Условная вероятность

Урок №9. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Преподаватель математики

АЭК

Пезуева Мадина Бекмурзаевна

Цели урока

• подтвердить и проверить теоретические знания по теории вероятности
• Образовать понятие об условной вероятности.
• сформировать умение по нахождению вероятности, с использованием правил суммы и произведения.

• Усидчиво стараться решать поставленные задачи
• Работать над самосовершенствованием
• Стремиться к высокой культуре.

В тетрадях для тестов. Дата урока. Тест №8

1-

2-

3-

4-

5-

Напротив номера вопроса правильный ответ

1. Если в одном и том же испытании два события не могут произойти одновременно, то они называются…

• Запишите ответ в форме слова

2. Р(А+В)=Р(А) +Р(В)– это формула нахождения  

• А. Вероятности случайного события
• В. Перестановок
• С. Суммы событий
• Д. Вероятности противоположного события

3. Чему равна вероятность выпадения двух шестерок при двухкратном бросании кубика?

Напишите ответ в виде обыкновенной дроби

4. Из 25 экзаменационных билетов ученик успел подготовить 10 первых и 9 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил ?

• Напишите ответ в форме числа

5. Задача: Сколькими способами можно выбрать костюм и обувь, если в магазине по 6 различных костюмов и туфель?

• Напишите число

Ключ к тесту :

1 – несовместными

2 – с

3 - 1/36

4 - 0,24

5 – 36

Кто наберет больше баллов?

Тест «Айзенко» из приложения к уроку

Тема урока: Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Запишите в тетрадях

• Пусть  А  и  В  – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события  А  может влиять на событие  В  или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
• Определение.  Если вероятность события  В  находится при условии, что событие  А  произошло, то получаемая вероятность события  В  называется  условной вероятностью  события  В .
• Для обозначения такой условной вероятности используются символы:  Р А ( В ) или  Р ( В /   А ).
• Замечание 2 . В отличие от условной вероятности, рассматривается и «безусловная» вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события  В  отсутствуют.

• Пример . В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён:

а) красный шар; б) синий шар.

• Пусть событие  А  – извлечение красного шара в первый раз, а событие  В  – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что  р ( А ) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну,  р ( В )=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара  р ( В ) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие  А ) или синий (событие ). Тогда в первом случае  р А ( В ) = 2 / 4, а во втором (  В  ) = 3 / 4.

• Теорема умножения вероятностей событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

Р ( А ∙ В ) =  р ( А ) ∙  р А ( В )

• вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Закрепление изученного на уроке

• Пример№1: Монета бросается дважды. Вероятность появления герба в первом испытании не
• зависит от появления или не появления герба во втором испытании и наоборот. Т.е.
• событие А – появление герба в первом испытании;
• событие В – появление герба во втором испытании. Эти события независимые.

• Пример№2: В коробке 5 белых и 4 черных шара. Из неё наугад берут шар.
• событие А – шар белый; вероятность Р(А)=5/9.
• Шар кладут обратно. И продолжают эксперимент.
• событие В – шар белый; вероятность опять Р(А)=5/9.
• Вероятность события А не зависит от вероятности события В, т.о. события А и В
• независимые.

Закрепление

• Задача №1

• Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

• Решение. Пусть

• A - «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет» - ?
• В - «чайник прослужит больше двух лет» -0,87
• С - «чайник прослужит ровно два года»,
• тогда A + B + C - «чайник прослужит больше года».
• События A, В и C несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события C, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:  P (A + B+ С) = P (A) + P (B) + P (С) = P (A) + P (B), откуда, используя данные из условия, получаем 0, 93 = P (A) + 0, 87. Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.   Ответ: 0,06.

Задача №2

• Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля. .

Составим таблицу:

неисправна

вероятность

исправна

0,02

забракует

0,99

0,98

0,01

Решение.

• Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:
• A - батарейка действительно неисправна и забракована – совместные события
• B - батарейка исправна, но по ошибке забракована – совместные события.
• А и В - это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.
• Имеем:  P(A+B)=P(A)+P(B)=0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0198+0,0098=0,0296
• Ответ: 0,0296

Опережающее д/з

Тема: Независимые события. Вероятность произведения независимых событий

План изучения:

• Подобрать из ИР 5 задач на нахождение вероятности независимых событий и решить их на тетрадях.
• Выучить правило произведения и суммы событий, теорему умножения вероятностей.
• Подготовить презентацию, доклад по теме ( по желанию)

ИР. http :// www . myshared . ru

• http://self-edu. ru /book

Рефлексия:

• Заполнить диагностические карты.
• Чем мы занимались на уроке?
• Что нового узнали?
• Что понравилось?
• Что не понравилось?

Урок окончен.

Мы будем стремиться к вершинам знаний.

И отдалимся от лени и бестолковых исканий.