатель­ный заряды.

Густотой линий напряженно­сти характеризуют величину напряженности поля. В местах, где напряженность поля меньше, линии проходят реже. Примеры простейших электрических полей представлены на рис. 2. (а–д).

Электростатическое поле, во всех точках которого напряжен­ность поля одинакова по модулю и направлению (= const), называют однородным. Примером такого поля могут быть электрические поля рав­номерно заряженной плоскости и плоского конденсатора вдали от краев его обкладок.

3. Принцип суперпозиции полей. Диполь.

Если электростатическое поле создается не одним, а несколькими зарядами q­₁, q₂, …, q_n, то это поле будет действовать на пробный заряд, помещенный в некоторую точку поля силой . Эта сила равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности: . Но , тогда

.

Полученная формула выражает принцип суперпозиции полей: напряженность электрического поля, созданного несколькими точечными заряженными телами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля диполя. Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по значению, но разно­именных точечных зарядов, расположенных на некотором расстоянии l друг от друга. Отрезок прямой l, соединяющий оба заряда, называют осью диполя.

Основной характеристикой диполя является его электрический или дипольный момент – вектор, численно равный произведению ql и на­правленный от отрицательного заряда к положительному:

.

Единица электрического момента диполя — кулон-метр (Кл м).

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля диполя в произвольной точке , где и – напряженности полей, создаваемый соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Напряженность поля на продолжении оси диполя (в точке А рис. 4): . Обозначим OA=r. Тогда:

Для диполя , поэтому

.

Аналогично можно найти напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси из его середины:

Если диполь поместить в однородное электростатическое поле с на­пряженностью , то на каждый из его зарядов действует сила: на положительный F₊=+qE , на отрицательный F_– = – qE . Эти силы равны по модулю, но противоположны по направлению. Они образуют пару сил, плечо которой l sin , и создают момент пары сил М. Вектор М направлен перпендикулярно векторам и . Мо­дуль М определяется соотношением

где – угол между векторами р и Е.

В однородном поле момент пары сил стремится повернуть ди­поль так, чтобы векторы и бы­ли параллельны.

4. Поток вектора электрического смещения.

Теорема Гаусса.

Смещением называется величина, определяемая (для вакуума) формулой:

То есть это силовая характеристика поля в вакууме.

Если есть однородное поле со смещением D, то потоком электрического смещения называется величина:

где  – угол между нормалью к площадке S и направлением D (рис.7).

Если поле неоднородно (рис.8), то можно выбрать малую площадку dS, в рамках которой поле можно считать однородным. Поток через нее:

Рассчитать поток электрического смещения через любую поверхность можно по формуле:

,

где – проекция вектора D на нормаль к площадке dS:

Поток вектора напряженности электрического поля определяется как:

.

Теорема Гаусса позволяет определить поток вектора смещения (или напряженности) электростатического поля, создаваемого системой зарядов. Рассмотрим частный случай. Определим поток электрического смещения сквозь сфери­ческую поверхность радиусом r, в центре которой расположен точечный заряд +q. По формуле для потока имеем . Для точечного заряда .

Линии электрического смещения перпендикулярны поверхности сферы, =0; следовательно, cos  = 1. Тогда =D.

Теорему Гаусса можно записать в виде:

Если поле создается несколькими зарядами, то

.

Теорема Гаусса: поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Применение теоремы Гаусса.

Пусть дана бесконечно большая, равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью  (поверхностная плотность заряда ). Вслед­ствие симметрии силовые линии перпендикулярны плос­кости и направлены от нее в обе стороны. Выделим элементарную площадку площадью dS (имеющих заряд dq= dS). В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, перпендикулярный заряженной плоско­сти с основанием dS (рис.). Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cos =0), то поток вектора смещения сквозь боковые стороны цилиндра, равен нулю. Полный поток сквозь цилиндр равна сумме потоков через его основания: . По теореме Гаусса . Откуда , или

Используя теорему Гаусса, можно определить смещение, а также напряженность электрического поля, создаваемого: 1) бесконечно длинной равномерно заряженной нитью или цилиндром с линейной плотностью : или , где r – расстояние от нити до точки, в которой определяется смещение (напряженность); 2) равномерно заряженной сферической поверхности с общим зарядом Q: или .

5. Работа перемещения заряда в электростатическом поле.

Потенциал поля. Разность потенциалов.

Если в поле заряда +q перемещаем пробный заряд q из точки 1, удаленной от заряда +q на расстояние r₁, в точку 2, находящуюся на расстоянии r₂ от заряда +q, то работу по перемещению пробного заряда можно определить как: .

Учтем: 1) F =Еq’– кулоновская сила, действующая на пробный заряд q’ в каждой точке поля с напряженностью Е; 2) Напряженность поля точечного заряда: ; 3) (см. рис.) и произведем подстановки в формулу для работы:

Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зави­сит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения на­чальной и конечной точек траектории. Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа, совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:

 

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Из обращения ее в нуль следует, что линии напряженности электростатического поля никогда не могут быть замкнуты сами на себя. Они начинаются и кончаются на зарядах, либо уходят в беско­нечность. Это свидетельствует о наличии в природе двух родов электрических за­рядов. Формула справедлива только для электростатического поля.

При перемещении зарядов изменяется их взаимное расположение, поэтому работа, совершаемая электрическими силами, в этом случае рав­на изменению потенциальной энергии перемещаемого заряда:

,

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q: . Принято считать (при ), поэтому: .

В любой точке поля потенциальная энергия W заряда численно равна работе, которую необходимо совершить для перемещения заряда из бесконечности в эту точку.

Отношение зависит только от q и r. Эту величину называют потенциалом:

Единица электрического потенциала ­– вольт (В).

Она характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы по­ложительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля. Потенциал является энергетической характеристикой электрическо­го поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения. Для поля точечного заряда: .

Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов всех этих зарядов: .

Работа сил поля при перемещении заряда q’ из точки 1 в точку 2 может быть записана в виде:

Величину называют разностью потенциалов (напряжением) электриче­ского поля. Понятие разности потенциалов применимо лишь к двум различным точкам поля.

Если принять , то . Потенциал данной точки поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

6. Связь между напряженностью и потенциалом.

Напряженность и по­тенциал – силовая и энергетическая характеристики одной и той же точки поля; следо­вательно, между ними должна существовать однозначная связь.

Рассмотрим перемещение заряда q’ в однородном электрическом поле, напряженность которого (рис.12). Заряд перемещается из точки, потенциал которой ₁, в точку с потенциалом ₂. Работа, которую совершают силы электростатического поля при этом перемещении: .

C другой стороны, эта работа может быть представлена как:

Приравнивая правые части этих уравнений, получаем .

В общем случае неоднородного поля точки 1 и 2 нужно выбрать так, чтобы можно было считать напряженность постоянной. Переходя к пределу , получим .

Через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В векторном виде:

Выражение называется градиентом потенциала. Эта величина характеризует быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии. Знак «минус» означает, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала. Связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряжен­ности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Графически распределение потенциала электрического поле можно изображать с помощью эквипотенциальных по­верхностей – совокупностей точек, имеющих одинаковый потенциал. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности да­ют эквипотенциальные линии.

Эквипотенциальные линии (поля точечного заряда) представляют собой концентрические окружности, эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы. Из рисунка видно, что линии напряженности (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.

7. Проводники и диэлектрики в электрическом поле.

По электрическим свойствам все вещества делятся на три больших класса: диэлектрики, полупроводники и проводники. К проводникам относятся: металлы (проводимость осуществляется свободными электронами), электролиты (проводимость осуществляется ионами и сопровождается переносом вещества), плазма (носителями тока являются свободные электроны, а также положительные и отрицательные ионы).

Рассмотри твердые металлы. В металлических проводниках концентрация свободных электронов порядка 10²⁸ м^–3. Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия заря­дов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

• на­пряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю (Е = 0), т. е. потенциал внутри проводника = const;

• напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности (Е = Е₀).

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника эквипотенциальна. Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится по внешней поверхности проводника. При внесении незаряженно­го проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движе­ние: положительные — в направлении вектора , отрицательные – в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными заряда­ми. Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю . Пе­рераспределение носителей заряда происходит до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не будет равна нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярны его поверхности. (Вследствие принципа суперпозиции: , , но  ). Таким образом, нейтральный про­водник, внесенный в электрическое поле, раз­рывает часть линий напряженности. Индуци­рованные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри провод­ника имеется полость, то при равновесном ин­дуцированном распределении зарядов напряженность поля внутри полос­ти равна нулю. Индуцированные заряды исчезают при удалении провод­ника из электрического поля.

