Виртуальная экскурсия в мир древних чисел

Числа и цифры древних стран мира и арифметические действия с ними

Проект вы полнили учащиеся 6а класса

Образовательного центра №11

Борисов Глеб, Осипова Катя, Сонин Игорь

Руководитель проекта: Маричева М.Н .

Участники проекта:

Борисов Глеб Сонин Игорь Осипова Екатерина

(Редактор, создатель (Создатель статей (Создатель статей

статей про Древний Египет про Древний Китай про Древний Рим

и народов Майя) и Вавилон) и Ацтеков)

Цель проекта :

Создание виртуальной экскурсии в мир древних цифр, чисел и арифметических действий с ними.

Задачи проекта :

• Выяснить что такое число и что такое цифра;
• Узнать что такое позиционная и непозиционная системы счисления;
• Познакомиться с древними системами счисления разных стран и народов;
• Научиться выполнять простые арифметические действия, как это делали древние люди разных стран;
• Создать виртуальную экскурсию в мир древних цифр, чисел, и арифметических действий с ними.

Актуальность проекта :

Актуальность данного проекта заключается в том, что сегодня в современном мире информационных технологий, люди разучились считать без калькулятора. Мы решили узнать, как считали в древности, какими способами умножали, делили, складывали и вычитали числа в разных странах. Чтобы наша работа могла быть использована другими, мы создали виртуальную экскурсию «В мир древних чисел», которую можно будет использовать на уроках математики.

Зарождение чисел.

У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля и собирать урожай; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если говорили «весь человек», то есть две руки и две ноги, это означало число двадцать.

Позднее, когда у людей появилось больше имущества и им не хватало пальцев на руках и ногах, они стали считать с помощью камушков. В древние времена, чтобы показать, сколькими животными они владеют, они клали в большой мешок столько камешков, сколько у них было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень»!

Еще позже людям потребовались значения, которые сложно было представить в виде «мешка с камушками», тогда они стали использовать разные обозначения. Так и появились различные записи цифр и чисел.

Как и где появились первые цифры?

Первые написанные цифры (о которых нам известно), появились, в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад.

Обычно они представляли собой засечки на дереве или камне.

Жрецы Египта писали на папирусе, а жители Месопотамии – на мягкой глине.

Первые цифры представляли собой черточки для единиц и разнообразные знаки для десятков и сотен.

Постепенно знаки становились все проще и все понятнее.

Сейчас мы используем всего 10 цифр, для обозначения различных чисел. Арабские цифры — традиционное название набора из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; ныне использующегося в большинстве стран для записи чисел в десятичной системе счисления.

В чем различие между цифрой и числом?

Число — это понятие, отражающее количество.

Числа служат для счета предметов, измерения величин (длины, отрезка, времени, скорости и т.д.) Числа записываются одной или несколькими цифрами.

Цифра  — это знак для обозначения числа.

Слово «цифра» появилось от латинского «cifra» и от арабского «sifr», что означает – пустой или ноль . В нашей культуре мы используем 10 арабских цифр для записи чисел

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9).

Что такое системы счисления? Система счисле́ния  (англ.  numeral system  или  system of numeration ) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков

Непозиционные

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе.

Позиционные

В позиционных системах счисления одна и та же цифра в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где она расположена.

11

1-десяток 1 единица

II = 1 + 1 = 2

Здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

В конец

Выбери страну , нажми на картинку, и ты узнаешь все о числах и цифрах

этой страны, а также познакомишься с арифметическими действиями с этими числами

Рим

Египет

Вавилон

Китай

Ацтеки

Народы майя

Цифры и числа древнего Китая

Древние китайцы пользовались непозиционной системой счисления. В Китае цифры от одного до девяти обозначали палочками из слоновой кости или бамбука. Одна вертикальная палочка обозначала единицу, пять палочек — пятерку, у цифр от 6 до 9 сверху еще добавлялась горизонтальная палочка. Горизонтальная палочка обозначала 5. Число 10 обозначалось вертикальная палочка и 0. Далее числа обозначались так: десятки вертикально палочки, а единицы горизонтально, а целые десятки дополнительным нулем.

Чтение китайский цифр от 1 до 10

И,

ар,

сань,

сы,

ву,

лиу,

чи,

ба,

дзиу,

ши

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Суть китайского метода состоит в графическом изображении процесса умножения. Числа изображаются в виде прямых линий, сотни, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Один из множителей располагается горизонтально сверху вниз, второй — вертикально слева направо. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц — вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц - третья цифра.

Цифры и числа древнего Египта .

