Углы в планиметрии

ТЕМА 2. УГЛЫ

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, – сторон угла.

Существует три способа обозначения углов.

1. Тремя заглавными латинскими буквами, средняя обозначает его вершину.

2. Одной заглавной латинской буквой, обозначающей вершину угла.

3. Двумя строчными латинскими буквами, обозначающими полупрямые, из которых состоит угол. Они располагаются на продолжении полупрямых.

Виды углов:

1. Острый. Его градусная мера меньше 90°.

2. Тупой. Его градусная мера больше 90°.

3. Прямой. Его градусная мера равна 90°.

4. Развёрнутый. Он состоит из двух дополнительных полупрямых и градусная мера его равна 180°.

СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

ТЕОРЕМА: Сумма смежных углов равна 180°.

СЛЕДСТВИЯ:

I. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

II. Если угол не развёрнутый, то его градусная мера меньше 180°.

III. Угол, смежный с прямым углом, тоже прямой.

Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла.

ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.

ВНУТРЕННИЕ ОДНОСТОРОННИЕ И

ВНУТРЕННИЕ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ

Секущей называется прямая, пересекающая две данные прямые.

Внутренними односторонними называются углы, расположенные между данными прямыми в одной полуплоскости от секущей.

Внутренними накрест лежащими называются углы, расположенные между данными прямыми в разных полуплоскостях от секущей.

ТЕОРЕМА (признак параллельности прямых): Если внутренние накрест лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей.

СЛЕДСТВИЯ:

I. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

II. Прямые параллельны, если соответственные углы равны.

ТЕОРЕМА (обратная): Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

СЛЕДСТВИЕ:

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы.

1. Смежные углы относятся как 4:1. Найдите эти углы.

2. На рисунке прямые a и b перпендикулярны, ∠1 = 40°. Найдите углы 2, 3 и 4.

1. Один из смежных углов больше другого на 40°. Найдите эти углы.

2. На рисунке прямые a и b перпендикулярны, ∠1 = 130°. Найдите углы 2, 3 и 4.

1. Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС, причём ОВ⊥ОА (рис.). Угол, образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС, равен 75°. Найдите углы АОВ, ВОС, АОС.

2. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на 60° больше половины другого.

1. Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС, причём ОВ⊥ОА (рис.). Угол, образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС, равен 20°. Найдите углы АОВ, СОВ, АОС.

2. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как 4:5.

1. Даны два угла АОВ и ВОС с общей вершиной. Стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого (рис.). Найдите эти углы, если разность между ними равна прямому углу.

2. Углы АОВ и ВОС смежные, ОМ – биссектриса угла АОВ, луч ON принадлежит внутренней области угла ВОС и перпендикулярен ОМ. Является ли ON биссектрисой угла ВОС? Почему?

1. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.

2. Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части.

3. Докажите, что сумма каждых трёх углов, не прилежащих один к другому и образуемых тремя прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.

4. Докажите, что сумма каждых пяти углов, не прилежащих один к другому и образуемых пятью прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

(Свойства параллельности прямых)

1. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше другого. Чему равны эти углы?

2. Дан прямоугольный треугольник АСВ (∠С = 90°), ЕАС, FAB, причём EF‖CB, EK – биссектриса треугольника АЕF. Чему равен угол АЕК?

1. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, больше другого на 64°. Чему равны эти углы?

2. Дан прямоугольный треугольник MEF (∠E = 90°), CME, DMF, причём CD‖EF, KMD, ∠KCD = 40°. Чему равен угол MCК?

1. На рисунке АС ‖ BD и АС = АВ, ∠МАС = 40°. Найдите ∠СBD.

2. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО = ОВ, АС ‖ DB. Докажите, что ∆АОС = ∆DOB.

1. На рисунке 1 АС ‖ BD и АС = АВ, ∠BCD= 20°. Найдите ∠СAB.

2. На рисунке 2 BC = AD и ВС ‖ AD. Докажите, что ∆АВС = ∆ADC.

1. На рисунке 1 АВ = BD = ВС, BE ‖ DC. Докажите, что DC ⊥ AC.

2. На рисунке 2 BЕ ‖ AF, AB ‖ DE, AB = CD. Докажите, что ∆BCE = ∆ADF.

1. На рисунке 1 АВ = АС, AD = DE, DE ‖ AC. Докажите, что АЕ ⊥ ВС.

2. На рисунке 2 АВ ‖ CD, BC ‖ AD, DF ‖ BE. Докажите, что ∆FAB = ∆CBE.

1. На прямой МN между точками М и N выбрана точка А и проведены по одну сторону от МN лучи АВ, АС и AD. На луче АВ выбрана точка К и через неё проведена прямая, параллельная МN и пересекающая лучи АС и AD соответственно в точках Р и Е, КР = РА = РЕ. Докажите, что АВ ⊥ AD.

1. На отрезке АВ взята точка С. Через точки А и В проведены по одну сторону от АВ параллельные лучи. На них отложены отрезки AD = AC и ВЕ = ВС. Точка С соединена отрезками прямых с точками D и Е. Докажите, что DC ⊥ CE.

3