Умножение вектора на число. Решение задач с применением векторов.

9 класс

ГЛАВА IX. ВЕКТОРЫ.

§ 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач.

п. 86. Произведение вектора на число.

п. 87. Применение векторов к решению задач.

п. 88. Средняя линия трапеции.

Разберёмся, каким образом происходит умножение вектора на число.

Определение. Произведением ненулевого вектора на число называется вектор , коллинеарный данному, модуль которого равен модулю данного вектора, умноженному на модуль данного числа. Причём, если число положительное, то векторы сонаправлены, а если оно отрицательно, то векторы противоположно направлены.

Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е. .

Произведение ненулевого вектора на равно также нулевому вектору, т.е. .

Обратим внимание ещё на такую закономерность.

• Если , то вектор будет меньше вектора в раз;

• Если , то вектор будет больше вектора в раз;

• Если , то направление вектора совпадает с направлением вектора ;

• Если , то вектор будет противоположно направлен вектору ;

• Е
  сли , то вектор равен вектору .

Для операции умножения вектора на число справедливы алгебраические законы.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов и чисел справедливы равенства:

(сочетательный закон)

(I распределительный закон)

(II распределительный закон)

Доказательство.

I. Докажем сочетательный закон.

1). Если , то числа и имеют одинаковые знаки (либо оба положительные, либо оба отрицательные). Значит, .

а) Если и , то . Аналогично, .

б) Если и , то . Аналогично, .

Значит, .

2). Если , то числа и имеют разные знаки (одно число положительное, другое отрицательное). Значит, .

а) Если и , то . Аналогично, .

б) Если и , то . Аналогично, .

Значит, , т.е. .

3). Докажем теперь равенство модулей.

Мы показали, что векторы и сонаправлены и равны по модулю, значит, эти векторы равны, т.е. . Сочетательный закон доказан.

II. Теперь докажем первый распределительный закон.

1). Если , то и . Равенство выполняется.

2). Пусть . Рассмотрим случай с неколлинеарными векторами и (поскольку с коллинеарными векторами доказательство тривиально).

а) Отметим точку и отложим от неё вектор , от точки отложим вектор . Вектором суммы этих векторов является вектор .

б
) Отметим точку и отложим от неё вектор , и от точки отложим вектор . Вектором суммы этих векторов является вектор .

в) Рассмотрим и .

(по II признаку подобия треугольников). Значит, все стороны у этих треугольников пропорциональны с одинаковым коэффициентом подобия, т.е. . Учитывая пункты а) и б), получаем: .

г). По определению произведения вектора на число,

если , то ;

если , то .

С другой стороны,

если , то ;

если , то .

Мы определили, что при одном и том же знаке числа левая и правая части доказываемого равенства являются сонаправленными векторами, т.е. .

Из пунктов в) и г) следует, что .

III. Докажем второй распределительный закон.

1). Если , то и . Равенство выполняется.

2). Если , то возможны два случая: когда и имеют одинаковые знаки, т.е. , и когда они имеют разные знаки, т.е. . Причём, в обоих случаях и коллинеарны. Пусть (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

а) Пусть и имеют одинаковые знаки, т.е. . Тогда Значит,

б) Пусть и имеют разные знаки, т.е. (при доказательстве не важно, какое из этих чисел отрицательно, а какое положительно). Тогда Значит,

Векторы . Направление этих векторов совпадает с направлением вектора при и противоположно при . Следовательно, , а, значит,

Теорема полностью доказана.

Доказанные нами свойства действий с векторами позволяют упрощать выражения, содержащие векторы, по алгебраическим законам.

Например, .

Многие геометрические задачи легче решаются, если применить векторы. Мы сначала докажем свойство средней линии трапеции с помощью векторов, а затем разберём несколько задач.

Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

– средняя линия трапеции.

ТЕОРЕМА. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Дано: – трапеция

– средняя линия

Доказать:

Доказательство.

Применим векторный способ доказательства.

1). По правилу многоугольника, . С другой стороны,

Найдём сумму этих двух равенств:

(т.к. – середина )

(т.к. – середина )

Значит, и .

2). Чтобы доказать параллельность средней линии основаниям, необходимо доказать, что вектор сонаправлен с вектором суммы (коэффициент , поэтому он не изменяет направление вектора суммы). Поскольку то вектор суммы сонаправлен с каждым из этим векторов. Значит, и вектор . По определению сонаправленных векторов, они лежат на параллельных прямых. Поэтому, .

Теорема доказана.

Решим несколько задач с применением векторов.

1. Доказать, что если – середина отрезка и – произвольная точка, не лежащая на отрезке , то выполняется равенство .

Дано: – отрезок,

– середина ,

.

Доказать: .

Доказательство.

Выразим вектор из двух разных треугольников: и по правилу треугольника.

