Урок совершенствования умений по теме "Производная функции в задачах ЕГЭ"

Урок совершенствования умений по теме

«Производная в задачах ЕГЭ»

11 класс

Дидактическая цель: развивать у учащихся умения применения теоретических знаний по теме «Производная функции» для решения задач единого государственного экзамена.

Задачи:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Производная функции»,рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Развивающие: способствовать развитию памяти, внимания, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).

Воспитательные: способствовать: формированию у учащихся ответственного отношения к учению; развитию устойчивого интереса к математике; созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, работа в группе.

Продолжительность урока – 90 мин.

Ход урока

1. Организационный момент

1. Мотивации учебной деятельности учащихся. Постановка цели урока

Учитель. Ребята, отгадайте ключевое слово урока:

1) с ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;

3) бывает первой, второй, … ;

4) обозначается штрихом.

Ответ. Производная.

Вопрос. Ребята, а зачем нужна производная?

Вопрос. Где мы встречаемся с производной и используем её?

Вопрос. Можно ли без нее обойтись в математике и не только?(Слайд 2)

Вывод: Производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной необходимо инженерам-технологам, конструкторам, экономистам, физикам, учёным. (Слайд 3)

Учитель. Ребята, всем известно такое высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно. Поэтому тема «Производная» внесена в материалы ЕГЭ, которая представлена в заданиях №7 (1 часть) и №12 (2 часть). Некоторые задания №18 также можно решить с применением производной, но для решения этих задач требуется хорошая математическая подготовка и нестандартное мышление.

- Мы в школьном курсе анализа рассматриваем и решаем посильные задачи. О некоторых из них будет сегодня идти речь.

Учитель. Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока! (Дети формулируют цель).

Ответ. Повторить теоретический материал темы «Производная», рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Учитель. Сегодня у нас есть возможность еще раз повторить, обобщить и систематизировать весь изученный материал по теме «Производная». Запишите тему урока: «Производная в задачах ЕГЭ». (Слайд 1)

Учитель. Я надеюсь, что вы все хорошо знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический, механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функции с помощью производной. А для тех, кто ещё не совсем понял материал этой темы, сегодня может ещё раз разобраться в её основных вопросах. Я уверена, что вы продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности.

III. Актуализация опорных знаний.

Учитель. Давайте проверим, как вы владеете теорией.

1. Фронтальный опрос (Слайд 4)

Вопрос. Что такое производная?

Ответ. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки к точке ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают .

Вопрос. В чем заключается механический и геометрический смыслы производной?

Ответ. Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s = s(t) – закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v(t) = s΄(t).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику у = f (x) в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f΄ (a) выражает угловой коэффициент касательной: k = f΄(a).

Вопрос. Что такое точки экстремума функции?

Ответ. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума.

Вопрос. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума?

Ответ. Если функция у = f (х)имеет экстремум в точке х = х₀, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Вопрос. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции?

Ответ. Пусть функция у = f (х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х₀. Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х₀ выполняется неравенство f΄ (x) х х₀ – неравенство f΄ (х) 0, то х = х₀ – точка минимума функции у = f (х);

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х₀ выполняется неравенство f΄(х) 0, а при х х₀ – неравенство f΄ (х) х = х₀ – точка максимума функции у = f (х);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х₀ знаки производной одинаковы, то в точке х₀ экстремума нет.

Вопрос. Что такое стационарные точки?

Ответ. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю называют стационарными.

Вопрос. Сформулируйте достаточные условия монотонности функции?

Вопрос. Как найти промежутки монотонности функции по графику производной?

Вопрос. Каковы этапы нахождения экстремумов функции?

Вопрос. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

Учитель. Хорошо, ребята! Вы владеете теоретическими знаниями по теме «Производная». Сегодня мы будем учиться применять знания о производной функции для решения задач ЕГЭ.

Учитель. Ведь недаром Аристотель говорил, что «Ум заключается не только в знании, но и умении применять знания на практике».

IV. Решение задач из банка ЕГЭ

1. Решение задач

Задание 1.На рисунке изображён график функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇, х₈. В скольких из этих точек производная функции f (x) отрицательна?(Слайд 5)

Вопрос. Что известно по условию задачи?

Ответ. График функции.

Вопрос. Что требуется найти?

Ответ. В скольких точках производная функции f (x) отрицательна.

Вопрос. Как определить в каких точках производная функции f (x) отрицательна.