Идеальный диэлектрик тот, который не проводит электрический ток. У диэлектриков нет свободных электронов, но положительные и отрицательные заряды в атомах смещаются друг относительно друга, то есть образуют диполь с электрическим моментом . В отсутствии поля эти диполи ориентированы произвольным образом, то есть суммарный дипольный момент равен нулю: . Если диэлектрик поместить во внешнее поле с напряженностью , тогда диполи ориентируются в этом поле (рис.15). Такое состояние диэлектрика называется поляризацией. Поляризация диэлектрика приводит к появле­нию связанных зарядов _св, на его поверхности. Напряженность электростатического поля, созда­ваемого связанными зарядами, направлена противопо­ложно напряженности внешнего, поляризующего ди­электрик электростатического поля (рис.). Напря­женность суммарного поля внутри диэлектрика равна:  . Но  .

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной вели­чиной Р, называемой поляризованностью, т. е. векторной суммой дипольных моментов молекул, находящихся в единице объема:

где – дипольный момент отдельно взятой молекулы, п – концентрация атомов или молекул в объеме V.

Единица поляризованности – кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Для изотропного диэлектрика поляризованность пропорциональна напряженности поля внутри него:

(7.1)

где – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, зависящая от строения вещества и температуры, величина безразмерная. Она отражает степень реакции среды на внешнее воздействие электрического поля.

Поляризованность направлена вдоль внешнего электростатического поля Е₀, в котором находится диэлектрик. Вектор электрического смещения для диэлектрика: .

Подставим сюда (7.1):

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

 относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше, чем в диэлектрике. Эта величина безразмерная.

8. Электроемкость. Конденсаторы.

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхно­сти так, что напряженность поля внутри проводника равна нулю. Если проводнику сообщить такой же заряд q, то он также распределится по поверх­ности проводника. Отсюда вытекает, что потенциал проводника пропор­ционален находящемуся на нем заряду: .

Коэффициент пропорциональности С называют электроемкостью:

Электроемкость проводника или системы проводников – физиче­ская величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрические заряды.

Единица электроемкости – фарад (Ф).

Для примера рассчитаем электроемкость уединенного проводника, имеющего форму сферы радиусом R. Используя соотношение между потенциалом и напряженностью электростатического поля , найдем: .

При вычислении полагаем, что _= 0. Следовательно, электроемкость уединенной сферы равна:

Из этого соотношения видно, что электроемкость зависит как от геометрии проводника, так и от относительной диэлектрической прони­цаемости среды.

Известно, что электроемкость проводника в общем случае зависит как от среды, в которой он находится, так и от расположения окружаю­щих его проводников. Практический интерес представляют конденсато­ры – система из двух проводников, обкладок, разделенных диэлектри­ком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Элек­троемкость определяется геометрией конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. При этом расстояние между обкладками значительно меньше их площади. По форме исполнения различают плоские, цилиндрические, сфери­ческие и слоистые конденсаторы. Электроемкость плоского конденсатора ,

где S - площадь пластины, d – расстояние между пластинами.

Для получения необходимой электроемкости конденсаторы соеди­няют в батарею. Различают два вида соединений: параллельное и после­довательное.

При последовательном соединении конденсаторов (рис.16): q₁= q ₂= ...= q _n= q ₀;

;

При параллельном соединении конденсаторов (рис.17):

U₁=U₂=...=U_n=U₀; q₀ = q₁+ q₂+ ...+q_n=;

C₀=C₁+C₂+...+C_n=.

9. Энергия электростатического поля.

Пусть два точечных заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенци­альной энергией: ,

где ₁₂ и ₂₁ — соответственно потенциалы поля заряда q₂ в точке нахожде­ния заряда q₁ и заряда q₁ в точке нахождения заряда q₂ .

Для точечных зарядов: ;

Следовательно, или

Таким образом:

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(9.1)

– потенциал поля, создаваемого п – 1 зарядами (за исключением q_i) в точке, в которой находится заряд q_i..

Энергия уединенного заряженного проводника. Уединенный незаряженный проводник можно зарядить до потен­циала , многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его по­тенциал на d, тогда .

Следовательно,

т. е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на величину: .

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энер­гию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до : (9.2)

Применяя соотношение  = q/C, получаем следующие выражения для потенциальной энергии: ,

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

W=, (9.3)

где U=–разность потенциалов между обкладками. Полученные формулы справедливы при любой форме обкладок конден­сатора.

Для плоского конденсатора: , тогда

, (9.4)

где – объем конденсатора. Формула (9.4) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, – напряженность Е. Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема):

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 1.

Примеры решения задач.

Задача 1. Три одинаковых положительных заряда по 1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (см. рис.18) Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Дано: q₁=q₂=q₃=1.10^-9Кл. Найти: q₄ -?

Решение. Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например q₁, находился в равновесии.

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

(1)

где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд q₁ заряды q₂ , q₃ и q₄, – равнодействующая сил , .

Так как силы и направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой: F – F₄=0 , или F = F₄.

Выразив в последнем равенстве F через F₂ и F₃ и учитывая, что F₂=F₃, получим: F₄= F₂. Применяя закон Кулона и имея в виду, что q₂=q₃=q₁, найдем , откуда

(2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что r₁=; cos = cos 60^o=0,5. С учетом этого формула (2) примет вид: . q₄=0,58.10^-9 Кл = 0,58 нКл

Задача 2. Два одинаково заряженных шарика, имеющие массу 0,5 г каждый и подвешенные на нитях длиной 1 м, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряд каждого шарика.

Дано: m₁=m₂=m=0,5г=5.10^-4 кг, l=1м; r=4 cм=4.10^-2м.

Найти: q₁=q₂=q-?

Решение. Так как шарики заряжены, то на каждый из них действует сила электростатического отталкивания . Кроме того на шарики действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Направления сил указаны на рисунке. По условию равновесия равнодействующая всех сил равна нулю:

(1),

где . Выбираем систему координат х0у и запишем уравнение (1) в проекциях на оси 0х и 0у:

0х: F_э– F_н sin= 0 (2), 0у: mg – F_н сos = 0 (3).

Уравнение (2) делим на уравнение (3): F_э / mg= tg  (4).

По условию rl, поэтому tgsin=r/2l. Тогда из (4)

q²/4_or² =mgr/(2l), отсюда q= 1,3.10^-9 (Кл)_.

Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 30 нКл и -10 нКл. Расстояние между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 15 см от первого и на расстоянии 10 см от второго зарядов.

Дано: q₁=3.10^-8Кл, q₂=10^-8Кл, d=0,2 м, r₁=0,15 м; r₂=0,10 м.

Найти: E-?

Решение. Согласно принципу суперпозиции , где , . Вектор направлен по силовой линии от заряда q₁, так как q₁0, вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q₂, так как q₂

Абсолютное значение вектора Е найдем по теореме косинусов:

,

где угол  может быть найден из треугольника со сторонами d, r₁ и r₂: cos =( d² – r₁² – r ₂²)/( 2 r ₁ r ₂)=0,25.

. Е=16,7 кВ/м.

Задача 4. Шарик массой 1 г перемещается между точками, потенциал первой 600 В, второй - равен нулю. Определить скорость шарика в первой точке, если во второй точке его скорость 30 см/с. Заряд шарика 10 нКл.

Дано: m=10^-3 кг, ₁=600 В, ₂=0, ₂=0,3 м/с, q=10^-8 Кл

Найти: ₁=?

Решение. Шарик перемещается в электрическом поле под действием силы со стороны поля. Работа этой силы А = q (₁ – ₂). По теории об изменении кинетической энергии А=Е_К, где Е_К = - изменение кинетической энергии шарика. q(₁–₂)=. Отсюда ₁=; ₁=0,28 (м/с).

Задача 5. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 10⁶ м/с. Длина конденсатора 1 см, напряженность электрического поля в нем 5.10³ В/м. Найти скорость электрона при вылете из конденсатора и его смещение y.

Дано: ₀=10⁶ м/с; l=10^-2м, Е=5.10³ В/м; m_e=9,1/10^-31 кг; q_e=1,6.10^-19 Кл.

Найти:  - ? y -?

Решение. Сила тяжести, действующая на электрон F_т=mg=9.10^-30 Н.

Со стороны электрического поля на электрон действует сила

F_э =q_e E=1,6.10^-19.5000 =8.10^-16Н.

Следовательно, F_{т э}. Можно считать, что движение электрона происходит только под действием силы F_э. Так как вектор начальной скорости электрона параллелен пластинам, то траектория электрона - парабола. Движение электрона можно рассматривать как сумму двух движений - вдоль осей 0х и 0y. Вдоль оси 0х - движение равномерное со скоростью ₀. Поэтому l =₀ t, где t - время движения в поле конденсатора, откуда:

t=l /₀ (1).

Вдоль 0у - движение равноускоренное под действием силы F_э =q_e E.

По второму закону Ньютона F_э = m_e a. Отсюда ускорение электрона:

а= (q_e E)/ m_e . (2)

Начальная скорость вдоль оси 0у: _0y=0. Тогда перемещение вдоль оси 0у: y= аt²/2. Учитывая (1) и (2), получим:

y=q_e E l² / (2m_e₀) y=4,4 .10^-2 м.

Скорость электрона в момент вылета из конденсатора направлена по касательной к траектории его движения. Она равна:, где _x=₀, _y=at=(q_e E l)/(m_e ₀) =8,8.10⁶ (м/с).

