Урок геометрії в 10 класі за темою: Побудова перерізів многогранників.

Урок геометрії в 10-а класі

Тема: «Побудова перерізу многогранників»

Мета: сформувати вміння учнів застосовувати метод слідів до побудови перерізів многогранників, пояснювати та аналізувати етапи побудови перерізу многогранника; висловлювати власне ставлення щодо правильності розв’язування задач.

Тип: засвоєння нових знань, формування вмінь.

І.Організаційний етап.

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку

Один з учнів зачитує нову тему та визначає нові терміни.

Протягом декількох уроків ми приводили до системи свої знання по темі «Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них». Оглянули основні способи задавання прямих та площин в просторі та дали описи деяких просторових фігур (многогранники та тіла обертання).

Аксіоми стереометрії – це той фундамент, на якому будується теорія геометрії в просторі. Зображення многогранників та їх перерізів допоможе нам в розв'язанні багатьох прикладних задач, можливо пов'язаних з вашою майбутньою професією.

ІІІ. Мотивація

Чи можна дати відповідь на це питання одразу?

ІV. Актуалізація опорних знань

„Мозковий штурм”

(Учні користуються опорними конспектами [1]. За правильну відповідь всі члени групи отримують по 1 балу).

1. Як в просторі можна задати пряму?

(Двома точками або двома площинами, що мають спільну точку).

1. Яким чином в просторі задається площина?

(Трьома точками, що не лежать на одній прямій; прямою і точкою, що не належить їй; двома прямими, що перетинаються; двома паралельними прямими).

1. Які найпростіші правила застосовуються при зображенні просторових фігур?

(Площини на малюнках зображають іноді у вигляді паралелограма, але

частіше у вигляді довільної області; паралельні прямі (відрізки) на малюнках зображають паралельними відрізками; середина відрізка зображається як середина його зображення).

1. Знайдіть відповідність між зображеннями многогранників та їх описами.

( Згадаємо описи деяких многогранників, тому, що сьогодні на уроці вони

будуть основними об’єктами наших досліджень) [2].

V. Розкриття змісту теми уроку

Міні-лекція

Учні слухають вчителя, слідкують за викладанням інформації за допомогою опорних конспектів і не роблять ніяких записів [3].

Після перегляду задач учні записують в опорному конспекті етапи побудови перерізу в символьній формі. (За правильно записаний план побудови відповідь всі члени групи отримують по 2 бали за кожну задачу).

VІ. Набуття вмінь застосовувати нові знання

Робота в групах («Ми – одна команда»)

Кожній групі потрібно розв'язати задачу на побудову перерізу многогранника. Лідер керує процесом. Учитель, якщо потрібно консультує учнів. Захист розв'язування відбувається біля дошки одним із членів групи. За виконання завдання кожний учасник групи отримує 5 балів. [4]

VІІ. Підведення підсумків уроку

Підведемо підсумки.

Запитання до учнів:

1. Що ми робили сьогодні на уроці?

2. Що, на вашу, думку було головним?

3. А який момент в уроці, на ваш погляд, був найцікавіший?

4. Де ми можемо застосовувати набуті знання на практиці?

Рефлексія результатів («Знайди помилку»).

Задача. Учень намалював переріз тетраедра площиною, причому на малюнку а) точка Q – в грані АВС, на малюнку б) точка К – в грані РАС, на малюнку в) точка К – в грані РАС, точка L – в грані РВС, на малюнку г) точка К – в грані РАВ, точка L – в грані РАС, точка М – в грані РВС. Чи є помилки на малюнках?

Учням пропонується до задачі таблиця [5]. За виконання завдання кожний учень групи отримує по 1 балу.

VІІ. Домашнє завдання

Опрацювати опорний конспект, додаткову інформацію [6], задачі [7].

ДОДАТОК 1

Способи задання прямих в просторі

Способи задання площин в просторі

ДОДАТОК 2

Многогранники

Куб – це многогранник, у якого шість граней і всі вони квадрати.

Паралелепіпед – це многогранник, у якого шість граней і всі вони паралелограми. (І означення)

Прямокутний паралелепіпед – це многогранник, у якого всі грані – прямокутники.

n-кутна призма – це многогранник з n+2 гранями, з яких дві, які називаються основами, – рівні n-кутники, а інші n граней – паралелограми, які називаються бічними гранями призми.

Паралелепіпед – це призма, в основі якої – паралелограм.