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой счисления. Выглядели цифры примерно так:

Все целые числа образовывались путем повторения знаков, приведенных выше (и некоторых других для еще более высоких разрядов).

Например, 3215 будет:

Так выглядели дроби:

Для трех дробей были специальные символы

Все дроби, у которых в числителе была единица, обозначались знаком похожим на глаз сверху и числом знаменателя снизу

Например: дробь 1/14

Все правильные дроби записывались как сумма таких дробей. Например:

Арифметические действия с египетскими числами

Сложение

Если при сложении число получается больше десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом .

Умножение

Например, 7 умножить на 22

Египтяне использовали такой алгоритм для умножения. В два столбца писались числа. Первый столбец начинался с единицы, а второй с множимого. Затем каждое число в столбце удваивалось до тех пор, пока из некоторых чисел первого столбца не удастся сложить множитель: 1+2+4=7

8 уже больше, чем 7, поэтому табличка заканчивается на четырех.

Теперь складывали числа второго столбца и получали ответ: 22+44+88=154.

1

2

22

4

44

88

Еще пример, немного сложнее, здесь нужно выбрать в первом столбце те числа из которых получается в сумме первый множитель, а во втором столбике сложить соответствующие числа и получить нужное произведение: 13 умножить на 57

1

2

57

4

114

228

8

456

1+4+8=13 и 57+228+456=741

Деление

Деление выполнялось при помощи схожего алгоритма. Разделим 238 на 17: Нужно составить табличку с одной стороны, которой стоит 17 с другой единица. Процесс удвоения останавливается на числе, которое при удвоении будет больше делимого.

Например 238:17

Потом нужно составить число 238 из чисел второго столбца, начиная с конца. 136+68+34=238 , значит нам нужны числа 8+4+2=14 . Итак, 238/17 =14

1

2

17

4

34

68

8

136

Цифры и числа древних народов Майя.

В наши дни майя – это племя индейцев , проживающее на территории Южной Америки. Сегодня они живут в таких странах как  Мексика, Гондурас, Гватемала и Белиза . А начиная с 2000 года до нашей эры, это была древняя цивилизация в Центральной Америке .

1

Эта система использовалась для календарных расчётов. В быту майя использовали непозиционную систему, сходную с древнеегипетской

В приведенной таблице не хватает двадцатой цифры. Но это не 20, ибо у майя 20, так же как у нас 10, было уже не цифрой, а составным двузначным числом. Двадцатой цифрой счета древних майя был «нуль», и изображался он в виде стилизованной раковины

2

В двадцатеричной системе, знающей понятие нуля, первым двузначным числом могло быть только число 20. Так оно и было. Но как изобразить? И майя решают эту задачу необычайно просто: над раковиной-нулем они рисуют точку, то есть первую цифру своего счета. Новый знак — он изображался так

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

:

  :

Арифметические действия с числами народов Майя

Сложение

В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка (!) и его место уже не на второй, а на третьей полке.

Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать!

Если в числе есть хотя бы одна-единственная единица любой из полок, довольно сложный рисунок раковины-нуля сразу же исчезал с нее. Покажем это условно на простейшем примере: , что соответствует числу 21 в нашем представлении .

340

+ = 359

19

1 «единица» + 1 «двадцатка» = 21 .

Умножение

Очень интересный способ умножения майя. Например 14 умножить на 21. Мы записываем по вертикали 2 десятки и рядом, параллельно 1 единицу чертой. Затем перпендикулярно рисуем 1 десяток и 4 единицы.

• 1 4

Считаем точки пересечений. Сначала единицы с единицами. Их 4. Теперь десятки и десятки. Теперь остальные пересечения. Получается 259.

2

1

2 пересечения

9 пересечений

4 пересечения

Римские цифры и числа.

Римские числа

Римские цифры появились за 500 лет до нашей эры у этрусков, которые могли заимствовать часть цифр у прото-кельтов.

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях:

1.Номер века или тысячелетия: XX век, II тысячелетие до н. э.

2.Порядковый номер монарха.

3.Номер корпуса в Вооруженных силах.

4.Номер тома в многотомной книге.

5.Иные важные события или пункты списка, например: II мировая война , Игры XXII Олимпиады и т. п.

6.Валентность химических элементов.

7.Порядковый номер ступени в звукоряде.

8.В математическом анализе римскими цифрами иногда записывается номер производной выше третьей.

Запись римских чисел

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

При этом некоторые из цифр (I, X, C, M) могут повторяться, но  не более трёх раз подряд ; таким образом, с их помощью можно записать любое целое число.

