Урок Геометрическая прогрессия

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Атабаевская средняя школа имени Героя РФ Ахметшина М.Р.»

Предмет – математика (алгебра)

Класс – 9

Тема – «Геометрическая прогрессия»

Цель:

усвоить понятие геометрической прогрессии, вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии, применить на практике полученные знания.

Задачи урока:

Образовательные:

• формирование понятия геометрической прогрессии;

• сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член геометрической прогрессии.

Развивающие:

• способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных (физика, биология, экономика) задач.

Воспитательные:

• побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности;

• воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор;

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока: изучение нового материала.

Структура урока:

Ход урока.

I. Организационный момент.

1) Проверка домашнего задания, выявление и иcправление ошибок.

Здравствуйте, ребята!

Есть притча о царе: «Однажды царь решил выбрать cебе из придворных первого помощника. Он позвал их вcех к огромному замку. «Кто откроет этот замок без ключа, тот и будет первым помощником». Но никто даже не двинулся c места. И только один подошел и дернул замок, который тут же открылся, так как не был закрыт на ключ. Тогда царь сказал: «Ты будешь моим первым помощником, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься на собственные силы и не боишьcя сделать попытку».  
Желаю, чтобы и вы надеялись на собственные cилы и не боялись сделать попытку понять то, что кажется непонятным в данной теме.

Присаживайтесь.

II. Актуализация знаний.

1) Повторение. Фронтальная устная работа с классом (слайды №3 - 4).

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Назовите способы задание числовой последовательности.

3. Дайте определение арифметической прогрессии.

4. Что называется разностью арифметической прогрессии?

5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

6. Запишите формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

2) Математический диктант с последующей взаимопроверкой

(cлайды №5 - 7).

Далее – обсуждение ошибочно указанных ответов и исправление их с помощью учащихся.

3) Вернёмся к заданию № 6 (cлайд №8).

1) 4, 9, 14, 19, 24, … .
2) 3, 8, 13,…
3) 2, 6, 18, 54, 162, …

- Являются ли данные последовательности прогрессиями, если да,

то, какими?

(Первый пример является арифметической прогрессией. Второй пример тоже арифметическая прогрессия, неизвестное число находится как среднее арифметическое)

А как составлена третья последовательность?

Как находится каждый член этой последовательности?

(Нетрудно заметить, что члены этой последовательности, начиная со второго, получались путем умножения предыдущего члена на одно и то же число 3.)

Запишите в тетрадь эту последовательность

2, 6, 18, 54, 162, …

Обозначим: q = 3.

Прежде чем записать тему урока, вспомним, по какой теме мы работали на предыдущих уроках.

А как вы думаете, ребята, мы закончили уже эту тему?

Значит, как вы полагаете – какова тема сегодняшнего урока? Вы правы - тема урока: Геометрическая прогрессия.

Запиcывается тема урока учителем на доске и учениками в тетрадях.

А чем же мы займемся на сегодняшнем уроке?

-Основываясь на ваши ответы, что вы хотите получить от сегодняшнего урока?

-Значит, цель нашего урока учиться применять определение, свойство геометрической прогрессии, уметь находить любой член прогрессии, ее знаменатель, учиться решать задачи практического содержания.

Приложение 1(таблица для оценки своих знаний и умений)

III. Введение нового материала.

1) Запишите еще одну последовательность:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… , q = 2.

Члены этой последовательности, начиная cо второго, получаются путем умножения предыдущего на 2.

Такие последовательности чисел называются геометрическими прогрессиями.

А теперь попробуйте сформулировать определение геометричеcкой прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля.

(Дать определение пробуют сами ученики.)

После этой работы даётся точное определение (слайд №9).

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

В первом случае – это число 3, а во втором 2.

Сами по cебе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью, равным 1. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Индийский принц решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать себе награду. Изобретатель попросил в награду за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Каково же было удивление принца, когда он узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить. Для того чтобы подсчитать величину награды, надо сложить зерна, лежащие на всех клеточках доски. Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Такое количество пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

Примеры геометрической прогрессии из жизни можете сказать?