Полученные два равенства почленно прибавим:

Векторы и являются противоположными, т.к. (точка – середина ), они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Значит, . Тогда,

Утверждение доказано.

Из этой задачи можно сделать вывод о свойстве вектора медианы треугольника:

Вектор, выходящий из вершины треугольника в середину противолежащей стороны, равен полусумме векторов, выходящих из этой же вершины в остальные вершины треугольника.

1. В треугольнике проведены медианы и . Докажите, что .

Дано:

– медианы

Доказать: .

Доказательство.

Используя свойство вектора медианы треугольника, находим векторы и .

Найдём разность этих векторов:

Что и требовалось доказать.

Во многих задачах, которые решаются с применением векторов используется свойство средних линий четырёхугольника.

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА.

Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

– четырёхугольник

и – средние линии четырёхугольника

– параллелограмм.

1. Даны два треугольника и , имеющие общую медиану . Докажите, что .

2. Даны треугольник и точка . Докажите, что если – точка пересечения медиан, то .

3. Дан треугольник . – точка пересечения его медиан. Докажите, что для любой точки имеет место соотношение .

4. Дано, что точки и – точки пересечения медиан треугольников и . Докажите, что .

5. На сторонах и треугольника даны соответственно точки и такие, что . Вычислите сумму векторов .

6. Через середину медианы треугольника проведена прямая , пересекающая сторону в точке . Докажите, что .

7. Треугольники и имеют общую точку пересечения медиан. Докажите, что .

8. На сторонах и треугольника даны соответственно пары точек , причём, . Докажите, что точки пересечения медиан треугольников и симметричны относительно точки пересечения медиан данного треугольника.

9. Через вершины и треугольника параллельно направлению вектора проведены прямые, пересекающие прямые и соответственно в точках и . Докажите, что , если .

10. На прямых и , определяющих треугольник , даны соответственно точки и такие, что . Докажите, что если точки и принадлежат одной прямой, то . Проверьте истинность обратного утверждения.

11. На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что если одна из четырёх прямых параллельна медиане треугольника, определяемого тремя другими, то аналогичными свойствами обладает каждая из трёх остальных данных прямых.

12. Через вершины и треугольника проведены соответственно прямые и , пересекающиеся в точке . Докажите, что прямые и , проходящие соответственно через середины и сторон и параллельно и , также пересекаются в одной точке.

13. Даны треугольник и точка ; точки и – середины его сторон и . Через вершины и проведены прямые, параллельные прямым соответственно. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

14. На сторонах треугольника вне его построены равносторонние треугольники . Докажите, что .

15. На сторонах треугольника вне его построены правильные треугольники . Докажите, что точки пересечения медиан треугольников и совпадают.

16. На продолжениях высот и треугольника за его вершины и отложены отрезки и , причём, и . Докажите, что и .

17. Даны треугольник и центр вписанной в него окружности. Докажите равенство , где и – длины отрезков и соответственно.

18. В треугольнике проведена медиана .

1. Докажите, что .

2. Прямая , параллельная прямой , пересекает прямые и соответственно в точках . Докажите, что сумма не зависит от выбора прямой .

3. Прямая пересекает отрезки и соответственно в точках и . Докажите, что .

1. Дан треугольник . Докажите, что , где – точка пересечения медиан треугольника, – произвольная точка плоскости.

2. В треугольнике проведена биссектриса . Докажите, что , где и – длины отрезков и соответственно.

3. В окружность с центром вписан треугольник . Докажите, что , где – точка пересечения высот треугольника.

4. Дан треугольник , в котором проведены медианы. Докажите, что если – середины медиан, то для любой точки плоскости выполняется равенство .

5. Докажите, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке , которая обладает следующим свойством: расстояние от точки до каждой вершины треугольника равно длины соответствующей медианы.

6. Существует ли в плоскости треугольника точка , удовлетворяющая равенству ?

7. Из точки , лежащей внутри треугольника , проведены перпендикуляры на стороны и на этих перпендикулярах отложены отрезки , равные соответствующим сторонам треугольника. Докажите, что – центр масс треугольника .

8. На сторонах треугольника вне его построены квадраты, имеющие центры соответственно в точках . Докажите, что .

9. На сторонах и треугольника вне его построены квадраты и . Докажите, что медиана треугольника , проведённая через вершину , перпендикулярна стороне и равна её половине.

10. Дан параллелограмм . Точка – его центр. Докажите, что если – любая точка плоскости, то .

11. Дан параллелограмм . На прямой взята такая точка , что . Прямая пересекает прямую в точке , для которой . Вычислите .

12. Через вершину параллелограмма проведена прямая , пересекающая прямые и соответственно в точках и . Докажите, что если , то .

13. Дан параллелограмм . Найдите на плоскости такую точку , чтобы выполнялось равенство . Сколько существует таких точек?

14. Дан параллелограмм . Докажите, что , где – произвольная точка пространства.

