В честь окончания учебного года! Скидки до 50% на готовые материалы для учителей на каждый урок

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

На сайте

Демьянова Светлана Васильевна

преподаватель математики

65 лет

13 874

2 088

Подписчики

Подписки

Местоположение

Приднестровье, г. Днестровск

Специализация

Математика

Алгебра

Геометрия

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ по дисциплине: «МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ № 9 «Элементы теории вероятностей»

Категория: Математика

22.11.2019 22:14

Просмотр содержимого документа
«В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ по дисциплине: «МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ № 9 «Элементы теории вероятностей»»

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР

ГОУ «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ

И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по учебной работе

__________________М.В. Питель

«_____»__________________2019 г

В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ

по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»

РАЗДЕЛ № 9

«Элементы теории вероятностей»

Разработал преподаватель математики

ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»

Демьянова Светлана Васильевна

РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО

на заседании ЦМК методист

_____________________ дисциплин ________ Левицкая И.Н. Протокол №__ от «__»_____201__г. «__» _________201__г.

Председатель __________________

______________________________

г. Днестровск, 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………………………………...3

Глава I. Элементы теории вероятности………………………………………………………………4

Основные понятия теории вероятностей……………………………………………………………4
Комбинация событий. Противоположные события………………………………………………..6
Вероятность противоположного события…………………………………………………………...7
Сложение вероятности……………………………………………………………………………......7
Независимые события. Умножение вероятностей………………………………………………….8
Статистическая вероятность………………………………………………………………………….8

Глава II.Практика…………………………………………………………………………………....…10

2.1. Найти вероятность появления цветного шара………………………………………………….....10

2.2. Найти вероятность выученного вопроса………………………………………...………………...10

Глава III. Презентация………………………………………………………………...…………….…11

Заключение……………………………………………………………………………………………...12

Список использованной литературы………………………………………………………………...13

ВВЕДЕНИЕ

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Следует обратить внимание на слово «приблизительно» – закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.

Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Можно научиться вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит оценивать шансы на успех, проверять гипотезы, принимать решения не только в играх и лотереях.

Глава I. Элементы теории вероятности.

Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Основными понятиями в теории вероятностей являются испытание, событие и вероятность. Испытание - это эксперимент, проводимый над объектом в комплексе определенных условий. Событие - это случай или факт, который произошел или не произошел в результате испытания. Вероятность - это численная мера степени объективной возможности наступления события.

Вероятностью события А называется отношение числа случаев наступления этого события к общему числу случаев. Например, попадание мяча в кольцо (Рисунок 1).

Рис.1

Для расчёта числа возможных событий используются методы комбинаторики. Число комбинаций из n элементов по m, которые отличаются только составом элементов называются сочетаниями. Например: число сочетаний из n элементов по m рассчитывается по следующей формуле:

Число комбинаций, которые отличаются и составом, и расположением называются размещениями. Число размещений из n элементов по m рассчитывается так:

Число комбинаций из n элементов, которые отличаются только перестановкой равно:

Комбинации из n элементов по m, в которых элементы могут быть одинаковыми, называются размещениями с повторениями. Число таких размещений рассчитывается по следующей формуле:

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m рассчитывается:

Допустим, что комбинации состоят из n элементов. 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент n2 раз и k-й элемент nk раз, при этом n1 + n2 + ... nk = n. Такие комбинации называются перестановки с повторениями. Число таких перестановок рассчитывается так:

Комбинация событий. Противоположные события.

Суммой (объединением) событий A и B называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий A и B обозначают A+B (или A∪B).

На рисунке 2 с помощью кругов Эйлера проиллюстрировано понятие суммы событий A и B: большой круг изображает все элементарные события, которые могут произойти в рассматриваемом испытании, левый круг изображает событие A, правый — событие B, а закрашенная область — A+B событие.

Рис.2

Произведением (пересечением) событий A и B называется событие, которое состоит в том, что происходят оба эти события. Произведение событий A и B обозначают AB (или A∩B).

Рисунок 3 иллюстрирует с помощью кругов Эйлера произведение событий A и B: темнее закрашенная область (общая часть кругов A и B) иллюстрирует событие AB.

Рис.3

События A и B называют равными (равносильными) и пишут A=B, если событие A происходит тогда и только тогда, когда происходит событие B.

Событие называют противоположным событию A, если событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

На рисунке 4 проиллюстрирована взаимосвязь событий A и на множестве всех элементарных исходов испытания (событие изображено закрашенной областью).

Рис.4

Вероятность противоположного события.

Если все исходы опыта одинаково возможны, то вероятность P(A) любого события A можно вычислить по формуле:

Вероятность противоположного события можно вычислить по формуле: P( )=1−P(A).
Бросается игровой кубик. Событие A — выпадет цифра 2. Ранее уже было вычислено, что P(A)= .