(ІІ означення)

Правильна n-кутна призма – це така призма, у якої всі бічні грані – прямокутники, а кожна основа – правильний n-кутник.

Піраміда – многогранник, у якого одна грань многокутник, а інші – трикутники з спільною вершиною. Перша грань називається основою піраміди, решта – бічними гранями, їх спільна вершина називається вершиною піраміди. Сторони граней піраміди називаються її ребрами.

Тетраедр – трикутна піраміда (чотиригранник).

Правильна піраміда – це піраміда, основа якої правильний многокутник, а всі бічні ребра рівні.

Правильний тетраедр – це тетраедр, у якого всі грані – правильні трикутники.

ДОДАТОК 3

Опорний конспект

Перерізом опуклого многогранника є опуклий плоский многокутник. Його вершини є точками перетину січної площини з ребрами многогранника, а сторони – відрізками, по яких січна площина перетинає грані многогранника.

Діагональний переріз – це переріз призми площиною, яка проходить через два бічних ребра, які не належать одній грані.

Площина перерізу має спільну пряму з площиною кожної грані багатогранника.

Слід січної площини – це пряма, по якій січна площина перетинає площину якої-небудь грані багатогранника. Січна площина має стільки слідів, скільки площин граней вона перетинає.

Суть методу слідів полягає в:

1. побудові ліній перетину (слідів) січної площини з площиною грані;

2. знаходження точок перетину січної площини з ребрами багатогранника;

3. побудова перерізу.

Задача. Побудуйте переріз трикутної призми площиною, що проходить через точки М, К, і N.

1. Знайдемо точку Х перетину прямої NK і прямої АВ.

2. ХМ – слід (МNК) на (АВВ₁). Знайдемо точку L перетину прямої ХМ і ребра ВВ₁.

3. Знайдемо точку Y перетину прямої МХ і прямої АА.

4. YN – слід (МNК) на ( АСС). Знайдемо точку F перетину прямої YN і ребра АС.

5. NКLMF – шуканий переріз.

Побудова перерізу піраміди зводиться до побудови прямих, які є прямими перетину даної січної площини з площинами січних граней піраміди.

Діагональний переріз піраміди – це переріз піраміди площиною, яка проходить через два несусідніх ребра піраміди.

Задача. Дано піраміду SABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною МNК, де точка М AS, точка К SB і N SD.

1. МК – слід (МNК) на (SAB). Знайдемо точку Х перетину прямої МK і прямої АВ.

2. МN – слід (МNК) на (SAD). Знайдемо точку Y перетину прямої МN і прямої АD.

3. YХ – слід (МNК) на ( АВС). Точки Р і L – точки перетину XY з ребрами DC i CB.

4. LKMNP – шуканий переріз.

ДОДАТОК 4

Задачі на побудову перерізів многогранників методом слідів

1. В паралелепіпеді АBCDABCD точка К належить ребру АА, точка F – ребру DD, точка Р – ребру СС. Побудуйте переріз паралелепіпеда, який проходить через точки К, Р і F.

1. У призмі АBCABC точка Р належить ребру АВ, точка F – ребру СС. Побудуйте переріз призми, що проходить через точки К, Р і F.

1. У чотирикутній піраміді SABCD точка М належить ребру SС, точка Р – ребру SD, точка К – ребру АВ. Побудуйте переріз піраміди, який проходить через точки М, Р і К.

1. У чотирикутній піраміді SABCD точка М належить ребру SА, точка Р – ребру SС, точка К – ребру SD. Побудуйте переріз піраміди, який проходить через точки М, Р і К.

ДОДАТОК 5

Знайди помилку

ДОДАТОК 6

Метод слідів (для тих, хто хоче знати більше)

Слідом називають пряму перетину площини перерізу і площини якої-небудь грані многогранника. Щоб побудувати слід, достатньо знати дві його точки, тобто точки, які одночасно лежать в січній площині і площині даної грані. Якщо слід побудований, то відрізок (PQ), по якому він перетинається з площиною , дає сторону перетину, яка лежить у цій площині. Але ще важливіше те, що кожна точка його перетину зі стороною грані або її продовженням лежить і в площині іншої грані; наприклад, точка P (на мал. 1) лежить в бічній грані ABS піраміди, точка U - в площині грані BCS і т.д.