Тогда = =8,85.10⁶ (м/с)

Задачи для самостоятельного решения.

1.1. Два точечных заряда, находясь в воздухе (=1) на расстоянии 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно поместить заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия?

1.2. Два одинаковых проводящих шарика малых размеров расположены в воздухе на расстоянии 60 см друг от друга. Их заряды равны 410^–7 Кл и 0,810^–7 Кл. Шарики приводят в соприкосновение, а затем удаляют на прежнее расстояние. Определить силу их взаимодействия до и после соприкосновения.

1.3. Два положительных точечных заряда q и 4q закреплены на расстоянии 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд q₁ так, чтобы он находился в равновесии.

1.4. Два точечных заряда q=1,1 нКл каждый находятся на расстоянии 17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящийся на таком же расстоянии от каждого из них?

1.5. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q_o=0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2=60^о. Найти массу каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса 20 см.

1. 6. Два точечных заряда 4 нКл и -2 нКл расположены на расстоянии 60 см. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему будет равна напряженность, если второй заряд заменить на положительный той же величины.

1.7. Какой угол с вертикалью составляет нить, на которой висит заряженный шарик массой 10 г, помещенный в горизонтальное однородное электрическое поле напряженностью 20 кВ/м? Заряд шарика 2,5 мкКл.

1.8. Электрическое поле создано двумя бесконечными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с поверхностными плотностями ₁=2 нКл/м² и ₂=4 нКл/м². Определить напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей.

1.9. В элементарной теории атома водорода Бора принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите радиуса 52,8 пм. Определить: 1) скорость электрона на орбите, 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра.

1.10. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд q=10 нКл. Определить потенциал электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии а=2 см от его поверхности.

1.11. Найти заряды на каждом из конденсаторов в цепи, изображенной на рис. 1.11, если С₁=2 мкФ, С₂=4 мкФ, С₃=6 мкФ, E=18 В.

1.12. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁=500 В. Площадь пластин 200 см², расстояние между ними 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (=2). Какова будет разность потенциалов между пластинами U₂ после внесения диэлектрика? Найти также емкость конденсатора С₁ и С₂ до и после внесения диэлектрика.

1.13. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 2 см. К пластинам приложена разность потенциалов U₁=3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния 5 см? Найти энергии конденсатора до и после раздвижения пластин?

1.14 Решить предыдущую задачу при условии, что сначала конденсатор отключается от источника напряжения, а затем раздвигаются пластины конденсатора.

1.15. Заряженная пылинка массой 10^-8 г находится в однородном электростатическом поле между двумя горизонтальными пластинами, из которых нижняя заряжена до потенциала 3 кВ, а верхняя до потенциала – 3 кВ. Расстояние между пластинами 5 см. Пылинка, находясь в начале на расстоянии 1 см от нижней пластины, долетела до верхней за время t=0,1 с. Найти заряд пылинки. Каким зарядом должна обладать пылинка. чтобы оставаться в равновесии?

1.16. В двух одинаковых плоских конденсаторах пространство между обкладками заполнено диэлектриком с =3 в одном наполовину, в другом полностью. Найти отношение емкостей этих конденсаторов.

1.17. Найти емкость системы конденсаторов, изображенной на рисунке 1.17. Емкость каждого конденсатора 0,5 мкФ.

1.18 Разность потенциалов между точками А и В 6 В (см.рис.1.18). Емкость первого конденсатора 2 мкФ и емкость второго конденсатора 4 мкФ. Найти заряды q₁ и q₂ и разности потенциалов U₁ и U₂ на обкладках каждого конденсатора.

1.19. Шар радиусом 1 м заряжен до потенциала 30кВ. Найти энергию заряженного шара.

1.20. Конденсатору, емкость которого равна 10 пФ, сообщен заряд 1 нКл. Определить энергию конденсатора.

ТЕМА 2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

10. Электрический ток и его характеристики.

Направленное движение электрических зарядов под действием сил электрического поля назы­вают электрическим током.

Ток может идти в твердых телах, жидко­стях и газах. Если среда является проводником с большим количеством свободных электронов, то течение электрического тока осуществляется за счет дрейфа этих электронов.

Дрейф электронов в проводниках, не свя­занный с перемещением вещества, называют током проводимости.

Различают ток проводимости и конвекционный ток. К току проводимости относится упорядоченное движение элек­тронов в проводниках, ионов в электролитах, электронов и дырок в по­лупроводниках, ионов и электронов в газах. Упорядоченное перемещение электрических зарядов, связанное с перемещением в пространстве за­ряженного тела, называют конвекционным током.

За направление тока принят дрейф положительных зарядов (электроны проводимости всегда движутся в направлении, противоположном направлению тока). Количественной характеристикой электрического тока являются си­ла тока I и плотность тока j.

Сила тока – скалярная величина, равная отношению количества электричества dq, которое за время dt переносится через данное сече­ние проводника, ко времени dt:

Постоянным током называют электрический ток, сила и направле­ние которого с течением времени не изменяются. Для постоянного тока:

Единица силы электрического тока – ампер (А).

Плотность тока – векторная физическая величина, модуль кото­рой равен отношению силы тока I к площади поперечного сечения проводника S:

.

Единица плотности электрического тока – ампер на квадратный метр (А/м²).

Вектор направлен вдоль направления тока, т.е. совпадает с направ­лением упорядоченного движения положительных зарядов.

Если в цепь постоянного тока включены проводники с разными по­перечными сечениями, то плотность тока обратно пропорциональна площади сечения проводника. Плотность тока характеризует распределе­ние электрического тока по сечению проводника. Для металлов, где ток создается движущимися электронами, плотность тока вычисляется по формуле: j = ne, где e – заряд электрона, n – концентрация электронов, – средняя скорость направленного движения электронов.

Прохождение электрического тока проявляется по следующим признакам: 1) по действию на магнитную стрелку, помещенную вблизи проводника; 2) по термическому действию – при прохождении тока проводник нагревается; 3) по химическому действию (электролиз–выделение составляющих сложных соединений с помощью тока).

11. Закон Ома для участка цепи.

Для того чтобы в проводнике все время шел ток, необходимо под­держивать в нем постоянное электрическое поле. Возьмем металличе­ский проводник длиной l. Пусть Е – напряженность электрического по­ля внутри проводника, а ₁ – ₂=U – постоянная разность потенциалов на концах проводника. Тогда:

Г. Ом экспериментально установил, что сила тока в металлических про­водниках пропорциональна приложенному напряжению: I = GU.

Коэф­фициент пропорциональности G называют электропроводимостью про­водника, а обратную величину R = G^-1 – его электрическим сопротив­лением.

За­кон Ома для участка цепи: сила тока в проводнике пропорциональна напряжению на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению проводника:

Единица сопротивления – ом (Ом).

Электрическое сопротивление обусловлено тем, что свободные электро­ны при дрейфе взаимодействуют с положительными ионами кристалли­ческой решетки металла. При повышении температуры учащаются со­ударения электронов с ионами, поэтому сопротивление проводников за­висит от температуры. Сопротивление проводников зависит также от материала проводника, т. е. строения его кристаллической решетки. Для однородно­го цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сече­ния S сопротивление определяется по формуле:

R=,

где =RS/1 – удельное сопротивление проводника (сопротивление одно­родного цилиндрического проводника, имеющего единичную длину и единичную площадь поперечного сечения).

Единица удельного сопротивления – ом-метр (Омм).

Величина , обратная удельному сопротивлению, называется удельной электрической проводимостью проводника.

Единица электрической проводимости – сименс (См). Сименс – электрическая проводимость проводника сопротивлени­ем 1 Ом; 1 См=1 Ом^-1.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме:

или . Тогда: j = E.

Направления векторов j и Е совпадают, так как носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора Е. Следовательно, этот закон можно переписать в виде: .

Это закон Ома в дифференциальной форме.

12. Соединения проводников.

Зависимость сопротивления от температуры

Проводники в электрической цепи могут соединяться последова­тельно или параллельно.

При последовательном соединении (рис.22) сила тока во всех частях одина­кова: I₁= I₂=...= I_n=const, а падение напряжения суммируется: U=U₁+ U₂+...+ U_n. Тогда: R = R ₁+ R ₂+...+ R _n =

Если имеется последовательное соединение двух проводников с R₁ и R₂, то для них выполняется соотношение:

При параллельном соединении проводников сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов, текущих в разветвленных участках:

I = I₁ + I₂+…+ I_n

Падение напряжения в параллельно соединенных (рис.23) участках одинако­во: U= U₁= U₂=...= U_n =const. Тогда

.

Здесь R_i - сопротивление i-го проводника, n - число проводников. Если имеется параллельное соединение двух проводников с R₁ и R₂, то для них выполняется соотношение:

Удельное электрическое сопротивление проводника зависит не толь ко от рода вещества, но и от его состояния. Зависимость сопротивления от температуры: =₀ (1+ t),

где ₀ - удельное сопротивление при 0^оС,  - удельное сопротивление при t^oC,  - термический коэффициент сопротивления. Температурные коэффициенты сопротивления веществ различны при разной температуре. Однако для многих металлов изменение а с температурой не очень велико. Для всех чистых металлов а ~ 1/273 К^–1 .