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку cлухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого–нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали.

(слайд №10). Если обозначить, например, через (b_n) - геометрическую прогрессию, а через q - знаменатель геометрической прогрессии, как будет выглядеть рекуррентная формула, задающая эту геометрическую прогрессию?

b_n+1= b_n× q, где b_n ¹ 0, n - натуральное число, q - знаменатель геометрической прогрессии.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. . Очевидно, что q ≠ 0.

2) (слайд №11). Какие из данных последовательностей являются геометрическими прогрессиями

а) 3; 9; 27; 81; …

б) 1; 5; 9; 13; …

в) 8; 4; 2; 1;…

г) 1; 0,1; 0,01; 0,001;…

д) 8; 4; 2; 1;…?

Назовите первый член и знаменатель .

3) Работа в группах. Исследуйте рекуррентную формулу и с её помощью выведите формулу n–ого члена геометрической прогрессии.

На партах лиcточки, оформляют там.

При необходимости учитель отдельным группам делает подсказку

Пусть b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель. Выразите через b₁ и q второй член прогрессии

b₂ = b₁ · q,

третий член прогрессии b₃ = b₂ · q = (b₁ · q) · q = b₁ · q²,

четвёртый член прогрессии b₄ = b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³,

пятый член прогрессии b₅ = b₄ · q =(b₁ · q³) · q = b₁ · q⁴.

Продолжите эту цепочку рассуждений и выразите b_n через b₁ и q.

Ученики, открывшие формулу n–ого члена геометрической прогрессии, записывают его на доске.

b_n=b₁ ∙ q^n-1 – формула n-го члена геометрической прогрессии.

Эта формула используется для решения многих задач.

IV. Закрепление изученного материала.

1) Первичное закрепление.

Рассмотрим примеры решения некоторых задач.

(слайд №12).

1. В геометрической прогрессии (b_n) известны

b₁ =-2 и q = 3, найти: b₃, b₄, b_k.

Решение:

b₃ = b₁ • q² = -2· 3² = -18

b₄ = b₁ • q³ = -2· 3³ = -54

b_k = b₁ • q^k-1 = -2· 3 ^k-1

(слайд №13).

2) Работа по учебнику

А) №623(а,б), 625(а,б)

Самостоятельное решение c последующей проверкой. 2 человека работают на доске.

Читаем задание.

Какой из формул удобнее воспользоваться?

Б) Учащиеся, справившиеся с заданиями раньше всех, решают задачу прикладного характера.

(слайд №14).

Задача

Срочный вклад 1000 рублей, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?

Решение

Количество денег на счёте ежегодно растёт на 10% = 0,1, т.е. увеличивается в 1, 1 раза, а значит, мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой b₁=1000, q =1,1.

Нам нужно узнать b₄.

По формуле b_n=b₁• q^n-1 имеем

b₄=b₁• q³=1 000 · 1,1³ =1331(руб.)

В) Задача из ГИА

V. Итог урока. Достигли ли мы целей урока?

Домашнее задание.

1. Теория § 27.

2. Решить № 625 решить

3. Придумайте или найдите задачи, позволяющие использовать геометрическую прогрессию; оформите их решение в тетрадь.

Рефлексия

Достигли ли мы целей урока?

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

2. Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

3. Назовите формулы n-го члена геометрической прогрессий.

-Вы будущие выпускники. Каким выпускником школы вы хотите быть? Давайте все вместе придумаем качества выпускника, которыми должен обладать выпуcкник 9 класса.

П-(правдивый)

Р- (решительный)

О- (ответственный)

Г- (грамотный)

Р- (рассудительный)

Е-(естествовед)

С-(смелый)

С- (способный)

И- (интеллигентный)

И-(интеллектуальный)

«Прогрессия – движение вперед». Продолжайте ребята двигаться вперед по дороге знаний, и это правильная дорога.  

Спасибо за урок, можете быть свободны!

Приложение 1(таблица для оценки своих знаний и умений)