15. - параллелограмм, – его центр, – произвольная точка плоскости. Выразите вектор через векторы .

16. Два параллелограмма и имеют общую вершину . Докажите, что .

17. Даны два параллелограмма и . Докажите, что каждый из трёх отрезков не больше суммы двух других отрезков.

18. и – два параллелограмма с центрами и . Выразите векторы через векторы и .

19. Докажите, что если в четырёхугольнике точки и – соответственно середины сторон и и для построенного параллелограмма точка - середина отрезка , то и .

20. На стороне четырёхугольника построен параллелограмм и взята точка – середина отрезка . Докажите, что если и – соответственно середины сторон и , то отрезок равен отрезку по длине и параллелен ему.

21. Даны два параллелограмма и . Докажите, что в общем случае середины отрезков являются вершинами параллелограмма . Постройте два таких параллелограмма, чтобы точки совпадали или принадлежали одной прямой.

22. Докажите, что если – соответственно середины последовательных сторон шестиугольника, то .

23. и – два параллелограмма и – центр первого из них. Выразите векторы через векторы .

24. Даны четыре компланарных вектора одинаковой длины. Докажите, что если , то четырёхугольник – прямоугольник.

25. При каждой вершины треугольника построены ромбы, стороны которых равны и направлены по сторонам треугольника; – диагонали этих ромбов. Докажите, что .

26. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда для любой точки выполняется равенство .

27. Докажите, что если точки не принадлежат одной прямой и , то четырёхугольник – параллелограмм.

28. В четырёхугольнике точки – соответственно середины последовательных сторон. Докажите, что – параллелограмм.

29. Дана трапеция . Прямая, параллельная её основаниям и , пересекает боковые стороны и соответственно в точках и . Докажите, что если , то .

30. Дана трапеция , у которой и – основания, а точки и – середины её боковых сторон и . Докажите, что .

31. Через точку пересечения диагоналей и трапеции проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны и в точках и . Докажите, что , где и – длины отрезков и .

32. Докажите, что если длина средней линии четырёхугольника равна полусумме длин его сторон и (точка принадлежит стороне , точка принадлежит стороне ), то – трапеция или параллелограмм.

33. Даны четырёхугольник и точки и (точка принадлежит стороне , точка принадлежит стороне ). Докажите, что вектор , где и – точки пересечения средних линий четырёхугольников и , не зависит от выбора точек и .

34. Даны четырёхугольник и точка . Построены точки , симметричные точке относительно середин сторон четырёхугольника. Докажите, что .

35. Дан четырёхугольник . Построен второй четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников . Докажите, что средние линии обоих четырёхугольников пересекаются в одной точке.

36. На сторонах и четырёхугольника даны соответственно точки и , такие, что . Докажите, что середины отрезков и принадлежат одной прямой.

37. В пятиугольнике точки – соответственно середины четырёх последовательных сторон, начиная от . Найдите зависимость между векторами и .

38. В окружность с центром вписан четырёхугольник , диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке . Выразите вектор через векторы и .

39. Дан правильный -угольник с центром . Докажите, что
    

40. Даны правильный -угольник с центром и точка . Докажите, что

41. Даны два произвольно расположенных правильных -угольника и с центрами в точках и . Докажите, что

42. Дан правильный пятиугольник с центром . Выразите векторы и через векторы и .

43. На сторонах четырёхугольника вне его построены квадраты и с центрами соответственно. Докажите, что отрезки и равны и перпендикулярны.

44. Дан четырёхугольник . Найдите на плоскости такую точку , чтобы выполнялось равенство . Сколько существует таких точек?

45. Пусть – точка пересечения средних линий четырёхугольника и – произвольная точка плоскости. Докажите, что имеет место равенство .

46. Дан четырёхугольник . Его средние линии пересекаются в точке . Построена ломаная , где . Докажите, что – середина отрезка .

47. Пусть – произвольный многоугольник, а – середины его сторон. Докажите, что для произвольной точки справедливо соотношение

.

1. Точки и являются соответственно серединами диагоналей и четырёхугольника . Докажите, что и .

2. Проведены четыре радиуса и окружности с центром . Докажите, что если , то – прямоугольник.

3. На окружности с центром даны точки и . Касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке . Выразите вектор через векторы и , если:

3. .

1. Дана окружность с центром и – точки этой окружности. Биссектриса угла пересекает окружности в точке . Выразите вектор через векторы и , если:

3. .

1. Дана окружность с центром . Проведены две равные хорды и , пересекающиеся в точке . Докажите, что сумма векторов коллинеарна вектору .

2. Дана окружность с центром . Проведены две перпендикулярные хорды и . Хорды или их продолжения пересекаются в точке .

1. Докажите, что .

2. Докажите, что середины хорд и , точка и центр данной окружности являются вершинами параллелограмма.

6