Зависимость сопротивления металлов от температуры положена в основу устройства термометров сопротивления. Они используются как при очень высокой, так и при очень низкой температуре, когда примене­ние жидкостных термометров невозможно.

13. Закон Ома для цепи, содержащей ЭДС.

Если два заряженных тела А и В, имеющие раз­ные потенциалы ₁ и ₂ (рис. 24), соединить проводником АаВ, то по нему потечет ток, который через короткое время, когда потенциалы уравняют­ся, прекратится. Для поддержания постоянного тока необходимо поддерживать неизменной разность потенциалов (₁ –₂ = const), а для этого необходимо переносить заряды по пути ВА. Однако на участке ВbА зарядам придется перемещаться против элек­трических сил. Это перемещение могут совершить лишь сторонние силы (т.е. силы неэлектрической природы).

Устройства, обеспечивающие возникновение и действие сторонних сил, называют источниками тока. В этих устройствах происходит раз­деление разноименных разрядов. Под действием сторонних сил электри­ческие заряды внутри источника тока движутся в направлении, противо­положном действию сил электрического поля. В результате этого на по­люсах источника тока поддерживается постоянная разность потенциалов.

Сторонние силы должны совершать работу по перемещению заря­дов, на что, естественно, затрачивается энергия. Работа, которую совершают сторонние силы при перемещении еди­ничного положительного электрического заряда вдоль всей цепи, равна электродвижущей силе (ЭДС) источника тока.

Единица ЭДС – вольт (В).

Рассмотрим участок цепи АВ с сопротивлением R, содержащий источник с ЭДС E (рис.25). При протекании электрического тока по таком участку над зарядом при его перемещении совершается работа как кулоновскими (А_к), так и сторонними (А_ст) силами. Полная работа равна сумме этих работ: А=А_К+А_ст .

Разделив обе части этого соотношения на q, получим: . Применим это соотношение к участку АВ электрической цепи, по которой протекает постоянный ток: . Величина = _А – _В характеризует разность потенциалов в точках А и В, а величина =E –электродвижущую силу, действующую на участке АВ, поэтому:

E .

Физическая величина, численно равная полной работе, которая со­вершается кулоновскими и сторонними силами при перемещении единич­ного положительного заряда вдоль участка цепи (например, АВ) из точ­ки А в точку В, называется напряжением (падением напряжения) на этом участке:

E

Анализируя это выра­жение, можно сделать вы­вод о том, что напряжение на концах участка АВ цепи равно разности потенциа­лов только в том случае, если на участке не прило­жена ЭДС, т.е. при E =0.

Измерить ЭДС можно по разности потенциалов на клеммах разомк­нутого источника: E =|_А –_В| при U_AB =0

Рассмотрим замкнутую цепь (рис.26), состоящую из внешней части, имею­щей сопротивление R, и внутренней – источника тока, сопротивление которого r. Согласно закону сохранения энергии, ЭДС ис­точника тока равна сумме падений напряжений на внешнем и внутреннем участках цепи, так как при перемещении по замкнутой цепи заряд воз­вращается в исходное положение – в точку с тем же потенциалом (т. е. _А =_В): E = IR+I r

где IR и Ir — падение напряжения соответственно на внешнем и внутреннем участках цепи. Это закон Ома для полной цепи:

I= E / (R+r).

Сила тока в цепи пропорциональна действующей в цепи ЭДС и обратно пропорциональна сумме сопротивлений цепи н внутреннего сопротивления источника

ЭДС, как и сила тока, – величина алгебраическая. Если ЭДС спо­собствует движению положительных зарядов в выбранном направлении, то она считается положительной (E 0). Если ЭДС препятствует движе­нию положительных зарядов, то она считается отрицательной.

14. Работа и мощность электрического тока.

Закон Джоуля–Ленца.

При перемещении заряда вдоль электрической цепи совершается работа А кулоновскими и сторонними силами. Если электрическая цепь неподвижна, а ток, протекающий по ней, постоянен (I = const), то совершаемая за промежу­ток времени dt работа равна:

По этой формуле можно вычислить работу, совершаемую электриче­ским током, независимо от того, в какой вид энергии превращается электри­ческая энергия. Эта работа может пойти на увеличение внутренней энергии, например, на движение проводника с током в магнитном поле и т. д. Работа, совершаемая за время dt источником тока с ЭДС E :

E.

Единица работы электрического тока – джоуль (Дж).

Мощность – это отношение работы электрического тока ко вре­мени, за которое совершается работа:

.

Единица мощности электрического тока ­– ватт (Вт).

Необратимые преобразования электрической энергии в тепловую можно объяснить взаимодействием электронов с ионами металлического проводника. Сталкиваясь с ионами металлического проводника, электро­ны передают им свою энергию. Вследствие этого увеличивается интен­сивность колебаний ионов около положения равновесия. А с чем боль­шей скоростью колеблются ионы, тем выше температура проводника.

Чтобы вычислить электрическую энергию, затраченную на нагрева­ние проводника, нужно знать падение напряжения на данном участке проводника U = IR. Подставляя в формулу для dA это выражение, получаем

Если проводник однородный и неподвижный, то, согласно закону сохранения энер­гии, вся работа тока вдет на его нагревание: .

Отсюда: или .

Это закон Джоуля–Ленца: количество теплоты, которое выделяется в проводнике с током, пропорционально квадрату силы тока, времени его прохождения и сопротивлению проводника.

Закон Джоуля–Ленца можно представить в дифференциальной форме. Для этого выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV = Sdl, сопротивление которого R=. За промежуток времени dt в этом объеме выделится количество теплоты:

Используя дифференциальную форму закона Ома j = E и соотношение , получаем:

.

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называют удельной тепловой мощностью тока: .
Отсюда закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме:

.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 2.

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти массу алюминиевого провода, из которого изготовлена лингия электропередач длиной 500 м, если при токе 15 А на концах линии возникает разность потенциалов 10 В. Плотность алюминия 2,710³ кг/м³, удельное сопротивление 2,7 мкОмсм.

Дано: l₁=500 м, _пл=2,710³ кг/м³, =2,710^–8Омм, I=15А, U=10 В.

Найти: m-?

Решение. Сопротивление линии электропередач , где l – длина, а S–площадь поперечного сечения провода, – удельное сопрот ивление . Согласно закону Ома сопротивление линии можно записать в виде . Тогда . Отсюда площадь поперечного сечения провода: . Масса провода , где _пл– плотность аллюминия, а V – объем провода. . Тогда масса провода: . 27,3 кг.

Задача 2. Найти общее сопротивление участка цепи между точками А и В, изображенного на рис. 27, если R₁=1 Ом, R₂=3 Ом, R₃=R₄=R₆=2 Ом, R₅=4 Ом.

Дано: R₁=1 Ом, R₂=3 Ом, R₃=R₄=R₆=2 Ом, R₅=4 Ом.

Найти: R -?

Решение. Приведем исходную схему в виде эквивалентной схемы (рис. 28) . Из нее видно, что сопротивления R₃ и R₆ образуют параллельное соединение: . Сопротивления и R₂ соединены последовательно, поэтому . Далее по аналогии получим: , . Общее сопротивление цепи: .

R =1,2 Ом.

Задача 3. При какой постоянной силе тока через поперечное сечение проводника проходит заряд 50 Кл за промежуток времени от 5 с до 10 с от момента включения тока? Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за то же время, если сила тока в проводнике изменяется со временем по закону .

Дано: t₁=5 c, t₂=10 c, q₁=50 Кл, I=6+3t .

Найти: I -? q₂ -?

Решение. Если сила тока постоянная, то , где t= t₂–t₁. Тогда . 10 А.

Если сила тока изменяется со временем, то заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, за тот же промежуток времени равен:

142,5 Кл

Задача 4. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора, если известно, что при его замыкании на внешнее сопротивление R₁=1 Ом напряжение на зажимах аккумулятора U₁=2 В, а при замыкании на сопротивлении R₂=2 Ом напряжение на зажимах U₂=2,4 В. Сопротивлением подводимых проводов можно пренебречь.

Дано: R₁=1 Ом, U₁=2 В, R₂=2 Ом, U₂=2,4 В.

Найти: r -?

Решение. По закону Ома для полной цепи I= E / (R+r). Тогда в первом случае: E= (1), а во втором E=(2).

По закону Ома для участка цепи (3), (4).

Из уравнений (1) и (2): . Отсюда: , 0,5 Ом.

Задача 5. Какой длины надо взять проводник, имеющий сечение 0,1 мм², чтобы изготовить нагреватель, на котором можно за время 5 мин довести 1,5 л воды, взятой при темепратуре 20С? Напряжение в сети 220 В. КПД кипятильника 90%. Удельное сопротивление нихрома 1,1 мкОмм.