Противоположное событие — не выпадет цифра 2 (т. е. выпадет 1, 3, 4, 5 или 6).

P( )=1−P(A)=1− = .

Эту формулу удобно использовать, если у опыта много исходов.

Сложение вероятности.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. P(A+B) = P(A)+P(B).

События являются несовместными, или несовместимыми если появление одного из них исключает появление другого.

Независимые события. Умножение вероятностей.

Предположим, что из колоды в 36 карт извлекается одна карта и рассматриваются: событие A — извлечена карта трефовой масти, событие B — извлечена дама треф. Между событиями A и B очевидно наличие какой-то зависимости. Действительно, из 9 случаев, благоприятствующих событию A, событию B благоприятствует один; поэтому при наступлении события A вероятность события B равна . Но при отсутствии информации о наступлении события A вероятность события B оценивается как равная . Так как , то очевидно, что наступление события A повышает шансы события B.

События A и B называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Часто о независимости событий удаётся судить на основании того, как организован опыт, в котором они происходят. Независимые события появляются тогда, когда опыт состоит из нескольких независимых испытаний (как, например, было в рассмотренном опыте с бросанием двух игральных костей). Если независимость испытаний не очевидна, то независимость событий A и B проверяется с помощью формулы:

события A и B называют независимыми, если выполняется равенство P(AB)=P(A)⋅P(B).

Статистическая вероятность.

Проведём эксперимент:

1) бросить игровой кубик 200 раз и каждый раз записывать количество выпавших пунктов;

2) сосчитать, в скольких случаях выпало 4 пункта.

Допустим, что после подсчётов результат 4 был 32 раза.

Что можно вычислить?

Если в N независимых опытах событие A осуществляется M раз, то M называется абсолютной частотой события A, а соотношение называется относительной частотой события A.

Относительную частоту события A обозначают W(A), поэтому по определению W(A)= .

В наших экспериментах событие A — выпали 4 пункта. Значит, по определению:

1) абсолютная частота события A равна 32;

2) относительная частота события А= .

Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Различные исследования с большим числом однотипных испытаний проводили учёные в разные годы. Наблюдая за уменьшением амплитуды колебания относительных частот события около некоторого числа при увеличении количества испытаний, швейцарский математик Якоб Бернулли обосновал так называемый закон больших чисел.

Можно считать достоверным тот факт, что при любой достаточно большой серии испытаний относительная частота события А стремится к некоторому числу — вероятности этого события. Таким образом, W(A)≈P(A) при большом числе испытаний.

В нашем эксперименте относительная частота события А= , или статистическая вероятность P(A)≈ .

Глава II.Практика.

2.1. Найти вероятность появления цветного шара.

Пусть событие A — появление красного шара, событие B — появление зелёного шара, тогда событие A+B — появление цветного шара. Очевидно, что

P(A)= = ;

P(B)= .

Так как события A и B несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B)= + = .

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. P(A)+P( )=1.

2.2. Найти вероятность выученного вопроса.

Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:
а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;
б) никому не достался вопрос, который он выучил;
в) только одному из приятелей достался тот вопрос, который он не выучил;
г) хотя бы одному из приятелей достался тот вопрос, который он выучил.
Решение. Если кому-то достался известный ему вопрос, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей, готовившихся к зачёту, одна и та же: она равна =0,25. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с n=4 испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании p=0,25.
а) В этом случае k = n = 4, и поэтому P₄(4)=C₄⁴ p ⁴q ^4-4=0,25⁴≈0,004.
б) В этом случае k=0, и поэтому P₄(0)=C ₀⁴p ⁰q ^4-0=0,75⁴≈0,316.
в) Здесь k=3, и поэтому P₄(3)=C ₃⁴ p 3q ^4-3= 4⋅0,25³⋅0,75≈0,047.
г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т. е. что произошло k=0 «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна 1−P₄(0)=1−0,75⁴≈0,684.

Глава III. Презентация.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Элементы теории вероятности одно из фундаментальных понятий математического анализа. В данной работе мы изучили элементы теории вероятности. В зачетной работе я раскрыла основные понятия теории вероятности, комбинации событий. Противоположные события, вероятность противоположного события, сложение вероятности, независимые события. Умножение вероятностей, статистическая вероятность.

В практической работе решила примеры по элементам теории вероятности и сделала презентацию.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика - М., 2005г.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., 2003г.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, 2004г.
Кибзун и др. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2007г.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., 2004г.
https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/elementy-teorii-veroiatnostei-9277
https://works.doklad.ru/view/Tj5H9Eqw4OM.html