Векторное и смешанное произведение векторов

Тема: «Векторное и смешанное произведение векторов»

_{Формула для вычисления длины вектора с координатами} вычисляется по формуле:

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

Опр. Тройка векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу, вектор располагается по ту сторону от плоскости, содержащей векторы , , откуда кратчайший поворот от к кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Опр. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим требованиям:

-длина вектора равна произведению длин векторов , на синус угла между ними, т.е.

-вектор ортогонален векторам , ;

-вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Ясно, что векторное произведение двух коллинеарных векторов дает нулевой вектор. Выведем теперь формулу для векторного произведения. Пусть базисные векторы декартовой системы координат образуют правую тройку. Тогда справедливы следующие соотношения:

Если заданы два вектора и , то, учитывая свойства векторного произведения, отсюда легко вывести, что где

Векторное произведение двух векторов и

Смешанное произведение трех векторов , , .

- Если , то векторы компланарны.

- Площадь параллелограмма, построенного на векторах , вычисляется по формуле:

- Площадь треугольника, построенного на векторах , вычисляется по формуле:

- Объем пирамиды с вершинами в точках A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃), D(x₄,y₄,z₄) можно вычислить по формуле:

- Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид:

- Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , имеет вид:

Рассмотрим пример:

Даны координаты вершин пирамиды :

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между рёбрами и ; 3) площадь грани ; 4) объём пирамиды; 5) уравнение прямой ; 6) уравнение плоскости .

Решение: