Вопросы к экзамену по ОУД.04 Математика

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

по дисциплине ОУД.04. МАТЕМАТИКА

для студентов 1 курса

специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям)

43.02.10 Туризм

Раздел 1. Развитие понятия о числе

1. Множество чисел (натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные).

2. Арифметический корень. Свойства арифметического корня n-степени.

3. Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем.

4. Степень с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

5. Логарифмы, их свойства. Пример.

6. Логарифмы. Десятичные и натуральные логарифмы. Пример.

7. Определение синуса и косинуса угла. Пример.

8. Определение тангенса и котангенса угла. Пример.

9. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Пример.

10. Основное тригонометрическое тождество (вывод, следствия).

11. Зависимость между тангенсом и котангенсом угла (вывод).

12. Зависимость между тангенсом и косинусом угла (вывод).

13. Зависимость между котангенсом и синусом угла (вывод).

14. Формулы сложения (вывод одной из них на “5”).

15. Формулы двойного угла (вывод одной).

16. Формулы приведения. Пример.

17. Тригонометрические тождества. Пример.

Раздел 2. Функции, их свойства и графики

1. Функция. Свойства функции (область определения; множество значений функции; монотонность; четность (нечетность); ограниченность, периодичность).

2. Степенная функция, её свойства и график. Пример.

3. Показательная функция, её свойства и график. Пример.

4. Логарифмическая функция, её свойства и график. Пример.

5. Тригонометрическая функция у= cos x, её свойства и график.

6. Тригонометрическая функция у= sin x, её свойства и график.

7. Тригонометрическая функция у= tg x и у=сtg x, их свойства и графики.

8. Обратно тригонометрические функции, их свойства и графики.

Раздел 3. Предел и непрерывность функции

1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Пример.

2. Свойства пределов. Пример.

3. Предел функции на бесконечности. Пример.

4. Предел функции в точке. Виды неопределённостей. Пример.

5. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Пример.

6. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Пример.

Раздел 4. Основы дифференциального исчисления

1. Производная. Физический смысл производной. Пример.

2. Производная. Производная сложной функции. Пример.

3. Производная. Правила дифференцирования. Пример.

4. Производная. Геометрический смысл производной. Пример.

5. Уравнение касательной (вывод). Пример.

6. Возрастание и убывание функции. Пример.

7. Алгоритм отыскания промежутков возрастания и убывания функции. Пример.

8. Экстремумы функции. Пример.

9. Алгоритм отыскания экстремумов функции. Пример.

10. Выпуклость кривой вверх (вниз). Пример.

11. Алгоритм отыскания промежутков выпуклости кривой вверх (вниз). Пример.

12. Критические точки I и II рода. Пример.

13. Алгоритм построения кривой с применением производной. Пример.

14. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Пример.

Раздел 5. Основы интегрального исчисления

1. Неопределенный интеграл. Первообразная. Таблица первообразных. Пример.

2. Правила интегрирования для неопределенного интеграла. Пример.

3. Определенный интеграл. Правила интегрирования для определенного интеграла. Пример.

4. Формула Ньютона – Лейбница. Пример.

5. Вычисление площади криволинейной трапеции. Вычисление площадей плоских фигур. Пример.

Раздел 6. Уравнения и неравенства

1. Равносильные уравнения и неравенства. Пример.

2. Иррациональные уравнения и неравенства. Пример.

3. Показательные уравнения и неравенства. Пример.

4. Логарифмические уравнения и неравенства. Пример.

5. Уравнение cos x =a. Пример.

6. Уравнение sin x =a. Пример.

7. Уравнение tg x =a. Пример.

Раздел 7. Элементы аналитической геометрии

1. Векторы в пространстве. Операции над ними.

2. Компланарные векторы, разложение вектора по трём некомпланарным векторам.

3. Координаты вектора, операции над векторами в координатах.

4. Координаты середины отрезка; длина вектора; расстояние между двумя точками.

5. Аксиомы стереометрии, два следствия.

6. Параллельность двух прямых в пространстве (определение, свойства, лемма).

7. Параллельность прямой и плоскости (определение, признак, следствия).

8. Параллельность двух плоскостей (определение, признак, свойства).

9. Скрещивающиеся прямые (определение, признак, свойства).

10. Перпендикулярность двух прямых в пространстве (определение, лемма).

11. Перпендикулярность прямой и плоскости (определение, признак, свойства).

12. Теорема о трёх перпендикулярах + ей обратная.

13. Двугранный угол. Перпендикулярность двух плоскостей (определение, признак, следствие).

