УРОК-ПРЕЗЕНТАЦИЯ на тему: "Определённый интеграл. Вычисление площадей криволинейных фигур"

Демьянова

Светлана Васильевна

УРОК - ПРЕЗЕНТАЦИЯ «Определённый интеграл. Вычисление площади криволинейной трапеции»

Цель занятия:

Ввести понятие определённого интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница, используя знания о первообразной и правила её вычисления

Задачи занятия:

Задачи занятия:

Задачи занятия:

Задачи занятия:

Задачи занятия:

1. Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Обобщить и систематизировать знания, проверить усвоение изученного материала

3. Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

1. Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Обобщить и систематизировать знания, проверить усвоение изученного материала

3. Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

1. Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Обобщить и систематизировать знания, проверить усвоение изученного материала

3. Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

1. Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Обобщить и систематизировать знания, проверить усвоение изученного материала

3. Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

1. Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Обобщить и систематизировать знания, проверить усвоение изученного материала

3. Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

СОДЕРЖАНИЕ

• Повторим. Повторение ранее пройденного материала.
• Новое. Понятие об криволинейной трапеции. Определённый интеграл
• Вычисление площадей с помощью интегралов
• Пятиминутка.
• Устная работа.
• Практикум.
• Программируемый контроль.
• Домашнее задание.
• Список использованных источников.

ПОВТОРИМ!

1 . Функция F (х) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех Х из этого промежутка выполняется равенство:

Другими словами нахождение первообразной – это обратное действие нахождения производной.

2 . F(x)+C , где С произвольная постоянная (любое число), называется семейством первообразных.

3 . Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется неопределённым интегралом и обозначается:

Таблица первообразных

Правила нахождения первообразных

Найди ошибку в вычислении первообразных

Найдите первообразную функции

Понятие о криволинейной трапеции. Определённый интеграл

Фигура, ограниченная неотрицательной на отрезке [a;b] функцией y=f(x) и прямыми у=0 , x=a , x=b называется

криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

Где F(x) – первообразная функции y=f(x)

Вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции f(x) , то есть к интегрированию функции f(x).

Определение

Разность F(b)–F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают:

Подынтегральная функция

Верхний предел интегрирования

Нижний предел интегрирования

Подынтегральное выражение

Формула Ньютона - Лейбница

Таким образом:

Исаак Ньютон

1642-1727

Готфрид Лейбниц

1646-1716 гг.

Геометрический смысл интеграла

Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции  f ( x ) по [ a ,  b ] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [ a ,  b ], ограниченной сверху графиком функции  y  =  f ( x ).

Пример

Вычислить интеграл, если график функции y=f(x) изображён на рисунке

Проверь себя!

Физический смысл интеграла

При прямолинейном движении перемещение S численно равно определённому интегралу зависимости скорости V от времени t

Пример

Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v=3t 2 -4t+1 , (время измеряется в секундах, скорость – в см/с). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения ( t=0 )?

Вычисление площадей с помощью интегралов

1. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком функции y=f(x) , снизу осью ОХ и по бокам отрезком [a;b]

2 . Фигура, ограниченная сверху только графиком функции y=f(x) и снизу осью ОХ

Точки а и b находим из уравнения f(x) =0

3. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью ОХ, снизу графиком функции y=f(x) и по бокам отрезком [a;b]

4 . Фигура, ограниченная сверху двумя графиками функций y=f(x) и g(x), снизу осью ОХ и по бокам отрезком [a;b]

Точку С находим из уравнения f(x)=g(x)

5 . Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x) , снизу графиком функции y=g(x)

Точки a и b находим из уравнения f(x)=g(x )

Пятиминутка!

А для меня урок всегда праздник!

Как я устал!!!

Всё учишь и учишь

Устная работа

Выразите, с помощью интеграла площади фигур, изображённых на рисунке

ПРАКТИКУМ

Задание №1

Найти площадь криволинейной трапеции,

изображённой на рисунках

1)

Решение

Используя формулу:

Получаем:

Решение

2)

3)

Решение

4)

Решение

Решение

5)

6)

находится в I четверти

Решение

Решение

7)

Программируемый контроль

ЗАДАНИЕ №1

Задания

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Ответы

1 Вариант

y=x 2 +2, y=x+2

2 Вариант

y= -x 2 +4, y= -x+4

y=sin 2x, y=0, x=0, x= π/4

1

7

2

y=cos 2x, y=0,

x= - π / 4, x= π /4

y= -2/x, y=2,

x= -4, x= -1

1/6

y= -1/x, y=1,

x= -3, x= -1

2

3

4

6-4ln2

2/3

-1

2-ln3

1/3

1/2

1

2ln2

2-3ln2

Правильные ответы

1 Вариант : 2.3,1

2 Вариант: 2,4,2

ЗАДАНИЕ №2

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (схематично изобразив графики функций).

Ответ: 1) 4,5 2) 9/8 3) 4,5 4)1/3

ЗАДАНИЕ № 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью ОХ, если

Контрольные вопросы:

• Какая функция называется первообразной для функции f(x) ?
• Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x) ?
• Дайте определение неопределённого интеграла.
• Как проверить результат Какое действие называется интегрированием?
• интегрирования?
• Дайте определение определённого интеграла.
• Сформулируйте теорему Ньютона-Лейбница.
• Перечислите свойства интеграла.
• Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью интеграла (составьте словесный алгоритм)?
• Перечислите области применения интеграла, назовите величины, которые можно вычислить с помощью интеграла .

Домашнее задание

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, предварительно сделав рисунок

Подведём итоги

• Познакомились с понятиями криволинейной трапеции и определённого интеграла.
• Научились вычислять по формуле Ньютона-Лейбница площадь криволинейной трапеции, используя знания о первообразной и правила её вычисления.
• Закрепили изученное в ходе выполнения практических заданий.
• Проверили усвоение изученного материала

Список используемых источников

• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. /М.: Просвещение, 2014г. – 463с.
• Ткачёва М.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 11 класс. (базовый и профильный уровни) . / М.: Просвещение, 2010 . -  64 с.
• Федорова Н.Е., Ткачева М.В. Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Книга для учителя.  / М.: Просвещение, 2009 - 159 с.
• Федорова Н.Е., Ткачева М.В. Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации. 10-11 классы. / 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 2017 - 172 с.
• Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. (Базовый и угл. уровни) . / 8-е изд. - М.: Просвещение, 2017. - 208с. 

Список использованных источников иллюстраций

• https://en.ppt-online.org
• http://900igr.net
• https://myslide.ru
• http://uslide.ru/matematika