Урок-семинар по теме "Элементы теории вероятностей"

Тема. Элементы теории вероятностей

Цель:

• Организация повторения основных теоретических фактов.

• Отработка наиболее распространённых приёмов решения задач по теории вероятностей.

• Развитие познавательного интереса учащихся, умение работать с дополнительной литературой.

• Воспитание ответственности и самостоятельности при подготовке к семинару.

Задачи урока:

Образовательные:

Проверка умений учащихся решать задачи по теории вероятностей.

Моделирование реальных ситуаций на языке алгебры.

Исследование построенных моделей с использованием аппарата алгебры.

Применение полученных знаний на практике.

Развивающие:

Развитие логического мышления, умения делать выводы.

Развитие умения применять информационные технологии для оформления работ и решения задач с современными требованиями.

Воспитательные:

Воспитание информационной культуры.

Стимулирование познавательной деятельности постановкой проблемных вопросов и заданий

Воспитание умения работать самостоятельно.

Тип урока: семинар-практикум

Комплексно- методическое обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор, презентации

Методы обучения:

• Объяснительно- иллюстративный

• Репродуктивный

• Частично-поисковый

• Проблемный

План проведения урока- семинара.

1. Вступительное слово учителя математики.

2. Выступление учащихся от каждой группы.

3. Самостоятельная работа.

4. Подведение итогов урока- семинара.

Подготовительный этап

За две недели сообщается учащимся тема семинара, вопросы семинара.

Тема. Элементы теории вероятностей

Вопросы:

1. Формула классической вероятности. Решение задач.

2. Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей. Решение задач.

3. Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей. Решение задач.

4. Сложение и умножение вероятностей. Решение задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни / [ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012. – 430с.

2. Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – 2-е изд., доп– М.: МЦНМО, 2013. – 48 с.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистики: учебно-методическое пособие / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 32 с.

4. Рязановский А.Р. ОГЭ(ГИА-9). Математика. Основной государственный экзамен. Теория вероятностей и элементы статистики. / А.Р.Рязановский, Д.Г. Мухин. – М : Издательство «Экзамен», 2015. – 47с.

5. www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2017 (открытый банк заданий).

6. www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

7. http://eek.diary.ru/ – сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.

8. http://reshuege.ru – Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».

Памятки

Как готовиться к семинару

1. Внимательно прочитай вопросы к семинару; ознакомься со списком литературы.

2. Не откладывай поиск литературы и подготовку к семинару на последние дни.

3. Изучи указанную литературу и определи основные источники по каждому вопросу. Сделай необходимые выписки, не забудь отметить автора, название, год издания, страницу.

4. При выявлении новых незнакомых терминов найди в словарях их значение.

5. Просматривая периодическую печать, делай вырезки по теме семинара.

6. В случае возникновения затруднений обратись за консультацией к учителю.

Как готовить сообщения

Сообщение – краткое выступление перед одноклассниками по небольшому учебному вопросу.

1.     Выберите (уясните) тему сообщения.

2.     Составьте план изучения темы.

3.     Найдите источники для подготовки сообщения. Наиболее достоверными являются первоисточники и научно-популярная литература.

4.     При необходимости сделайте выписки из книг.

5.     Можете написать текст выступления.

6.     Подготовьте выступление по плану и отрепетируйте ваше сообщение.

7.     Во время выступления перед одноклассниками говорите свободно (не зачитывая текст) и понятно.

Назначаются консультации для контроля за подготовкой, разъяснения возникших проблем.

План проведения урока-семинара

1. Вводное слово учителя, формулирование задач, постановка проблемы, знакомство с планом проведения семинара.

2. Выступление учащихся (сообщения по заданным темам).

3. Обсуждение вопросов семинара в процессе беседы.

4. Подведение итогов (анализ сообщений учащихся, оценка выступлений).

Ход урока

1. Оргмомент

Проверка готовности класса к уроку

1. Мотивация и целеполагание

Вступительное слово учителя:

Задания по теории вероятности включены в экзаменационные работы по математике недавно. В содержание среднего образования России вносятся существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включаются теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. Окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жёстких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики. Научиться решать задачи – одна из важнейших целей образования. Овладеть математическими знаниями, позволяющими описывать окружающий нас мир, научиться составлять, анализировать и интерпретировать соответствующие математические модели – наиважнейшая цель математического образования. Помочь хотя бы немного в этом нелёгком труде и призван наш сегодняшний урок.

Предложить учащимся сформулировать цели урока.

1. Выступления учащихся

1-й ученик. Формула классической вероятности. Решение задач.

Основные понятия

Вероятность – есть число, характеризующее возможность наступления события.

Определение. Вероятностью Р события А называют отношение числа m исходов, благоприятных этому событию, к общему числу n исходов Р(A)= .

Задачи

1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.

Решение. Всего исходов n=4+7+9+5=25, благопрятных событию «спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции», m=9. P= Ответ: 0,36.

1. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либом теннисистом из России.

Решение. Так как в чемпионате участвуют 76 теннисистов, то составить пару Анатолию Москвину могут 75 человек (сам с собой он играть не может). Среди 75 человек - 6 спортсменов из России (Анатолий Москвин - седьмой спортсмен из России). Поэтому вероятность того, что Анатолий Москвин будет играть с кем-то из России равна:

P = = 0,08. Ответ: 0,08.

1. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение. n=30 – общее число туристов. m=6 – число мест в вертолете. Событию «турист П. полетит первым рейсом вертолёта» из возможных 30 исходов благоприятствуют только 6. Искомая вероятность равна P=.

