Движение точки с переменной массой. Уравнение Мещерского

Движение точки с переменной массы. Уравнение Мещерского. План: 1. Примеры к телам движущихся с переменными массами. 2. Закономерности при движение тел с переменными массами. 3. Уравнение Мещерского для тел движущихся с переменными массами.

В Современной технике возникают случаи, когда масса

точки или системы не остаются постоянной в процессе

движения, а изменяется. Так, при полета космических

ракет вследствие выбрасывание продуктов сгорание и

отделение ненужных частей ракет изменения массы

достигают 90-95% общей начальной величины.

Довольно значительно изменяется масса при полете

Современных реактивных самолетов вследствие

расходов топливо при работе двигателей и в ряде других

случаев. Даже в такой области техники, как текстильное

производство, происходят значительное изменения

массы различных веретен, шпуль и рулонов при

современных работы станков и машин.

Даже в такой области техники, как текстильное

производство, происходят значительное

изменения массы различных веретен, шпуль и

рулонов при современных работы станков и

машин.

• Рассмотрим главные особенности, связанные с изменением массы, на примере движения одной точки переменной массы. Точку переменной массы примем за геометрическую точку с конечной массой, непрерывно изменяющейся в процессе движения. В место точки можно рассматривать также тело переменной массы, если оно совершает поступательное движение .

• К точке с переменной массы нельзя непосредственно применить основной закон динамики точки постоянной массы. Дифференциальное уравнения движения точки переменной массы получим, применяя закон независимого действия сил и теорему об изменении количества движения системы. Известно, что действующая на точку сила сообщает ей такое ускорение, которое не зависит от действия других сил. В случае точки переменной массы кроме приложенной к точке силы F действует силы, вызванные отделением от точки частицы массой dM' .

• Считаем, что изменение скорости ϑ точки переменной массы от действия силы F и от изменения массы точки не зависят друг от друга, или общее изменение скорости d ϑ в течении времени d t складывается из изменения скорости d ϑ 1 от действия силы F при постоянной массе точки и изменения скорости d ϑ 2 , вызванного изменением массы точки в отсутствие силы F .

• Имеем точку переменной массы М . От действия силы F скорость точки постоянной массы изменяется за время d t в соответствии с основным законом динамики точки постоянной массы на
• (1)

• Изменение скорости точки d ϑ 2 за время d t , вызванное изменением ее массы в отсутствие действия силы F , определяют по теореме об изменении количество движения системы постоянной массы.

• Так как механическая система, состоящая из точки переменной массы и отделившихся от нее частиц, свободно от действия внешних сил, то ее количество движения является постоянной величиной. Внутренние силы взаимодействия точки с отделяющимися частицами не изменяют количества движения рассматриваемой системы. Применяя закон сохранения количества движения за промежуток времени от t до t+dt , имеем p t = p t+dt (2).

• Учитываем только взаимодействия точки переменной массы с отделившейся от нее частицей массы dM' за время dt и пренебрегаем действием на точку и эту частицу ранее отделившихся частиц. Получаем р = М ϑ так как в момент имеется одна точка массой М ( t ), движущаяся со скоростью ϑ относительно системы координат Oxyz .
• В момент t+dt имеются точка массой М - dM' , скорость которой ϑ+ d ϑ 2 , и отделившаяся частица массой - dM' , скорость которой u относительно той же системы координат Oxyz . Количество движения их в момент t+dt

p t+dt =( М - dM' ) (ϑ+ d ϑ 2 )+ u dM'.

0 или, включая знак минус в dM (тогда dM ), имеем (3) " width="640"

• Приравнивая, согласно (2), количество движения после сокращения и отбрасывания малого слагаемого второго порядка dM'‧d ϑ 2 по сравнению со слагаемыми первого порядка, получаем:

при dM'0 или, включая знак минус в dM (тогда dM ), имеем

• (3)

• Общее изменение скорости d ϑ = d ϑ 1 + d ϑ 2 , или, учитывая (1) и (3)
• (4)
• Выражение (4) называют дифференциальным уравнением Мещерского. Оно было получено им впервые в 1897 году.
• Если с точкой переменной массы связать подвижную систему координат, поступательно движущуюся относительно системы координат Oxyz , то абсолютную скорость u отделившейся частицы массой по dM теореме о сложении скоростей можно выразить как u= ϑ e + ϑ r .

• Так как в данном случае ϑ e = ϑ , то относительная скорость отделившейся частицы ϑ r = u- ϑ .
• Подставляя значение u- ϑ в (4), имеем
• (4 ' )

• Если ввести обозначение то (4 ' ) примет вид
• (4 '' )

• Величину Ф r называют реактивной силой, а dM/dt является скоростью изменения массы. Она характеризует изменение массы точки за единицу времени. Поэтому реактивная сила равна произведению секундного изменение массы точки на относительную скорость отделения массы от точки переменной массы.
• В случае уменьшения массы точки с изменением времени величина dM/dt является отрицательной, а при возрастании ее массы – положительной.

• При уменьшении массы точки вследствие отделения от нее частиц реактивная сила Ф r направлена в сторону, противоположную относительной скорости отделяющихся частиц ϑ r , а при увеличении массы точки величина dM/dt больше нуля и реактивная сила Ф r направлена в сторону относительной скорости частиц ϑ r . Для реактивного двигателя скорость изменения массы dM/dt является отрицательной, равной секундному расходу массы, а ϑ r скорость вылета газа из сопла двигателя.
• Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленной выбросом газа через сопло. Она направлена противоположно скорости вылета газа из сопла двигателя.

• Проекцируя обе части (4 '' ) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем дифференциальное уравнение движения точки переменной массы в проекциях на эти оси:
• (5)

• Из (4 '' ) или (5) следует, что дифференциальное уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, только кроме приложенных к точке сил, действует дополнительно реактивная сила, обусловленная изменением массы точки.
• Дифференциальные уравнения точки переменной массы превращаются в аналогичные уравнения для точки постоянной массы, если величина dM/dt =0.