Россия, Печора
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 24.06.2024 09:17
Тарасенко Екатерина Валериевна
Преподаватель физики и математики
1 417
36 540 
Местоположение
Специализация
Методическая разработка по теме "Вычисление неопределенных интегралов"
Категория:
Математика
25.03.2019 11:58
Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка по теме "Вычисление неопределенных интегралов"»
|
| Министерство образования Республики Коми государственное профессиональное образовательное учреждение «Печорский промышленно-экономический техникум» (ГПОУ «ППЭТ») | ||||
| СЕРИЯ «УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ» | МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА урока по теме «Вычисление неопределенных интегралов» по дисциплине ОУД.03 Математика
2017 г. |
Цели урока:
дидактическая – сформировать навыки вычисления неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования и с помощью метода замены переменной;
воспитательная – формировать познавательную активность, навыки коммуникативного общения и самостоятельной работы в процессе выполнения совместной деятельности;
развивающая – развивать логическое мышление и вычислительные навыки.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма урока: практическое занятие.
Методы обучения:
частично-поисковый;
практический.
Организационные формы работы:
индивидуальная;
групповая;
фронтальная.
Применяемые технологии:
ИКТ с использованием приложения MS Power Point; ЭОР.
технология группового обучения.
Междисциплинарные связи:
Дисциплина ОУД.12 Информатика и ИКТ.
Дисциплина Фармакология.
Материально-техническое оснащение занятия: мультимедийное оборудование, дифференцированные задания, оценочный лист для студента, лист релаксации, презентация к уроку, раздаточный материал.
Литература и ресурсы:
Гусев В. А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля6 учебник для общеобразовательных учреждений нач. и сред.проф. образования/В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С. В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 384 с.
Богомолов Н. В. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. пособие для ссузов /Н. В. Богомолов, Л. Ю Сергиенко. – М.: Дрофа, 2013. – 236 с.
Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике с примерами решений / Г. М. Булдык. – Мн.: ООО "Юнипресс", 2012. – 400 с.
Сайт Online Test Pad [режим доступа http://onlinetestpad.com/ru-ru/Test/Pervoobraznaya-i-integral-25975/Default.aspx].
Требования к результатам освоения темы в рамках дисциплины ОУД.03 Математика:
Студент должен знать:
понятие неопределенного интеграла;
свойства неопределенного интеграла;
таблицу неопределенных интегралов;
методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, замены переменной.
Должен уметь:
вычислять неопределенные интегралы с помощью метода непосредственного интегрирования и замены переменной.
В рамках урока формируются следующие учебные и общие компетенции:
коммуникативная компетенция (умение общаться в процессе выполнения совместной деятельности, умение формулировать вопросы и отвечать на них);
когнитивная (персональная) компетенция (готовность к постоянному повышению образовательного уровня, потребность в актуализации и реализации своего личностного потенциала, способность самостоятельно приобретать новые знания и умения, способность к саморазвитию);
компетентность в сфере самостоятельной познавательной деятельности;
специальная компетенция (подготовленность к самостоятельному выполнению профессиональных действий, оценке результатов своего труда);
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности;
ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.
ХОД И СОДЕРЖАНИЕ УРОКА
| Структура и элементы урока | Цель этапа | Время | Содержание деятельности преподавателя | Содержание деятельности студентов |
| 1. Организационный момент.
| Организация работы, настрой на активную работу на уроке. | 2 мин | Приветствие студентов. Настрой на активную работу на уроке, свободное общение с преподавателем. |
Студенты приветствуют преподавателя, настраиваются на работу на уроке. |
| 2. Целеполагание. | Формулировка темы и целей занятия. | 5 мин | Формулировка темы и целей занятия. Сообщение о формах работы на уроке (Слайд 1). Студентам предлагаю разделиться на мини группы по 3 человека, каждому студенту выдаю «Лист самооценки», в который необходимо вносить количество баллов, заработанных на уроке и лист рефлексии «Мои ожидания»/ «Мои достижения» (Приложение 1,2). Предлагаю заполнить первую колонку листа рефлексии: "Мои ожидания".
|
Непосредственная подготовка к занятию. Студенты записывают тему занятия; включаются в процесс формулировки цели занятия.
Студенты делятся на группы, знакомятся с "Листом самооценки"; заполняют первую колонку листа рефлексии: "Мои ожидания". |
| 3. Актуализация знаний. | Повторение теоретического материала, необходимого для работы на уроке. | 10 мин | 1. Предлагаю студентам повторить теоретический материал необходимый для работы на уроке: понятия и основные свойства первообразной и неопределенного интеграла; таблицу неопределенных интегралов. Для этого каждой группе студентов выдаю разноуровневые тесты (3 варианта) и инструкции (в устной форме) для их выполнения (Приложение 3). Студентам необходимо распределить задания между членами группы и выполнить их. На выполнение теста отводится 5 минут.