1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение. В самолете m=12+18=30 мест, удобных пассажиру В. А всего n=300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру достанется удобное место, равна Р= Ответ. 0,1.

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Пусть n=100 – общее число сумок. m=8 – число некачественных сумок. Интересует событие «купленная сумка окажется качественной». Ему благоприятствуют m=100-8=92 исхода. Искомая вероятность р=

1. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение. n=250 – число всех участников олимпиады. В запасной аудитории m=250-120

2-й ученик. Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей. Решение задач.

Основные понятия

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+ B) = P (A)+ P(B).

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и A равна 1:

Задачи

1. Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6?

Решение. Данный опыт состоит в том, что проведены стрельбы и по ним курсант получил оценку. В этом опыте обозначим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их суммой C = A + B . Из условия задачи следует, что вероятности P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:.

Р (C)= P (A+ B) = P (A) + P (B)= 0,3 +0, 6 =0,9

Ответ: 0,9.

1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что школьнику достался вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – школьнику достался вопрос по теме «Параллелограмм». Т.К. вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, то события А и В несовместные. По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:.

Р (C)= P (A+ B) = P (A) + P (B)= 0,2 +0,15=0,35. Ответ: 0,35.

Основные понятия

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть Р(A+ B) = P(A) - P(B) = P(AB).

Частным случаем приведенной формулы является формула сложения вероятностей для несовместных событий, так как их совместное наступление есть невозможное событие и P(AB)= 0 .

Для случая трех совместных событий формула имеет вид:

Р(A+ B+ C)= P( A)+ P( B)+ P( C) - P (АB) - P( AC) - P( BC) + P( ABС).

Задачи

1. Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков – 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Решение. Обозначим через А событие «первый блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через В событие «второй блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через АВ событие «оба блока работают безотказно в течение определенного промежутка времени». Событие С «прибор работает безотказно в течение определенного промежутка времени» является суммой событий А и В: C = A + B . Из условия задачи известны вероятности P(A) = 0,9 , P(B) = 0,8 и P(AB) = 0,75 . По формуле сложения вероятностей имеем:

Р( C)= P (A+ B)= P( A)+ P( B) - P( AB)= 0,9+ 0,8 - 0, 75= 0,95.

Ответ: 0,95

1. Школьнику надо сдать зачет по математике. В каждом билете – по два вопроса. Всего 25 билетов. Из них 5 билетов школьник вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хотя бы один вопрос выучил, причем в 18 билетах школьник выучил первый вопрос и в 15 билетах – второй вопрос. Школьник может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова вероятность того, что школьник сдаст зачет, если он первый тянет билет?

Решение. Обозначим через А событие «школьнику достанется билет, первый вопрос которого он знает», через В событие «школьнику достанется билет, второй вопрос которого он знает», тогда событие A + B означает, что «школьник знает хотя бы один вопрос из 20». Надо определить P(AB) , где событие AB означает, что «школьник ответит на 2 вопроса билета». Событию AB благоприятствуют 20 вопросов из 25, поэтому P(A+B)= . Так как из условия задачи имеем вероятности P(A)= и P (B)= , то из формулы сложения вероятностей получаем

3-й ученик. 3. Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей. Решение задач.

Основные понятия

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из n попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть

Задачи

1. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Чему равна вероятность того, что:

а) потребитель увидит обе рекламы;

б) потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

Решение. Обозначим через А событие «потребитель увидит рекламу продукта по телевидению», через В событие «потребитель увидит рекламу продукта на рекламном стенде». События А и В независимые.

а) Событие С «потребитель увидит обе рекламы» является произведением событий C=A ·B . Из условия задачи известны вероятности P(A)= 0,04 и P(B)= 0,06 . По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

б) Определим событие D «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Тогда получаем:

Основные понятия

Определение. Условной вероятностью (обозначение P_А (B) или P(B | A) ) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, то есть

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий. Например, для трех событий формула имеет вид

Задачи

1. В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие Б₁состоит в том, что первый шар белый, а событие Б₂ – второй шар белый. Из условия задачи имеем вероятность P (Б₁)= .После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 5 шаров и среди них 1 белый. Тогда получаем P_Б1(Б₂)= . По теореме умножения зависимых событий находим

2. В рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы – женщины, а 6,4% работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение. Переформулируем задачу: какова вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату? Определим событие А – «случайно выбранный работник – женщина», событие В – «случайно выбранный работник имеет высокую заработную плату».

Так как 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в этой рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

1. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа проверочного характера. Взаимопроверка по ответам, записанным на слайде.

1 вариант

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. (0,5)

2. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? (0,225)

3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. (0,91)

2 вариант

1. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». (0,25)

2. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. (0,6)

3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. (0.9975)

1. Задание на дом

Решить работу №28 из рабочей тетради «Я сдам ЕГЭ»

1. Итог урока

Учитель: «Дорогие ребята! Наш семинар подходит к концу, мы благодарим всех выступавших перед нами. А я еще раз хочу обратить ваше внимание на тему нашего семинара «Элементы теории вероятностей». Таким задачам много внимания уделяется в экзаменационных заданиях и решение этих задач вызывает ряд затруднений, поэтому мы, сегодня уделили внимание именно заданиям такого вида.

а) Проанализировать вместе с учащимися работу учеников, указать ошибки, недочёты, отметить положительные моменты.

б) Повторить формулы, используемые в предложенных задачах.

в) Выставить отметки за работу на уроке.

1. Рефлексия

Самым интересным на уроке для меня было…

Я считаю, что прошедший урок был…

На уроке мне понравилось (не понравилось)…