Дано: S=0,110^-6м², =300 с, V=1,510^-3 м, t₁= 20С, t₂= 100С, U=220 B, =0,9, =1,110^-6 Омм, _в=10³ кг/м³_.

Найти: l -?

Решение. КПД кипятильника: , где – полезная энергия, необходимая для нагревания воды от 20С до кипения, – затраченная энергия (энергия электрического тока).

,

где с=42000 Дж/(кг.К) – удельная теплоемкость воды, =1,5 кг – масса воды.

,

где R – сопротивление проводника.

Таким образом, КПД: .

Отсюда находим R: . (1)

С другой стороны . (2)

Из уравнений (1) и (2) находим l: . l=2,4 м.

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. В течение =20 с сила тока равномерно возрастала от 0 до 5 А. Какой заряд был перенесен?

2.2. Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением 1,6 мм² прошло 2.10¹⁹ электронов.

2.3. Определить плотность тока в железном проводнике длиной 10 см, если провод находится под напряжением 6 В.

2.4. Катушка из медной проволоки имеет сопротивление 10,8 Ом. Масса медной проволоки 3,41 кг. Какой длины и какого диаметра проволока намотана на катушке?

2.5. Найти падение потенциала на медном проводе длиной 500 м и диаметром 2 мм, если ток в нем 2 А.

2.6. В цепи на рисунке амперметр показывает I=1,5 А. Сила тока через сопротивление R₁ равна I ₁=0,5 А. Сопротивление R₂=6 Ом. Определите сопротивление R₁, а также силу тока I₂ и I₃, протекающих через сопротивление R₂ и R₃.

2.7. Найти общее сопротивление участка цепи между точками А и В, изображенного на рис.2.7., если R₁=0,5 Ом, R₂=1,5 Ом, R₃= 1,0 Ом, R₅=0,7 Ом.

2.8. Найти силу тока (рис. 2.8) в отдельных проводниках, если R₁=3 Ом, R₂=2 Ом, R₃= 7,55 Ом, R₄= 2 Ом, R₅=5 Ом, R₆=10 Ом, U_AB=100 B.

2.9. Определить ток короткого замыкания источника ЭДС, если при внешнем сопротивлении R₁=50 Ом ток в цепи I₁=0,2 А, а при R₂=110 Ом ток I₂=0,1 А.

2.10. Вольтметр, подключенный к аккумулятору с внутренним сопротивлением 1 Ом, показывает 1,2 В. Если последовательно с ним включено сопротивление 20 Ом, вольтметр показывает 1 В. Определить сопротивление вольтметра.

2.11. Амперметр для измерения тока до 2 А с внутренним сопротивлением 0,1 Ом необходимо использовать для измерения токов до 22 А. Какое сопротивление должен иметь шунт?

2.12. Два цилиндрических проводника одинаковой длины и одинакового сечения, один из меди, а другой из железа, соединены параллельно. Определить отношение мощностей токов для этих проводников. Удельные сопротивления меди и железа соответственно равны 17 и 98 нОмм.

2.13. К батарее аккумуляторов, ЭДС которой равна 2 В и вну­треннее сопротивление г = 0,5 Ом, присоединен проводник. Опре­делить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность, выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность Р, которая при этом выделяется в проводнике.

2.14. ЭДС батареи равна 20 В. Сопротивление R внешней цепи равно 2 Ом, сила тока I=4 А. Найти КПД батареи. При каком значении внешнего сопротивления R КПД будет равен 99%?

2.15. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, если во внешней цепи при силе тока 4 А развивается мощность 10 Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт.

2.16. Лифт массой 1000 кг поднимается на высоту 30 м за одну минуту. Напряжение на зажимах мотора 220 В, его КПД 90%. Определить величину тока в моторе и расход энергии при подъеме.

2.17. Сопротивление обмотки электрочайника R=16 Ом. Определить промежуток времени , в течение которого закипит в нем m=600 г воды, имеющей начальную температуру t₁= 10^оС, если КПД =60% и если напряжение в сети U=120 В.

2.18. Электрический чайник имеет две секции нагревательной проволоки. При включении одной из них вода вскипает через 12 мин; при включении другой он вскипает через 24 мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике, если включить обе секции: а) параллельно? б) последовательно? Напряжение, КПД чайника, количество воды и начальную температуру считать во всех случаях одинаковыми. Теплообмен с воздухом не учитывать.

2.19. Сила тока в проводнике сопротивлением r=100 Ом рав­номерно нарастает от I₀= 0 до I_max=10 А в течение времени = 30 с. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.

2.20. Сила тока в проводнике сопротивлением 100 Ом равномерно убывает от 10 А до нуля за время 30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.

Тема 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.

15. Магнитное поле постоянного тока.

Магнитным полем называют вид материи, через которую переда­ется силовое воздействие на движущиеся электрические заряды и тела, обладающие магнитным моментом.

Пробным элементом для изучения магнит­ного поля является бесконечно маленькая маг­нитная стрелка или контур с током, которые сво­им магнитным полем не искажают исследуемое поле.

Основной силовой характеристикой магнит­ного поля является вектор магнитной индукции В. Его величину рассчитывают по формулам:

или ,

где – максимальная сила, действующая на проводник длиной , M_max–максимальный вращающий момент, действующий на пробную рамку площадью S с током I.

Магнитная индукция – это векторная физическая величина, яв­ляющаяся силовой характеристикой в данной точке магнитного поля.

Единица магнитной индукции – тесла (Тл).

Магнитные поля изобра­жают с помощью линий магнитной индукции (силовых линий). Линии магнитной индукции – линии, касательные к которым в данной точке совпадают по направлению с вектором В в этой точке. Направление линий магнитной индукции связано с направлением тока в проводнике. Направление силовых линий магнитного поля, создаваемого проводником с током, определяется по правилу правого винта (бурав­чика): если правовинтовой буравчик ввинчивать по направлению тока, то направление вращения рукоятки буравчика будет совпадать с направлением линий магнитной индукции.

_{Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают провод}­ники с токами. Это отличает их от линий напряженности электрического поля. Замкнутость (вихревой характер) линий магнитной индукции говорит о том, что в природе не существует магнитных зарядов, на которых бы они начинались или кончались.

Магнитное поле называют однородным, если векторы магнитной индукции во всех его точках одинаковы:

Примером однородного магнитного поля может служить поле внут­ри соленоида, т.е. катушки, длина которой много больше ее диаметра. Линии магнитной индукции однородного поля параллельны, и их густота везде одинакова.

16. Закон Био-Савара-Лапласа.

Магнитная ин­дукция зависит от свойств среды.

Величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в дан­ной однородной изотропной среде больше или меньше, чем в вакууме, называется относительной магнитной проницаемостью среды: . Магнитная проницаемость характеризует магнитные свойства среды, она зависит от рода вещества и температуры; – величина безразмерная. Для вакуума  = 1.

Индукция магнитного поля, создаваемого элементом проводника длиной dl, по которому течет ток I (рис.29), определяется законом Био-Савара-Лапласа:

,

где – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку, в которой определяется индукция , r – модуль этого вектора, - вектор, численно равный длине dl элемента проводника и направленный по току. Для поля в вакууме =1: . Раскрывая векторное произведение, получим:

.

Поле бесконечно длинного прямолинейного проводника (применение закона Био-Савара-Лапласа.

Определим индукцию поля, создаваемого таким проводником с током в точке М, находящейся на расстоянии г₀ от проводника (рис. 30). Выделим на проводнике элемент тока I dl и проведем радиус-вектор г в точ­ку М. Индукция поля, создаваемо­го в точке М элементом тока I dl, опре­деляется по закону Био-Савара-Лапласа. . Из рис. видно, что .

Но в свою очередь: , откуда .

Подставим выражения для r и dl в закон Био-Савара-Лапласа:

.

Чтобы определить индукцию магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током, нужно про­интегрировать полученное выражение в пределах от 0 до :

Таким образом, индукция магнитного поля, создаваемого прямым бесконечным проводником с током на расстоянии r₀ от него:

.

Используя закон Био-Савара-Лапласа, можно определить индукцию поля в центре кругового витка с током: ,

где r - радиус витка, а также в центре соленоида : В = ₀ I n,

где n - число витков на единицу длины соленоида.

Если поле создается несколькими источниками, то вектор магнитной индукции в данной точке определяется по принципу суперпозиции :

т.е. результирующая магнитная индукция – это векторная сумма векторов магнитной индукции, создаваемых каждым источником в отдельности.

Магнитное поле характеризуют не только индукцией В, но и напряженностью Н магнитного поля. Эти две физические величины связаны между собой: . Тогда закон Био-Савара-Лапласа можно представить в виде: .

17. Закон Ампера. Работа в магнитном поле.

Одним из проявлений магнитного поля является его силовое воздей­ствие на проводник с током, помещенный в магнитное поле. Ампером было установлено, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого В, действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля: dF = B I dl sin ,

где  – угол между векторами В и dl. Или в векторной форме:

,

где dl – малый участок проводника, имеющий на­правление, совпадающее с направлением тока]. Произведение Idl называют элементом тока.

