Введение понятия производной функции. Физический смысл производной.

Введение понятия производной функции.

Производная - главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x.

Прежде чем погрузиться в понятие производной, разберём ещё одно понятие – предел функции.

Определение. Если при приближении аргумента к числу , значения функции приближаются к некоторому числу , то число называют пределом функции в точке . Обозначается это так: .

Попробуем объяснить это «на пальцах». Пусть задана функция . Выбираем значения х такие, чтобы они плавно приближали нас к некоторому числу а. Например, числа 0,5; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1 приближаются к 0. Это могут быть и отрицательные числа. Вычисляя значения в каждой из этих точек, мы обнаружим, что эти значения приближаются к некоторому числу. Это число и есть предел функции при .

Например,

Т.е., при стремлении аргумента к единице, достаточно в функцию подставить вместо х эту единицу и посчитать полученный пример.

Ещё пример:

Мы привели самые простые примеры пределов, однако, их вычисление – это целый раздел математического анализа. В школьный курс этот раздел не входит. Поэтому, на этом и остановимся.

Введём теперь понятие производной.

Пусть функция определена на некотором интервале, и – два произвольных значения аргумента из этого интервала.

Определение. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента , т.е. .

Из этой формулы можно найти значение аргумента .

Определение. Разность между двумя значениями функции называется приращением функции .

Итак, основное определение:

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке , причём, она обязательно будет непрерывной в этой точке. Поэтому,

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если
.Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то она непрерывна на этом интервале.

Нахождение производной называется дифференцированием функции, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

Для того, чтобы понять, зачем нужна производная функции, рассмотрим её физический смысл.

Физический смысл производной. Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, т.е. – путь, пройденный точкой от начала отсчёта за время . Тогда за время точка пройдёт путь , а за время – путь . За промежуток времени точка пройдёт отрезок пути .

Отношение называется средней скоростью движения за время , а предел этого отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция , отношение определяет среднюю скорость изменения относительно изменения , а – мгновенную скорость изменения при .

Обобщая всё вышесказанное, заключаем:

• скорость есть производная координаты (пути) по времени, т.е.

или

Таким образом, делаем вывод:

Производная функции по аргументу есть мгновенная скорость изменения функции. В этом состоит физический смысл производной.

1. Для функции заполнить таблицу, указав для данного приращения аргумента соответствующее приращение функции .

1. Найти , если:

1. Рассмотреть приращение функции в точке как функцию от приращения аргумента и построить график функции :

1. Используя определение производной, найти производную функции:

1. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в указанной точке :

1. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в точке :

2. Точка движется по закону . Найти:

1. среднюю скорость движения точки за промежуток времени от до

2. мгновенную скорость движения;

3. скорость движения в момент времени

1. Точка движется по закону . Найти:

1. среднюю скорость движения точки за промежуток времени от до

2. мгновенную скорость движения;

3. скорость движения в момент времени

1. Точка движется по закону . Найти:

1. среднюю скорость движения точки за промежуток времени от до

2. мгновенную скорость движения;

3. скорость движения в момент времени

1. Точка движется по закону . Найти:

1. мгновенную скорость движения;

2. скорость движения в момент времени

1. Точка движется по закону . Найти:

1. мгновенную скорость движения;

2. скорость движения в момент времени

1. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в каждой точке её существования:

2. Пользуясь определением производной, выяснить, существует ли производная функции в точке

3. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции в каждой точке её существования:

4. Подобрать коэффициенты и так, чтобы функция была непрерывная в точке и имела в этой точке производную:

3