Ответ. Производная функции f (x) отрицательна на промежутках убывания функции.

Вопрос. В каких точках производная функции f (x) отрицательна?

Ответ. Производная функции f (x) отрицательна в точках: х₂, х₄, х₆, х₈.

Вопрос. Сколько таких точек?

Ответ. 4 точки.

Вопрос. А как найти количество точек, в которых производная функции f (x) положительна?

Ответ. Производная функции f (x) положительна на промежутках возрастания функции.

Задание 2. На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f (x). На оси абсцисс отмечены шесть точек: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f (x)?(Слайд 6)

Вопрос. Что известно по условию задачи?

Ответ. График производной функции f (x).

Вопрос. Что требуется найти?

Ответ. Количество точек, которые лежат на промежутках возрастания функции f (x)?

Вопрос. Как определить точки, которые лежат на промежутках возрастания функции f (x)?

Ответ. Это точки, в которых производная положительна.

Вопрос. В каких точках производная функции f (x) положительна?

Ответ. Производная функции f (x) положительна в точках: х₁, х₂, х₅, значит эти точки лежат на промежутках возрастания функции f (x).

Вопрос. Сколько таких точек?

Ответ. 3 точки.

Задание 3.На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f (x) в точке x₀. (Слайд 7)

Вопрос. Что известно по условию задачи?

Ответ. График функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀.

Вопрос. Что требуется найти в задаче?

Ответ. Значение производной функции f (x) в точке x₀.

Вопрос. Чему равно значение производной функции f (x) в точке x₀?

Ответ. Тангенсу угла, образованного касательной с положительным направлением оси Ох.

Вопрос. Какая фигура помогает определить тангенс угла?

Ответ. Прямоугольный треугольник.

Вопрос. Что нужно знать, чтобы можно было найти тангенс острого угла прямоугольного треугольника?

Ответ. Отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Вопрос. Как выбирают прямоугольный треугольник, чтобы можно было найти тангенс острого угла?

Ответ. На графике касательной выбирают такую точку, чтобы её координаты были удобны для вычисления?

Вопрос. Чему равен тангенс угла наклона?

Ответ. Тангенс угла наклона равен отношению 12 к 4 и равен 3, значит значение производной функции f (x) в точке x₀ равно 3.

Вопрос. Можно ли решить эту задачу иначе?

Ответ. Можно, составив систему из двух линейных уравнений.

Задание 4.На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f (x) в точке x₀. (Слайд 8)

Вопрос. Что известно по условию задачи?

Ответ. График функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀.

Вопрос. Что требуется найти?

Ответ. Значение производной функции f (x) в точке x₀.

Вопрос. Чему равно значение производной функции f (x) в точке x₀?

Ответ. Тангенсу угла, образованного касательной с положительным направлением оси Ох.

Вопрос. Какой угол образовался между касательной и положительным направлением оси Ох?

Ответ. Тупой.

Вопрос. Как поступают, если угол наклона касательной к графику функции является тупым, т. е. не может быть углом прямоугольного треугольника?

Ответ. Находят тангенс угла, смежного с рассматриваемым углом; определяют тангенс искомого угла, пользуясь формулой приведения tg (180° – α) = – tg α.

Вопрос. Найдите значение производной функции f (x) в точке x₀.

Ответ. Значение производной функции f (x) в точке x₀ равно –1,25.

Вопрос. Можно ли решить задачи 3и 4 другим способом? Если можно, то как?

Ответ. Можно взять на касательной 2 точки и их значение подставить в уравнение касательной. Решить систему, состоящую из двух линейных уравнений.

Вопрос. Что мы тогда найдем?

Ответ. Угловой коэффициент касательной к графику функции f (x).

Вопрос. Как связаны между собой значение производной функции f (x) в точке x₀ и угловой коэффициент касательной?

Ответ. Значение производной функции f (x) в точке x₀ и угловой коэффициент касательной равны.

Вопрос. Решите задание 4 двумя способами и сравните полученные ответы.

Учащиеся. 1 способ. Тангенс угла наклона равен отношению 5 к 4 и ранен 1, 25, но так как угол образованный между касательной и положительным направлением оси Ох – тупой, значит значение производной в точке x₀ = –1,25.

2 способ.

– 2 = – k + b,

–3 = 3k +b.

5 = – 4k.

k = 5 : (– 4).

k = –1, 25.

Учащиеся. Ответы равны.

