Урок Геом.прогр.,9кл

Знаменатель

Формула суммы первых n-членов

Если q=1,

то S_n=nb₁

Свойство

Геометрическая прогрессия

Последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число

b_n≠0 и b_n+1=b_n·q

Формула

n-го члена

b_n=b₁q^n-1

Последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом

Обобщающий урок по теме «Геометрическая прогрессия»

Цели:

Образовательные

- Обобщить знания обучающихся по теме: «Геометрическая прогрессия»; закрепить навыки использования теоретического материала при решении задач; разобрать типичные задания, встречающиеся для подготовки к ГИА.

Развивающая

- Развивать познавательный интерес обучающихся, умение логически мыслить; учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

Воспитательная

Формировать у обучающихся наблюдательность и творческую активность; воспитывать самостоятельность, аккуратность, четкость в действиях.

I.Организационный момент (У. приветствует детей)

- Я бы хотела начать урок цитатой Георга Гегеля(Слайд 1)

Не в количестве знаний заключается

образование, а в полном понимании

и искусном применении всего того,

что знаешь.

Георг Гегель

- Эти слова, сказанные немецким философом несколько столетий назад, актуальны и сегодня.

II. Актуализация знаний.

(Слайд 2)

- На слайде записаны несколько последовательностей:

1) 2;-6;18;-54;…;

2) 625;125;25;5;…;

3)-1;;…;

- Какую закономерность вы заметили?

(1. Каждый член последовательностиначиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на -3

2. Каждый член последовательностиначиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на

3. Каждый член последовательностиначиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на - ).

- Как называются такие последовательности? (геометр.прогрессия)

- Сформулируйте тему нашего урока.(Геометрическая прогрессия)

– Откройте тетради, запишите число –…..классная работа. (слайд 3)

тему урока «Геометрическая прогрессия»

- Какие поставить цели и решить задачи нам предстоит?

(Повторить и закрепить формулы геометрической прогрессии, учиться применять формулы при решении задач)

- Что вы знаете о геометрической прогрессии?

(Последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число)

- Что умеете находить?

(n-ый член, знаменатель, сумму первых n-членов геометрической прогрессии)

ΙΙΙ. Работа в группах

Так как вы повторяли теоретический материал по теме «Геометрическая прогрессия», то предлагаю вам проверить знания теории по данной теме, выполнив следующую работу в группе:

(слайд 4)

- составить кластер,

- выбрать верные утверждения в тесте,

- ответить на вопрос «истинно» или «ложно» данное утверждение, аргументировав ответ.

(слайд 4)

- Группа, которая составляла кластер размещайте его на доске.

- Группа, которая выполняла тест, какое ключевое слово у вас получилось?

- И группы, которые отвечали на вопрос«Истинно или ложно?»

Какие утверждения у вас верны?

С какими вы не согласны и что нужно исправить?

1. Применение геометрической прогрессии при решении текстовых задач

-Повторив определение и формулы геометрической прогрессии можно решить много интересных задач. У вас на партах карточки с условием. Решаете в парах. Решение защищаете у доски ( записывают его маркером на А4)

(Работа в парах . Раздаются каждой паре карточки с задачами.

Ученики решают задачи в тетради, а затем у доски защищают их ( объясняют ход решения).

(слайд 6)

1. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 5 лет, если первоначальное количество древесины равно 20 000м³? (16105,1 м³)

Решение:первоначальное количество древесины равно 20 000м³. Через год кол-во древесины возрастет на 10% и составит 110% от 20 000м³, т.е. будет равно

20 000·1,1 м³. Через 2 года кол-во древесины составит

(20 000·1,1)·1,1=20 000·1,1²м³. Через 3 года 20 000·1,1³ м³ и т.д..Т.О. мы имеем дело с геометрической прогрессией: 20 000;20 000·1,1; 20 000·1,1³; …; Поэтому количество древесины через 5 лет будет равно шестому члену этой прогрессии, т.е. составит 20 000·1,1⁵=16105,1 м³.

2. За­да­ние 13 № 99586. Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

Ре­ше­ние.

Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300%, то есть каждый год составляла 400% . Это в 4 раза больше, по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Мы имеем дело с геометрической прогрессией:в₁= 5000;q=4; Найти в₄.

 Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти четвертый член геометрической прогрессии. За 2003 год Буб­ли­ков за­ра­бо­тал

 руб­лей.

Ответ: 320000.

(слайд 7)

1. Клиент взял в банке кредит в размере 500 000 рублей на 3 года под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока? (864000)

Решение: Через год долг перед банком возрастет на 20% и составит 120% от

500 000р., т.е. будет равным 500 000·1,2. Через 2 года долг станет 500 000·1,2^2. Через 3 года должен вернуть банку 500 000·1,2³=864 000р..

1. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что ее члены с нечетными номерами положительны, а с четными отрицательны.

1. Геометрическая прогрессия в ОГЭ.