В случае прямолинейного проводника длиной l:

Если , то F = I B l.

Для определения направления силы пользуются правилом левой руки: линии магнитной индукции входят в ладонь, четыре пальца совпадают с направлением тока, отогнутый большой палец укажет направление действия силы.

Так как на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, то под ее действием магнитным полем совершается работа по перемещению проводника с током. Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I, помещенный в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура (рис. 31). Под действием силы Ампера
F = F_А = I B l проводник переместится параллельно самому себе на расстояние dx. Работа, совершаемая магнитным полем, равна :

(т.к. ).

У нас направление поля В перпендикулярно площадке dS. В общем случае берем составляющую В_n:

Введем понятие потока вектора магнитной индукции (магнитный поток): Ф = В S cos ,

где  – угол между вектором нормали к поверхности и вектором магнитной индукции, или . В случае неоднородного поля рассматривают магнитный поток через элементарную площадку: , затем суммируют по всей площади S:

[Ф] = Вб (вебер).

Тогда работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:



где Ф = Ф₂ – Ф₁ – изменение магнитного потока.

18. Действие магнитного поля на движущиеся заряды.

Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света. При дви­жении заряда во внешнем магнитном поле возникает силовое взаимодей­ствие магнитных полей, определяемое по закону Ампера. Процесс взаи­модействия магнитных полей исследовался Лоренцем, который вывел формулу для расчета силы, действующей со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу.

Силу, действующую со стороны магнитного поля на движущийся заряд, можно найти исходя из закона Ампера. Пусть по проводнику дли­ной dl за промежуток времени dt проходит п одинаковых зарядов величи­ной dq, т.е. через проводник протекает ток, сила которого:

Согласно закону Ампера, на n dq зарядов будет действовать сила

Сила, с которой поле действует на каждый заряд, равна:

,

где –скорость движения заряда, – угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд, равна

и называется силой Лоренца. Эта сила перпендикулярна векторам и. Направление силы Ло­ренца, действующей на положительный заряд, определяется по правилу левой руки. С изменением знака заряда направление силы изменяется на противоположное.

В векторном виде сила Лоренца записывается:

Анализируя полученное выражение, можно сделать выводы:

• если скорость заряда = 0, то F_л = 0, т. е. магнитное поле не действу­ет на неподвижную заряженную частицу;

• если = 0, sin  = 0, то F_л = 0, т. е. если частица движется так, что
  вектор скорости параллелен вектору магнитной индукции , то со сто­роны магнитного поля сила не действует.

Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости летящей частицы, то она не изменяет величину скорости, а из­меняет лишь направление движения частиц. Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле, вектор индукции которого пер­пендикулярен направлению скорости заряженной частицы, то сила Ло­ренца искривляет траекторию движения, выполняя роль центростреми­тельной силы. Действие этой силы не приводит к изменению энергии заряженной частицы, т.е. эта сила не совершает работы.

Попадание ле­тящей частицы в магнитное поле вызывает изменение ее траектории в зависимости от знака заряда (рис. 32). На рис. вектор индукции магнитного поля направлен перпендикулярно плоскости чертежа (на нас). Частица будет двигаться по окружности, радиус R которой можно опре­делить из равенства центростремительной силы и силы Лоренца: , откуда .

Если частица движется под углом  к линиям В, то траектория дви­жения частицы будет винтовой линией (спиралью) (рис.33). Шаг h спирали определяется _ – тангенциальной составляющей скорости  частицы. Радиус спирали зависит от _n – нормальной состав­ляющей скорости .

Когда электрический заряд движется одновременно в электрическом и магнитном полях, то результирующая сила, действующая на частицу, равна:

В этом случае сила имеет две составляющие: от воздействия магнит­ного и электрического полей. Между этими составляющими имеется принципиальная разница. Электрическое поле изменяет величину скоро­сти, а следовательно, и кинетическую энергию частицы, однородное маг­нитное поле изменяет только направление ее движения.

19. Магнитное поле в веществе. Диа-, пара- и ферромагнетики.

Магнитными свойствами обладают все вещества, поэтому термин «магнетики» применим ко всем без исключения материалам. Посмотрим, как магнитное поле действует на движущиеся заряды (электроны) в молекулах и атомах вещества.

Электрон, вращающийся вокруг ядра атома по замкнутой орбите, представляет собой ток, направление которого противоположно движе­нию электрона (рис.34). Поскольку это движение аналогично круговому току, возникает магнитное поле и движение электрона можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом .

Вектор орбитального магнитного момента Р_m атома равен векторной сумме орбитальных моментов отдельных электронов, входящих в атом

где Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева.

Независимо от орбитального движения электроны являются источ­никами магнитного поля, так как они «вращаются вокруг собственной оси», т. е. обладают собст­венным моментом импульса (спином).

Таким образом, магнетизм атомов обуслов­лен двумя причинами: движением электронов по орбитам вокруг ядра и собственным моментом импульса (рис.). Кроме того, ядро атома об­ладает собственным магнитным моментом.

При внесении магнетика во внешнее магнитное поле происходит изменение его свойств, т.е. магнетик намагничива­ется. Намагниченный магнетик создает собственное магнитное поле с индукцией В', которое складывается с внешним магнитным полем, ин­дукция которого В₀. Вектор магнитной индукции В в магнетике опреде­ляется по принципу суперпозиции:

= ₀ +'.

Индукция ' собственного магнитного поля зависит как от ₀, так и от магнитной восприимчивости  вещества: ' = ₀.

Тогда = ₀ + ₀=₀ (1 + ). (19.1)

Магнитная индукция поля внутри магнетика зависит от магнитной проницаемости вещества: =₀. (19.2)

Из сопоставления формул (19.1) и (19.2) следует, что

 =1 + 

При наложении внешнего магнитного поля происходит упорядоче­ние направлений векторов магнитных моментов р_т отдельных атомов или молекул магнетика, в результате чего макроскопический объем при­обретает определенный суммарный магнитный момент. Магнитные свой­ства магнетика характеризуются вектором намагничения – величи­ной, равной отношению магнитного момента тела к его объему:

где n – число атомов или молекул, входящих в объем.

Различают диамагнетики (парамагнетики (1) и ферро­магнетики ( 1).

Диамагнетики. У большинства атомов диамагнетиков нет собствен­ного магнитного момента, его магнитный момент индуцирован внешним полем. Во внешнем поле атомы приобретают магнитные моменты, направленные противоположно внешнему полю (

Парамагнетики. Молекулы парамагнетиков имеют отличные от нуля собственные магнитные моменты. В отсутствие магнитного поля эти моменты расположены хаотически, поэтому вектор намагничения равен нулю. При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты отдельных атомов или молекул ориентируются вдоль линий В, так что собственное поле парамагнетика усиливает внешнее магнитное поле. Если такой эффект су­ществует, то он играет значительную роль и всегда преобладает над диа­магнетизмом ( 1). Парамагнетиками являются щелочные металлы, кислород, алюми­ний, платина, оксиды марганца, азота.

Ферромагнетики. Предельным случаем парамагнетизма является ферромагнетизм. В соответствии с квантовой теорией в некоторых веществах возникают области, имеющие значительные магнит­ные моменты. Эти области получили название доменов. В отсутствие поля распределение направлений маг­нитных моментов доменов имеет случайный ха­рактер.

У ферромагнетиков  зависит от внешнего магнитного поля, т. е. между В и Н, связанных между собой соотношением , существует нелинейная зависимость. Зависимость В от Н для ферромагнетиков можно изобразить кривой, называемой «петля гистерезиса» (рис. 35).

В_r–остаточная индукция (индукция при Н=0). Напряженность магнитного поля, при которой В=0, называют за­держивающей или коэрцитивной силой H_К. В зависимости от значения коэрцитивной силы ферромагнетики де­лят на мягкие и жесткие.

Мягкие ферромагнетики имеют узкую петлю гистерезиса и малые значения коэрцитивной силы. Для жестких ферромагнетиков характер­ны широкая петля гистерезиса и соответственно большие значения коэр­цитивной силы. К мягким ферромагнетикам относят железо, пермаллой и другие ма­териалы. Из мягких ферромагнетиков изготовляют сердечники трансформаторов, генерато­ров, электродвигателей. Из жестких ферромагнетиков, к которым отно­сятся сталь и ее сплавы, изготовляют постоянные магниты.

При возрастании температуры намагничение ферромагнетиков уменьшается, они теряют свои ферромагнитные свойства и превраща­ются в парамагнитные вещества.

Для каждого ферромагнитного материала есть своя температура пе­рехода, называемая точкой Кюри, так, например, для Fe – 1043 К, Со –1393K, Ni –631K.

20. Явление электромагнитной индукции.

В 1831 г. М. Фарадеем экспериментально было обнаружено, что в замкнутом контуре возникает электрический ток при изменении магнитного потока, пронизывающего его. Это явление было названо элек­тромагнитной индукцией.

Фарадей установил, что в замкнутых проводящих контурах возникает элек­трический ток при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего контур. Ток, возникающий при элек­тромагнитной индукции, называют индукционным.