Задание 5. На рисунке изображён график y = f′(x) − производной функции f (x), определённой на интервале (−9; 8). Найдите точку экстремума функции f (x) на отрезке [−3; 3]. (Слайд 9)

Вопрос. Что известно в задаче?

Ответ. График производной функции f (x), определённой на интервале (−9; 8).

Вопрос. Что требуется найти?

Ответ. Точку экстремума функции f (x) на отрезке [−3; 3].

Вопрос. Что такое точка экстремума?

Ответ. Точка экстремума – это точка максимума или минимума функции.

Вопрос. Как по графику производной функции f (x) отыскать точку экстремума функции f (x) на отрезке [−3; 3].

Ответ. Это точка, в которой производная меняет свой знак.

Вопрос. Чему равно значение точки экстремума?

Ответ. Из графику производной функции f (x) видно, что в точке – 2 производная меняет знак с минуса на плюс, значит точка – 2 и есть точка экстремума.

Задание 6. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (− 9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0. (Слайд 10)

Вопрос. Что известно в задаче?

Ответ. График функции y = f (x), определённой на интервале (− 9; 5).

Вопрос. Что требуется найти?

Ответ. Количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0.

Вопрос. Как определить в каких точках функции y = f (x) производная функции f (x) равна 0?

Ответ. Производная функции f (x) равна 0 в точках максимума и минимума функции.

Вопрос. Определите количество точек?

Ответ. 9 точек.

Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t² + 4t + 27, где x − расстояние от точки отсчёта в метрах, t − время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2 с. (Слайд 11)

Вопрос. Что известно по условию задачи?

Ответ. Закон движения материальной точки.

Вопрос. Каков способ задания функции?

Ответ. Зависимость координаты от времени задана формулой.

Вопрос. Что ещё известно?

Ответ. Момент времени t.

Вопрос. Что нужно найти?

Ответ. Скорость в момент времени t.

Вопрос. Как найти скорость в момент времени t?

Ответ. sˊ(t) = v(t).

Вопрос. Найдите значение скорости в момент времени t.

Ответ. Скорость равна 6 м/с.

2. Выполнение тренажера «Готовимся к ЕГЭ».

Индивидуальное выполнение работы.

3. Групповая работа.

Класс делится на 2 группы, каждая группа работает под руководством ученика, ответственного за данную группу. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за группу (при необходимости у учителя). После выполнения работы

учитель проверяет работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы.

Перед учащимися поставлена проблема:

«Подумайте, можно ли решить некоторые задачи №12 другим способом, без применения производной?» (Слайд 12)

Задания для 1 группы

1) Найдите наибольшее значение функции y = x³−6x²+9x+5 на отрезке [0;3].

2) Найдите наибольшее значение функции y =

Задания для 2 группы

1) Найдите наименьшее значение функции y =e^2x−4e^x+4на отрезке [− 1; 2].

2) Найдите наименьшее значение функции y = .

Учитель. Попытайтесь решить вторую задачу двумя способами.

(Учащиеся защищают своё решение, записывая основные этапы решения задач на доске. Предоставляют два способа решения задачи №2.)

Вопрос. Проанализируйте, какая ошибка была допущена вами в задаче?

Вопрос. Какие теоретические вопросы вам необходимо повторить?

Разрешение проблемы. Вывод, который должны сделать учащиеся:

«Некоторые задачи В12 ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции можно решить без применения производной, опираясь на свойства функций».

4.Тестирование (Слайд 13)

Сайт для тестирования на уроке: http://www.ege-online-test.ru/

Вопрос. Кто не допустил ошибок?

Вопрос. Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?

Вопрос. В каких заданиях допущены ошибки?

Вопрос. Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

VI. Подведение итогов. Рефлексия

Учитель. Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?

Учитель. Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит. (Слайд 14)

Я почувствовал…

Я научился…

У меня получилось …

Я смог…

Я попробую…

Меня удивило, что…

Мне захотелось…

Вопрос. Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

Вопрос. Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (№7, №12).

Учитель. Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей учёбе.

Учитель. Закончить урок мне хотелось бы словами итальянского философа Фомы Аквинского «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника».

Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ!(Слайд 15)

VII. Домашнее задание. Выставление оценок

К следующему уроку вам нужно: 1) повторить теоретический материал по теме «Производная функции»; 2) на сайте «Открытый банк заданий по математике» (http://mathege.ru/) найти прототипы заданий №7 и №12 и решить не менее 10 задач. (Слайд 16)