Скоро сдача государственных экзаменов. Вы уже готовитесь и обратили внимание на то, что геометрическая прогрессия есть в тренировочных вариантах ОГЭ. Сейчас вы выполните самостоятельную работу, задания которой взяты из открытого банка и сборников для подготовки к ОГЭ.

- подпишите бланки ответов и укажите вариант

- решаете в тетрадях, ответ вписываете в бланк ответов

- Собрать бланки ответов

(слайд8) - Проверим с.р.

В-1

Критерии оценивания:

3 задания – « 3 »

4 задания – « 4 »

5-6 заданий – « 5 »

– Итак, сегодня на уроке мы:

1. Повторили… (опред.Геом. Прогр., формулы н-го члена, знаменателя, формулы суммы первых н-членов геом.пр.)

2. Узнали…(что формулу н го члена можно применять при банковских расчетах, в лесничестве )

3. Закрепили… (знание формул и практическое их применение)

– Что на уроке понравилось? (работать в группе, в паре, решать задачи на банковские расчеты)

– С какими трудностями столкнулись? (Считать сложные проценты)

– Где в жизни могут пригодиться знания по данной теме?(работая в банке, лесничестве, обращаясь в банк за кредитом или делая вклад)

- д/з №656,№701,В-19(№6) из сборника подготовки к ОГЭ.

– Хочется закончить урок лозунгом многих математиков XVII века: 

( Слайд9 )

«Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет!»

– Спасибо за урок.

Выполните тест

1 вопрос.
Определение геометрической прогрессии.
А) Последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Б) Последовательность чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, умноженному с одним и тем же числом.

В) Последовательность чисел, каждый член которой, равен предыдущему члену сложенному с  одним и тем же числом.

2 вопрос.
Определение знаменателя геометрической прогрессии:

К) частное между любыми членами геометрической прогрессии.

Л) частное между любым членом геометрической прогрессии, начиная со второго, и предыдущим членом.

М) частное между любым членом геометрической прогрессии, начиная со второго, и последующим членом.
3 вопрос.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Р)

С)

Т)

4 вопрос.
Знаменатель геометрической прогрессии:

А)

 
В)
С)

5 вопрос.
Сумма n- первых членов геометрической прогрессии:

Ж)

З)

Й)

«Истинно или ложно?»

Верны ли данные утверждения (ответ аргументируйте):

1.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2.В формуле , q называется разностью геометрической прогрессии.

3.

4.Формула n-го члена геометрической прогрессии

5.Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии равна

«Истинно или ложно?»

Верны ли данные утверждения (ответ аргументируйте):

1.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2.В формуле , q называется разностью геометрической прогрессии.

3.

4.Формула n-го члена геометрической прогрессии

5.Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии равна

«Истинно или ложно?»

Верны ли данные утверждения (ответ аргументируйте):

1.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2.В формуле , q называется разностью геометрической прогрессии.

3.

4.Формула n-го члена геометрической прогрессии

5.Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии равна

Задачи

1. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 5 лет, если первоначальное количество древесины равно 20 000м³?
   
   
   2. Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

3. Клиент взял в банке кредит в размере 500 000 рублей на 4 года под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что ее члены с нечетными номерами положительны, а с четными отрицательны.

1. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 5 лет, если первоначальное количество древесины равно 20 000м³?
   
   
   2. Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

3. Клиент взял в банке кредит в размере 500 000 рублей на 4 года под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что ее члены с нечетными номерами положительны, а с четными отрицательны.

1. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 5 лет, если первоначальное количество древесины равно 20 000м³?


2. Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

3. Клиент взял в банке кредит в размере 500 000 рублей на 4 года под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что ее члены с нечетными номерами положительны, а с четными отрицательны.

В - 1

1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии: …; 1; х; 9; - 27; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

2. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями b₁= - 2, b_n+1=3b_n.

Найдите b₆.

3.(а_п) - геометрическая прогрессия.а₄= - 1, а₇=27. Найдите знаменатель этой прогрессии.

4. (а_п) -геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен -3, а₁= -3.

Найдите сумму первых четырех ее членов.

5. Дана геометрическая прогрессия: ;1;4;… .Найдите произведение первых пяти ее членов.

6. Биз­не­смен Кор­жов по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1 400 000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей со­ста­ви­ла при­быль Кор­жо­ва за 2004 год?

В - 1

1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии: …; 1; х; 9; - 27; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

2. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями b₁= - 2, b_n+1=3b_n.

Найдите b₆.

3.(а_п) - геометрическая прогрессия.а₄= - 1, а₇=27. Найдите знаменатель этой прогрессии.

4. (а_п) -геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен -3, а₁= -3.

Найдите сумму первых четырех ее членов.

5. Дана геометрическая прогрессия: ;1;4;… .Найдите произведение первых пяти ее членов.

