Уроки по теме «Степень с натуральным и целым показателем»

Уроки по теме «Степень с натуральным и целым показателем»

Цели урока:

• Образовательные: Познакомить учащихся с понятием степени с целым показателем и её свойствами. Научить применять изученные понятия и свойства при вычислениях и преобразованиях.
• Развивающие: Развивать умения применять теоретические знания на практике. Развивать познавательную активность,  мышление, внимание и память, умение слушать товарища, математическую речь.
• Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, аккуратности,  дисциплинированности, умение общаться.

Ход урока.

1. Организационный этап.

Учитель. Добрый день, дорогие ребята!

Тем, кто учит математике,

Тем, кто учит математику,

Тем, кто знает и любит математику,

И тем, кто ещё не знает, что он любит математику,

Работать сегодня на уроке.

2. Мотивация урока.

Ребята, а какие ассоциации у вас вызывает слово «урок»? Давайте разложим его по буквам.

У – успех,

Р – радость,

О – одаренность,

К – коллектив.

Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет и успех, и радость. И мы, работая в коллективе, покажем свою одарённость.

         Будьте внимательны в течение урока. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе.

3. Актуализация изучения темы.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. А начать наш урок я хотела бы с выяснения вопроса: встречался кто-нибудь из вас в повседневной жизни со словом «степень»? Давайте приведем примеры словосочетаний из жизни, в которых оно используется, и попытаемся с их помощью разобраться, что же в жизни означает слово «степень».

                            точности

              Степень усвоения

                            качества

                            знаний

• Каким же близким по смыслу словом можно заменить слово “степень”?
• А где мы можем уточнить его значение?

                                 (в толковом словаре) 

       - Степень – это мера, сравнительная величина; уровень чего-нибудь.

       - Слово “степень” находит широкое применение и в математике.

Вспомним известную украинскую пословицу: «Знание собираются по капле, как вода в долине.» И соберём по капельке всё, что  учили по теме: «Степень» в младших класах.

1.     Дайте определение степени с натуральным показателем. (Степенью числа а с натуральным показателем п, большим  1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.)

2.     Как называется число, которое возводим в степень? (Число, которое возводим в степень, называют основанием)

3.     Как называется число, в которое возводим степень? (Число, в которое возводим степень, называют показателем)

4.     Какое число получаем при возведении в степень положительного числа? (При возведении в степень положительного числа получаем положительное число)

5.     Какое число получаем при возведении отрицательного числа с четным показателем? (При возведении отрицательного числа с четным показателем получаем положительное число)

6.     Какое число получаем при возведении отрицательного числа с нечетным показателем? (При возведении отрицательного числа с нечетным показателем получаем отрицательное число)

Также устно, с полным объяснением, вычислить:

Решить № 226, 227, 228.

4. Изучение нового материала.

Взгляните на число.   

 . 

Как вы думаете, это поло­жительное или отрицательное число?

"Не верь глазам своим" - сказал бы Козьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англича­нин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесо­образности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В од­ном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А², А³ и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а², 1/а³ пишу а^-1, а^-2, а^-3и т.д."

Упражнение 1. Найдите закономерность и продолжите ряд чисел ...1000, 100, 10,...

(1, 1/10, 1/100, 1/1000...).

Упражнение 2. Представьте каждое из этих чисел в виде сте­пени числа 10:

...1000,100,10,   1,   1/10,   1/100,1/1000...

(... 10³, 10², 10¹, 10°, 1/10¹, 1/10²,   1/10³...)

Упражнение 3. Подпишите под этими числами показатели сте­пеней:

3,     2,    1,   0,....

Продолжив этот ряд, мы получим числа -1, -2, -3 и т.д.

Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°. Получим: 1/10¹ = 10^-1, 1/10² = 10^-2...

Получается такая строка:

10^-3, 10^-2, 10^-1, 10°, 10¹, 10², 10³...

Вопрос. Можем ли мы взять степень с другим основани­ем? С любым?

Ответ. Кроме 0.

Вывод. Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля. Запишите в тетради формулу:

Работа с учебником

Работа с определениями п.8 (с.62, 63).Эта работа полезна тем, что учит учащихся выделять основное в тексте.

Следующее упражнение целесообразно для формирования алгоритма вычисления значения выражений, содержащих степень с отрицательным целым показателем.

Упражнение 4. Вычисли значение выражения:

Учащимся предлагается проанализировать последовательность предложенных шагов, установить верную последовательность и обобщить алгоритм вычисления значений такого типа выражений (содержащих степень с отрицательным показателем).

1) Выполнить возведение в степень;

2) Выполнить действия с дробями;

3) Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями.

Верная последовательность выполнения шагов:

1)                 Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями;

2)                 Выполнить возведение в степень;

3) Выполнить действия с дробями.

Вопрос. Имеет ли смысл выражение 0^-5?

Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

Вывод. 0ⁿ имеет смысл только при положительных зна­чениях n.

5. Физкультминутка

Учащимся даётся установка: «Расслабьтесь. Выпрямите спины и внимательно следите за движением шарика на экране, повторяя его движение не только глазами, но и головой.» Это упражнение позволит снять напряжение спины и зрения.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 231, 232, 234, 236, 237, 240.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 238.

8. Рефлексия.

Интерактивное упражнение «Незаконченное предложение»

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы учащихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

9. Итоги урока. Д/з.

Интегрированное домашнее задание

-     Обязательный уровень: прочитать п.8. с. 62, 63, устно ответить на вопросы 1 – 2 стр.65; решить №№ 233, 235;

-     Повышенный уровень: решить №№233, 235, 239, 241;

-     Творческий уровень: составьте математическую шифровку, используя степень с целым отрицательным показателем.

Известный математик К. Вейерштрасс сказал: «Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе».

Если минус нам не нравится,

 С этим горем можно справиться:

Знак меняем в показателе,

Степень пишем в знаменателе,

Сверху ставим единичку.

Получается? Отлично!

Коль числитель единица,

Степень в знаменателе,

Пишем мы ее как степень

С целым показателем:

Дробную черту стираем,

Единицу убираем

И еще, конечно, минус

В показатель добавляем