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) – ЭДС индукции численно равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур: E _i=

где Ф = В S cos – магнитный поток.

Используя закон Ома для полной цепи и закон Фарадея, получаем выражение для индукционного тока: E _i/R=

Из данного уравнения следует, что индукционный ток зависит от сопро­тивления контура. Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца.

Индукционный ток всегда направлен так, что его действие про­тивоположно действию причины, вызывающей ток (правило Ленца). Знак минус в формуле отражает закон Ленца. При возрастании магнитного потока получаем, что: E_iIпри уменьшении магнитного потока имеем:  E_i0, I0.

Таким образом, переменное магнитное поле вызывает появление ин­дуцированного электрического поля. Это поле является вихревым. Силовые линии вихревого электрического поля замкнуты сами на себя в отличие от линий напря­женности электростатического поля.

Если замкнутый контур содержит N последовательно соединенных витков (например, катушка или соленоид), то ЭДС индукции равна сум­ме ЭДС каждого витка: E_i=

где=N dФ – потокосцепление, т.е. суммарный магнитный поток сквозь N витков.

21. Самоиндукция.

ЭДС электромагнитной индукции, которая возникает в контуре при изменении силы тока в нем, называется ЭДС самоиндукции. Это частный случай электромагнитной индукции.

ЭДС самоиндукции определяется из закона Фарадея:

E_si=

Магнитный поток, сцепленный с контуром, всегда пропорционален силе тока в нем: .

Коэффициент пропорциональности L называют коэффициентом са­моиндукции (индуктивностью контура). Единица индуктивности – генри (Гн). Индуктивность – одна из основных характеристик цепи переменно­го тока. Подставляя в формулу закона Фарадея, получаем

E_si=

Если контур представляет собой соленоид, содержащий N витков, то

E_si==.

В результате самоиндукции при замыкании цепи сила тока в соле­ноиде никогда сразу не достигает максимального значения, а нарастает постепенно. При размыкании цепи возникает индукционный ток, идущий в том же направлении, что и основной, и проявляющийся в виде искры на контактах рубильника.

Индуктивность L зависит от формы и размеров соленоида, а также от магнитных свойств окружающей среды. Если размеры, форма соленоида и магнитные свойства окружающей среды не изменяются, то L = const.

Определим индуктивность соленоида, т.е. катушки, длина l которой много больше ее диаметра. В этом случае можно пренебречь искажением поля вблизи концов соленоида. Напряженность поля во всех точках внут­ри соленоида одинакова и равна H = I n, где п – число витков, приходя­щихся на единицу длины соленоида. Если общее число витков соленоида равно N, то . Магнитный поток, пронизывающий один виток

.

где S – площадь, поперечного сечения соленоида,  – относительная магнитная проницаемость. Полный магнитный поток равен потокосцеплению: Так как Sl=V (объем соленоида), то . Поэтому индуктивность соленоида:

или

22. Энергия магнитного поля.

Если в контуре с индуктивностью L течет ток I, то в момент размы­кания цепи возникает индукционный ток и им совершается работа. Эта работа совершается за счет энергии исчезнувшего при размыкании цепи магнитного поля. На основании закона сохранения и превращения энер­гии энергия магнитного поля превращается главным образом в энергию электрического поля, за счет которой происходит нагревание проводни­ков. Работа может быть определена из соотношения dA = E_si I dt. Так как E_si=, то dA= – L I dI.

Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому

.

Эта формула справедлива для любого контура и показывает, что энергия магнитного поля зависит от индуктивности контура и силы тока, протекающего по нему.

Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле . В этом случае формула для энергии магнитного поля примет вид

Учитывая, что напряженность поля внутри бесконечно длинного соленоида Н=In, получаем

Выразим энергию через индукцию магнитного поля В =:

или

Вследствие того, что магнитное поле соленоида однородно и локали­зовано внутри соленоида, энергия распределена по объему соленоида с постоянной плотностью: .

Тогда получаем:

, ,

Сравнивая выражения для собственных энергий конденсатора и соленоидас потенциальной и кинетической энергиями, можно провести аналогию между электромагнитными и механическими явлениями. Так, для электрического поля величина 1/2С аналогична упругости пружины, а для магнитного поля индуктивность L аналогична массе т тела. Таким образом, индуктивность является мерой «инертности» контура по от­ношению к изменению в нем тока.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 3.

Примеры решения задач.

Задача 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию B в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии r₁=5 см и от другого — на расстоянии r₂= 12 см.

Дано: I = 60 А, d = 0,1 м, r₁=0,05 м, r₂= 0,12 м.

Найти: В – ?

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А (рис.) опре­делим направления векторов индукций B₁ и B₂ полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически, т.е. . Модуль индукции найдем по теореме косинусов:

Значения индукций B₁ и B₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от провода до точки, индукцию в которой мы вычисляем: В ₁ =; В ₂=.Подставляя В₁ и В₂ в формулу (1), получим: . Вычислим . По теореме косинусов из треугольника DAC имеем: . Отсюда: , cos =0,576.

Тогда: В=286 Тл.

Задача 2. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,5 Тл, движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток в 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпенди­кулярно к направлению магнитного поля. Найти работу перемещения проводника за 10 с движения.

Дано: В = 0,5Тл; l = 0,1 м; I=2А; = 0,2 м/с; а = 90°; t = 10 с

Найти: А - ?

Решение. Изобразим магнитное поле, вектор магнитной индукции которого направлен от нас (рис. 37). Сила Ампера, действующая на проводник с током (направление тока вниз по проводнику, согласно правилу левой руки), направлена вправо. Работу перемещения проводника определим по формуле: А = F S, где F = F_A; S = t – перемещение при равно­мерном движении, F = F_A – сила Ампера: F_А = B I l sin . Так как а = 90°, то sin 90° = 1, тогда F_A = B I l и, следовательно, А = B I l t. А=0,2 Дж.

Эту задачу можно решить еще одним способом: работа по перемещению проводника в магнитном поле А=I Ф, где Ф= Ф₂–Ф₁ – изменение магнитного потока. В данном случае Ф= В S, где S – площадка, которую пересекает проводник при своем движении за промежуток времени t. Из рисунка видно, что S=lvt. Тогда А =I B l v t.

Задача 3. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) частоту п вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикуля­рен линиям индукции.

Дано: U = 400 В; В=1,510^–3 Тл, =90

Найти: R-? n-?

Решение. 1. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нор­мальное ускорение а_п: F = та_п. Подставив сюда выражения F и а_п, получим:

,

где e, , m – заряд, скорость, масса электрона. Так как =90, следовательно, 1, тогда . (1) Импульс выразим через кинетическую энергию Е_К электрона: . (2)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую раз­ность потенциалов U, определяется равенством: . Подставив это выражение в формулу (2), получим . Тогда выражение (1) для R приобретает вид: . R= 45 мм.

2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории: . Подставив R из выражения (1) в эту формулу, получим:

. 4,210⁷ с^–1.

Задача 4. В магнитном поле с индукцией 10^-2 Тл вращается стержень длиной 0,2 м с постоянной угловой скоростью 100 с^–1. Найдите ЭДС индукции, возникающую в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям индукции магнитного поля.

Дано: В=10^-2 Тл, l =0,2 м, =100 с^-1.

Найти: E _i -?

Решение. При вращении стержня в магнитном поле на заряды в стержне действует сила Лоренца. За счет этого электроны смещаются к одному концу стержня, а на другом скапливается положительный заряд. Это приводит к возникновению разности потенциалов U= E _i: E _i = –(Ф /t),

где Ф - магнитный поток, проходящий через поверхность, описываемую стержнем за время t. Ф = В S, где S - площадь сектора, описываемого стержнем: S= l²/2. Т.к.  = t, то S = l²t /2. Отсюда Ф =В l²t /2. E _i = В l² /2 E _i =2.10^-2 В.

Задача 5. В катушке индуктивностью 0,4 Гн возникает ЭДС самоиндукции 20 В. Найти среднюю скорость изменения тока в катушке.

Дано: L=0,4 Гн, E _si =20 B.

Найти: I/t – ?

Решение. ЭДС самоиндукции E _si =. Отсюда E _si

50 А/ с.

Задача 6. Найти энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 0,5 Вб

Дано: I=10A,Ф=0,5 Вб.

Найти: I/t – ?

Решение. Энергия магнитного поля . Магнитный поток, создаваемый контуром с током . Отсюда . 2,5 Дж.

Задачи для самостоятельного решения.

3.1. На рис. изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между токами АВ=10см, токи I₁=20 А, I₂=30 А. Найти индукции магнитного поля, вызванного токами I₁ и I₂ в точках М₁, М₂ и М₃. Расстояния М₁А=2 см, АМ₂=4 см и ВМ₃=3 см.

3.2. Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном направлении.

3.3. По двум длинным проводам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии 5 см, идут в одном направлении токи 5 А и 10 А. Определить магнитную индукцию поля в точке, отстоящей на 2 см от первого и 5 см от второго провода.