6. Биз­не­смен Кор­жов по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1 400 000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей со­ста­ви­ла при­быль Кор­жо­ва за 2004 год?

В-2

1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической 
   прогрессии: …; 3,5; x; 14; − 28; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

2. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b₁= −1, b_п+1=2b_п. Найдитеb₇.

3. (b_п) - геометрическая прогрессия. b₅=4, b₉=. Найдите знаменатель этой прогрессии.

4. Геометрическая прогрессия задана условиями b₁= 5, b_n+1=3b_n.

Найдите сумму первых пяти её членов.

5. Дана геометрическая прогрессия: -9;3;-1;… .Найдите произведение первых пяти ее членов.

1. Биз­не­смен Пря­ниш­ни­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1300000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Пря­ниш­ни­ков за 2004 год?

В-2

1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической 
   прогрессии: …; 3,5; x; 14; − 28; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

2. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b₁= −1, b_п+1=2b_п. Найдитеb₇.

3. (b_п) - геометрическая прогрессия. b₅=4, b₉=. Найдите знаменатель этой прогрессии.

4. Геометрическая прогрессия задана условиями b₁= 5, b_n+1=3b_n.

Найдите сумму первых пяти её членов.

5. Дана геометрическая прогрессия: -9;3;-1;… .Найдите произведение первых пяти ее членов.

1. Биз­не­смен Пря­ниш­ни­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1300000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Пря­ниш­ни­ков за 2004 год?

В - 3

1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической 
   прогрессии: …; 48; x; 3; − 0,75; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

2. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b₁= 4, b_п+1=2b_п. Найдитеb₇.

3. (b_п) - геометрическая прогрессия.b₅=15, b₈= -1875.Найдите знаменатель этой прогрессии.

4. Геометрическая прогрессия задана условиями b₁= 64, b_n+1=0,5b_n.

Найдите сумму первых семи её членов.

5. Дана геометрическая прогрессия: ;1;4;… .Найдите произведение первых пяти ее членов.

6. Биз­не­смен Плюш­кин по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1000000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 7% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Плюш­кин за 2003 год?

В - 3

1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической 
   прогрессии: …; 48; x; 3; − 0,75; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

2. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b₁= 4, b_п+1=2b_п. Найдитеb₇.

3. (b_п) - геометрическая прогрессия.b₅=15, b₈= -1875.Найдите знаменатель этой прогрессии.

4. Геометрическая прогрессия задана условиями b₁= 64, b_n+1=0,5b_n.

Найдите сумму первых семи её членов.

5. Дана геометрическая прогрессия: ;1;4;… .Найдите произведение первых пяти ее членов.

6. Биз­не­смен Плюш­кин по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1000000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 7% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Плюш­кин за 2003 год?

Не в количестве знаний заключается

образование, а в полном понимании

и искусном применении всего того,

что знаешь.

• Георг Гегель

• 1) 2;-6;18;-54;…;
• 2) 625;125;25;5;…;
• 3)-1; ;…;

• ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

• Проверка знаний формул геометрической прогрессии

1. Выполнить тест 2. «Истинно или ложно» 3. Составить кластер

• «Истинно или ложно?»

• Верны ли данные утверждения (ответ аргументируйте): 1.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2.В формуле , q называется разностью геометрической прогрессии. 3. 4.Формула n-го члена геометрической прогрессии 5.Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии равна

• Применение геометрической прогрессии при решении задач

• 1. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 5 лет, если первоначальное количество древесины равно 20 000м 3 ? 2. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

• 3. Клиент взял в банке кредит в размере 500 000 рублей на 4 года под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

• 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что ее члены с нечетными номерами положительны, а с четными отрицательны.

• Самостоятельная работа

• В - 1 1. Выписаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии: …; 1; х; 9; - 27; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 2. Геометрическая прогрессия (b n ) задана условиями b 1 = - 2, b n+1 =3b n . Найдите b 6 . 3. ( а п ) - геометрическая прогрессия. а 4 = - 1, а 7 =27. Найдите знаменатель этой прогрессии. 4. ( а п ) -геометрическая прогрессия, q= -3, а 1 = -3. Найдите сумму первых четырех ее членов. 5. Дана геометрическая прогрессия: ;1;4;… .Найдите произведение первых пяти ее членов. 6. Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коржова за 2004 год?

№

1

задания

Ответ

Ответ

  - 3

2

В - 1

- 7 

В - 2

Ответ

  - 486

4

3

  - 12

  - 64

В - 3

5

  256

  60

  - 3

6

- ИЛИ

  605

  1024

  -1

  2 903 040

- 5

  127

  2 695 680

  1024

  1 225 043

• Критерии оценивания: 3 задания – « 3 » 4 задания – « 4 » 5-6 заданий – « 5 »

• Д/з: № 701,№ 656,

В-19(№6)-из сборника для подготовки к ОГЭ.

• «Двигайтесь вперед,

и вера в правильность результатов к вам придет!»