14. Прямоугольный параллелепипед (свойства, объём).

15. Призма (определение, S_полн., S_{бок. прямой призмы,} объём призмы).

16. Пирамида (определение, правильная пирамида, S_{бок. правил. пирамиды,} объём пирамиды).

17. Усечённая пирамида (определение, S_{бок. усеч. пирамиды,} объём усечённой пирамиды).

18. Цилиндр (определение, площадь полной поверхности, объём цилиндра).

19. Конус (определение, площадь полной поверхности, объем конуса).

20. Усечённый конус (определение, площадь полной поверхности, объем усеченного конуса).

21. Сфера, шар (определение, уравнение сферы, площадь сферы, объём шара).

Раздел 8. Элементы комбинаторики, статистика и теории вероятности

1. Основные понятия теории вероятности. Классическое определение вероятности. Пример.

2. Основные формулы комбинаторики. Пример

3. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Пример.

4. Теорема умножения вероятностей. Пример.

5. Случайная величина (определение, виды случайных величин). Пример.

6. Дискретная случайная величина, её математическое ожидание. Пример.

7. Свойства математического ожидания, случайной величины.

8. Дисперсия дискретной случайной величины. Пример.

9. Среднее квадратическое отклонение. Пример.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ / ЗАДАЧИ

для подготовки к экзамену

1. Сократить дробь

1. ;

2. ;

3. .

2. Упростить выражение:

1. ;

2. .

3. Вычислить:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. Вычислить , если и .

4. Доказать тождество:

1. ;

2. ;

3. .

5. Определить свойства функции и построить её график:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

6. Решить уравнение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

7. Решить неравенство:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

8. Решить систему:

9. Вычислить предел:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

10. Вычислить производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

11. Исследовать свойства функции с помощью производной и построить график функции:

1. ;

2. ;

3. .

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

1) на отрезке

2) на отрезке

13. Вычислить интеграл:

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1. , и осью ;

2. и ;

3. и ;

4. и осью ;

5. , и осью .

15 Даны векторы , , , . Вычислите:

1. ;

2. ;

3. .

   1. В тетраэдре ABCD точка М – середина ребра AD, точка N – середина ребра BD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости треугольника ABC.

   2. Даны точки , , . Найдите:

1. периметр треугольника АВС

2. медианы треугольника АВС

1. Даны точки , , . Найдите:

1. площадь треугольника АВС

2. углы треугольника

1. Даны векторы , . При каком значении векторы и перпендикулярны?

2. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см. Найдите расстояние от точки D прямой ВС.

3. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.

4. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости , а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости ; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости .

5. В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90. Прямая BD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что .

6. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 8 см и 6 см и высотой 3 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

7. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120 между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите объем и площадь полной поверхности призмы.

8. Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м² требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведер в расчет не принимать).

9. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от неё, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

10. Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см², а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите радиус основания цилиндра.

11. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм², а площадь основания 8 дм².

12. Сумма площадей поверхностей двух шаров радиуса 4 см равна площади поверхности некоторого большего шара. Каков объем этого большего шара?

13. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см². Найдите площадь его боковой поверхности.

14. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24 см³, а площадь основания 12 см². Одна сторона основания в три раза больше другой. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда.

15. Из букв слова «ПУТЕШЕСТВИЕ» наугад выбирают две буквы. Какова вероятность того, что одна гласная, другая согласная?

16. В коробке 10 карандашей, из них 4 сломанных. Какова вероятность, того, что среди четырех вынутых карандашей три сломанных?

17. 15 студентов колледжа, из которых 5 юношей, отправляется на экскурсию в город мастеров Городец. Куратор группы наудачу выбирает троих студентов. Найти вероятность того, что выбранные студенты юноши.

18. На тепловой станции 15 сменных инженеров, из которых 5 женщин. В смену занято два инженера. Найти вероятность того, что ими окажутся женщины.

19. В ящике 7 черных и 13 белых шаров. Вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара черные.

20. В колоде 36 карт. Выбирают две карты. Какова вероятность того, что ими окажутся тузы?

21. В колоде 36 карт. Выбирают две карты. Какова вероятность того, что ими окажутся ни одного туза?

22. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

41. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

42. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной законом распределения:

1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

   Х	1	3	5	6
   Р	0,2	0,4	0,3	0,1

2. Найти среднее квадратическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

   Х	2	4	8
   Р	0,1	0,5	0,4

3. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х 10 12 13 14

р 0,3 0,2 0,1 0,4