3.4. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу перемещения проводника за время 10 с и мощность, затраченную на это перемещение.

3.5. Прямой провод, по которому течет ток 1 кА, рас­положен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. С какой силой действует поле на отрезок провода длиной 1 м, если магнитная индукция равна 1 Тл?

3.6. Прямой провод длиной 10 см, по которому течет ток 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл. Найти угол между направлениями вектора В и тока, если на провод действует сила F = 10^–2 Н.

3.7. Траектория пучка электронов, движущихся в вакууме в магнитном поле с индукцией В=7.10^-3 Тл, – дуга окружности с радиусом R=3 см. Определить скорость и энергию электронов.

3.8. -частица, имеющая скорость 10⁶ м/с, влетела в однородное магнитное поле, индукция которого 0,3 Тл. Скорость частицы перпендикулярна к направлению линий индукции магнитного поля. Найти радиус окружности, по которой будет двигаться частица, и период обращения. Масса -частица 6,6410^–27 кг.

3.9. -частица, кинетическая энергия которой 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти силу, действующую на -частицу, радиус окружности, по которой движется -частица, и период обращения -частицы.

3.10. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, двигаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом однородному электрическим (Е=100 кВ/м) и магнитному (В=50 мТл) полям, не отклоняется.

3.11. Электрон, обладающий энергией 10³ эВ, влетает в однородное электрическое поле Е=800 В/см перпендикулярно силовым линиям поля. Каковы должны быть направление и величина индукции магнитного поля, чтобы электрон не испытывал отклонений?

3.12. В магнитном поле с индукцией 0,1 Тл расположен стержень длиной 1 м, который вращается перпендикулярно к направлению линий магнитной индукции. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить поток магнитной индукции сквозь поверхность, которую образует стержень при каждом обороте.

3.13. Магнитный поток через контур из проволоки с электрическим сопротивлением 2 Ом равномерно уменьшился с 310^–4 Вб до 0. Какой заряд прошел при этом через поперечное сечение проводника?

3.14. Чему равна индукция однородного магнитного поля, если при вращении в нем прямолинейного проводника длиной l=0,2 м вокруг одного из его концов с угловой скоростью =50 рад/с на концах проводника возникает разность потенциалов U=0,2 В?

3.15. Соленоид диаметром d=4 см, имеющий N=500 витков, помещен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью 1 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол 45. Определить ЭДС индукции, возникающую в соленоиде.

3.16. В длинной катушке радиусом R=2 см, содержащей N=500 витков, сила тока I=5 А. Определить индуктивность катушки, если индукция магнитного поля внутри катушки B=12,5 мТл.

3.17. Через катушку, индуктивность которой 200 мГн, протекает ток, изменяющийся по закону . Определить: 1) закон изменения ЭДС самоиндукции» 2) максимальное значение ЭДС самоиндукции.

3.18. При изменении тока от 1 А до 10 А в соленоиде, содержащем 400 витков, его магнитный поток увеличился на 6.10^-3 Вб. Чему равна средняя ЭДС самоиндукции, возникающая в соленоиде, если изменение тока произошло за 0,1 с.

3.19. Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжением, имеет сопротивление 15 Ом и индуктивность 0,3 Гн. Определить время, за которое в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

3.20. Найти индуктивность соленоида, полученного при намотке провода длиной l₁=10 м на цилиндрический железный стержень длиной l₂= 10 см. Магнитная проницаемость железа =400.

Приложения

Диэлектрическая проницаемость диэлектриков.

Воск	7,8	Парафин	6	Эбонит	2,6
Вода	81	Слюда	6	Парафинированная	2
Керосин	2	Стекло	6	бумага
Масло	5	Фарфор	6

Удельное сопротивление проводников (при 0^оС), мкОм.м.

Алюминий	0,025	Медь	0,017	Свинец	0,22
Графит	0,039	Нихром	100	Сталь	0,10
Железо	0,087	Ртуть	0,94

Ответы.

1.1. 8,94 см. 1.2. 0,8 10^–3 Н, 1,4 10^–3 Н 1.3. На расстоянии 40 см от заряда 4q. 1.4. 0,59 нН. 1.5. 15,6 г. 1.6. 0,6 кВ/м; 0,2 кВ/м. 1.7. 27. 1.8. 1) 113 В/м; 2) 339 В/м. 1.9. =2,2 Мм/с, U= – 4,310^–18 Дж. 1.10. ₁=1,8 кВ; ₂=1,29 кВ. 1.11. q₁=30 мкКл, q₂=12 мкКл, q₃=18 мкКл. 1.12. U₂=250 В, С₁=118 пФ, С₂=236 пФ. 1.13. Е= 60кВ/м, W₁=20 нДж, W₂=8 мкДж. 1.14. Е₁ =Е₂= 150 кВ/м, W₁=20 мкДж, W₂=50 мкДж. 1.15. q₁=1,510^–15 Кл, q₂=0,810^–15Кл. 1.16. 2/3 1.17. 0,33 мкФ. 1.18. q₁=q₂=8 мкКл, U₁=4 В, U₂=2В. 1.19. 0,05 Дж 1.20. 50 нДж.

2.1. q=0,5I=50 Кл. 2.2. 1 А/мм²ю 2.3. 6,1 МА/м. 2.4. l=500 м, d=1мм. 2.5. 5,4 В. 2.6. R₁=3 Ом, I₂ = 0,75 А, I₃=0,25 А. 2.7. 0,27 Ом. 2.8. 4 А, 10А, 6,25 А, 2,5 А, 1,25 А.. 2.9. 1,2 А. 2.10. 99 Ом. 2.11. 0,01 Ом . 2.12. 5,76. 2.13. 1) 0,5 Ом, 2) 2 Вт. 2.14. 0,4; 297 Ом. 2.15. 5,5 В, 0,75 Ом. 2.16. 25 А, 333 кДж. 2.17. =Rmc(t₂-t₁)/(U²), где с и
t₂= 100^оС - удельная теплоемкость и температура кипения воды. 2.18. 8 мин, 36 мин. 2.19. . 2.20. 100 кДж.

3.1. В₁=1,510^–4Тл, В₂=210^–4Тл, В₃=1,710^–4Тл. 3.2. В₁=2,510^–4 Тл, В₂= Тл, В₃=2,310^–4 Тл. 3.3. В=6,2810^–5 Тл.. 3.4. А=0,2 Дж, Р=20 мВт. 3.5. 1кН/м. 3.6. /6 рад. 3.7. 3,7.10⁷м/с, 3900 эВ. 3.8. R=7 см; T=0,4 мкс. 3.9. F=5.10^-15 Н, R=3,2 см, Т=1,3 мкс. 3.10. 2 Мм/с. 3.11. 4,2.10^-3 Тл. 3.12. 0,3 Вб. 3.13. 150 мкКл. 3.14. B=2U/(l²)=0,2Тл. 3.15. 444 мкВ. 3.16. L=R²NB/I= 1,6 мГн. 3.17. E_si , E _simax=1,2 В. 3.18. 24 В. 3.19. 0,01 с. 3.20. L=₀l₁²/4l₂=40 мГн.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савельев И.В. Курс общей физики в 5 кн.: кн.2: электричество и магнетизм. – М.: АСТ: Астрель, 2005.

2. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. - М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2006.

3. Ремизов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики. – М.: Дрофа, 2002.

4. Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики. – М.: Высшая школа, 2001.

5. Гельфгат И.М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А. 1001 задача по физике. – М.: «Илекса», 2001.

6. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики. –М.: Высшая школа, 1999.

7. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Физика. – М.: Дрофа, 1999.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	2
Тема 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.	2
2. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля.	4
3. Принцип суперпозиции полей. Диполь. . . . . . . . . . .	5
4. Поток вектора электрического смещения. Теорема Гаусса.	6
5. Работа перемещения заряда в электростатическом поле. Потенциал поля. Разность потенциалов. . . . . . . . . . . . .	8
6. Связь между напряженностью и потенциалом. . . . . . . .	9
7. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. . . . . . .	10
8. Электроемкость. Конденсаторы. . . . . . . . . . . . . . . .	12
9. Энергия электростатического поля. . . . . . . . . . . . . . .	13
Решение задач по теме 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
Тема 2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 10. Электрический ток и его характеристики. . . . . . . . . . .	19
11. Закон Ома для участка цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
12. Соединения проводников. Зависимость сопротивления от температуры. . . . . .	21
13. Закон Ома для цепи, содержащей ЭДС. . . . . . . . .	22
14. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля–Ленца. . .	23
Решение задач по теме 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
Тема 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. 15. Магнитное поле постоянного тока. . . . . . . . . . . . .	29
16.Закон Био-Савара-Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . .	30
17. Закон Ампера. Работа в магнитном поле. . . . . . . . . . .	32
18. Действие магнитного поля на движущиеся заряды. . . . . .	33
19. Магнитное поле в веществе. Диа-, пара- и ферромагнетики.	34
20. Явление электромагнитной индукции. . . . . . . . . . .	36
21. Самоиндукция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
22. Энергия магнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
Решение задач по теме 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . .	46