Мал. 1

Оскільки ці точки, як і весь слід, лежать також і в площині перетину, ми отримуємо принаймні одну точку перетину в кожній з граней, суміжних з . Використовуючи інші відомі з умови або попередньої побудови точки перетину, які лежать в цих гранях, будуємо слід у новій грані і т. д.

Цих міркувань досить для побудови перетину піраміди або призми по двох точках в площині основи і одній на бічній поверхні. У випадку призм можна додатково використовувати і те, що сторони перерізу, які належать основам, паралельні.

Але не завжди дані завдання дозволяють відразу провести слід в площині основи піраміди або призми. В цьому випадку побудова сліду, точніше, будь-яких двох його точок, стає першим кроком рішення. Основний елементом цієї побудови - знаходження точки, в якій пряма перетинає площину.

Розглянемо приклад (мал.2), в якому потрібно побудувати лінію перетину площини, що проходить через точки K, L, M, задані на бічній поверхні призми, з її основою. Спочатку будуємо проекції K', L', M' даних точок на площину основи (в даному випадку взяті паралельні проекції вздовж бічних ребер призми). Будь-які дві з точок K, L, M лежать в одній площині з своїми проекціями. Значить, пряма, що сполучає ці точки, перетинається в просторі, з прямою, яка з’єднує їх проекції,(або названі прямі паралельні). На малюнку 2 побудовані точки P і Q перетину прямих KL і K'L', LM і L'M'. Очевидно, що ці точки і є точками перетину прямих KL і LM з площиною основи призми, а пряма PQ - слід площини перетину KLM на площині основи.

Легко зрозуміти, що якщо одна з прямих KL і LM виявиться паралельною своїй проекції, то і слід буде паралельний цій прямій.

Практично так само вирішуються аналогічні завдання для пірамід, тільки замість паралельної проекції треба розглянути центральну (з центром у вершині піраміди). Порівняєте побудови на малюнках 2 і 3.

Тепер можна сформулювати алгоритм побудови перетинів призм і пірамід трьома точками (методом слідів):

• Крок 1. Будуємо проекції K', L', M' даних точок K, L, M на площину основи (паралельно бічним ребрам у разі призм та з вершини піраміди як з центру проекції у разі пірамід); цю площину називають основною. Якщо якісь з даних точок належать основній площині, їх проекції, звичайно, будувати не треба.

• Крок 2. Перетинаючи прямі (KL, LM, MK), що сполучають дані точки, з їх проекціями, знаходимо точки перетину цих прямих з основною площиною. Пряма, що проходить через них є слідом перетину на основі. Щоб її провести, досить знайти хоч би дві її точки.

• Крок 3. Знаходимо точки перетину сліду із сторонами основи або їх продовженнями. Використовуючи ці точки і ті з даних точок, які лежать на бічній поверхні многогранника, послідовно знаходимо вершини перетину на бічних ребрах (як показано в прикладі), а у випадку призми і на сторонах другої основи.

У останньому випадку всі задані точки можуть потрапити на основи (мал.4); тоді слід на одній з основ (пряма LM на малюнку) будується безпосередньо, а на іншому проводиться паралельно першому. В результаті отримуємо точки (U і V) на бічних гранях і далі діємо, як вище.

Мал. 4

Відмітимо, що якщо завдання поставлене «правильно» (математики говорять «коректно»), то ми завжди зуміємо виконати перший крок описаного алгоритму - знайти потрібні проекції даних точок K, L, M на деяку (основну) площину. Зокрема, ці точки можна задавати на певних гранях або ребрах многогранника або, наприклад, на прямій, що сполучає дві задані точки на гранях. При виконанні другого кроку алгоритму дві з трьох прямих KL, LM, MK перетнуть свої проекції і тим самим визначать слід у всіх випадках, окрім одного, коли площина перетину паралельна основі призми або піраміди. Але в цьому випадку можна просто скористатися тим, що, по теоремі про перетин двох паралельних площин третьою, сторони перетину будуть паралельні відповідним сторонам основи.

ДОДАТОК 7

Домашнє завдання

1. Учень намалював переріз куба площиною. Чи є помилки на малюнках?

K L

В С B C

D

B

N

D

B

M

А A

M

L

K

C C

А N D A D

1. У трикутній піраміді ABCD точка М належить ребру AD. Побудуйте переріз піраміди, який проходить через точку М і пряму m, яка належить площині АВС.

1. В призмі АBCDABCD точки К, Р і F належать ребрам ВВ, СС і АА відповідно. Побудуйте переріз призми, який проходить через точки К, Р і F.