3999  (MMMCMXCIX).

Чтение римских цифр

При условии, что цифры располагаются от самой большой до самой маленькой, все, что нужно - это прочитать их и сложить значения каждого числа.

VI = 5 + 1 = 6

LXI = 50 + 10 + 1 = 61

III = 1 + 1 + 1 = 3

При вычитании сначала используйте числа меньшего разряда. Вы их узнаете, если увидите, что меньший разряд стоит перед большим. Это происходит лишь в нескольких ситуациях:

IV = 1 вычитаем из 5 = 5 - 1 = 4

IX = 1 вычитаем из 10 = 10 - 1 = 9

XL = 10 вычитаем из 50 = 50 - 10 = 40

XC = 10 вычитаем из 100 = 100 - 10 = 90

CM = 100 вычитаем из 1000 = 1000 - 100 = 900

Арифметические действия с римскими числами.

Сложение

Вот пример сложения римских чисел:

20+15=35

хx + xv=xxxv

20-5=15

xx-v=xv

Умножение

Умножение: Пусть требуется умножить 126 на 37 (знаки действий будем употреблять современные; у римлян их не было, названия действий писались словами). СХХVI *XXXVII Приходится умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем сложить все произведения. Цифры одинакового порядка для удобства ставим одну под другой.

Деление

Вот пример. МСLХХVI : XXVIII = ? (1176 : 28 = ?) Так как здесь нельзя по высшим цифрам делимого и делителя определить высшую цифру частного, то приходится производить деление методом "исчерпывания". Чтобы определить первую цифру частного, умножим делитель на 100. XXVIII * С = ММ... Сразу видим, что произведение превышает делимое; значит, в частном сотен нет. Начинаем умножать на 10, 20 и т. д., пока произведение не превысит делимого; тогда последний десяток в частном будет лишний. XXVIII * X = ССIХХХ XXVIII * XX = СССС L L ХХХХХ'Х = D L X. (Удваиваем второй результат) XXVIII * L = МСССL ХХХХХ = МСD (Прибавляем к четвертому результату первый.) Последнее произведение превышает делимое, значит, в частном четыре десятка. Отнимаем от делимого делитель, умноженный на ХЬ. МСL XXVI - МС XX L VI Остаток снова делим на делитель таким же порядком. XXVIII * I = XXVIII XXVIII * II = ХХХХVVIIIIII = LVI. Итак, в частном четыре десятка и две единицы. МСLХХVI : XXVIII = ХLII.

Цифры и числа древних Ацтеков.

Ацтеки – это племя индейцев , проживающее на территории Южной Америки, империя ацтеков располагалась западнее земель майя, на территории современной Мексики. Столица ацтеков, крупный город Теночитлан. Цивилизация ацтеков погибла под натиском конкистадоров. Случилось это в 1521 году.

Цифры народа Ацтеки

Ацтеки использовали двадцатеричную систему счисления. Цифры записывались в виде рядов точек, а в более древних манускриптах  как комбинация точек и черт. Такая система была достаточной для записи дат календаря.

У ацтеков было четыре знака. Точка обозначала цифру один, флаг - 20, перо - 400, а мешок, полный зерна - 8000. Из-за того, что ацтеки использовали так мало знаков, цифры приходилось повторять по много раз, чтобы их ряды были похожи на настоящие иероглифы.

Для указания на то, что цифры относятся к одному числу, проводилась соединяющая их линия. 

Например: число 500 записывалось как перо и пять флагов (400 + 5 x 20 = 500 ).

=500

Позднее Ацтеки придумали как писать большие числа с меньшим количеством повторений, они стали рисовать не целое перо или флаг а его часть.

Арифметические действия с числами.

К сожалению , методы вычисления которыми пользовалась ушедшая цивилизация Центральной Америки не дошли до нас .

Цифры и числа древнего Вавилона.

Числа Вавилона

  Для записи чисел использовались всего два знака: прямой клин   для обозначения единиц и лежачий клин   для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда. Новый шестидесятеричный разряд начинался с появлением прямого клина после лежачего клина, если рассматривать число справа налево. Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки. Вначале нуля не было. Позже ввели обозначение для пропущенных шестидесятеричных разрядов, что соответствует появлению нуля, но в первом разряде справа этот знак не ставился, что приводило к неоднозначности записи чисел и для определения абсолютного значения числа.

Сначала Вавилоняне записывали 60 больше, чем 1, позже этого различия не стало. И число 60 отделяется от после идущего пробелом. Например: 1861, после 60 идёт пропуск, затем 1.

Спасибо за внимание!!!