2. Предлагаю студентам сравнить свои ответы с эталонами ответов на слайде презентации ( Приложение 4, Слайд 2-4) и, используя критерии оценки (каждое правильно выполненное задание оценивается в 1 балл), оценить свою работу. | Студенты получаю задания (Приложение 3), распределяют их между членами группы и начинают выполнять. При необходимости консультируются с преподавателем или с членами группы.
Студенты сравнивают результаты с эталоном ответа и оценивают свою работу (заносят данные в "Лист самооценки"). |
| 4. Обобщение и систематизация ранее изученного материала. | Обобщение и систематизация материала, необходимого для вычисления интегралов. | 18 мин | 1. Предлагаю студентам, используя мультимедийную презентацию, вспомнить основные методы вычисления неопределенных интегралов (Слайд 5). - Мы изучаем три метода вычисления неопределенных интегралов: метод непосредственного интегрирования; метод подстановки (замены переменной) и интегрирование по частям. Сегодня работаем с первыми двумя методами. Метод непосредственного интегрирования основан на применении основных свойств неопределенного интеграла и сведении их к табличным. При этом подынтегральную функцию необходимо предварительно преобразовать. Метод замены переменной основан на применении формулы, являющейся следствием правила дифференцирования сложной функции: При этом за новую переменную принимают ту часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой остается оставшаяся часть подынтегрального выражения. Давайте на примерах рассмотрим предложенные методы (Слайды 6-13). По мере демонстрации примеров №1-№7 делаю необходимые пояснения. 2. После просмотра презентации предлагаю студентам, используя приведенные примеры, разработать алгоритмы вычисления интегралов методом непосредственного интегрирования и замены переменной (работа в группах). 3. Предлагаю студентам оценить свою работу, сравнив разработанные алгоритмы с эталонами алгоритмов (Приложение 5, Слайды 14-15) (каждый правильный шаг алгоритма оценивается в 1 балл).
4. Предлагаю обсудить результаты самостоятельной работы и трудности, возникшие в результате ее выполнения; отвечаю на вопросы студентов. |
Студенты смотрят презентацию, случают пояснения преподавателя; задают вопросы: - Всегда ли надо преобразовывать подынтегральную функцию? (Нет. Если подынтегральная функция представляет собой сумму или разность элементарных функций, то сразу воспользовавшись 3 свойством неопределенного интеграла, представляем интеграл в виде суммы или разности табличных интегралов.). - Как определить, что принять за новую переменную? (За новую переменную принято принимать промежуточный аргумент сложной функции). - Обязательно ли выполнять обратную замену. (Да, поскольку первоначальный интеграл содержал переменную х).
Студенты, работая в группах, самостоятельно разрабатывают алгоритмы вычисления интегралов методом непосредственного интегрирования и замены переменной. Студенты сравнивают разработанные алгоритмы с эталонами алгоритмов и оценивают свою работу согласно критериям.
Студенты задают вопросы по выполнению задания и обсуждают результаты: - Можно ли разделить первый шаг алгоритма непосредственного вычисления на два? (Да, если вам так удобнее). - Почему надо выражать дифференциал старой переменной, через новую? (Чтобы полученный после замены переменной интеграл содержал только одну переменную).
|
| 5. Закрепление изученного материала. | Формирование навыков вычисления неопределенных интегралов. | 30 мин | 1. Предлагаю студентам вычислить у доски и в тетрадях пять интегралов методом непосредственного интегрирования, при этом подробно комментируя выполнение действий. При необходимости консультирую студентов. Каждое правильно выполненное задание с подробными комментариями оценивается в 2 балла. Вызываю к доске последовательно пять студентов. 1. 2. 3. 4. 5. 2. Предлагаю студентам вычислить у доски и в тетрадях пять интегралов методом замены переменной, при этом подробно комментируя выполнение действий. При необходимости консультирую студентов. Каждое правильно выполненное задание с подробными комментариями оценивается в 2 балла. Вызываю к доске последовательно пять студентов. 1. 2. 3. 4. 5
3. Для закрепления материала предлагаю студентам самостоятельно вычислить несколько интегралов рассмотренными методами (тренинг, индивидуальная работа). (Приложение 6, Слайд 16) 4. Предлагаю студентам выполнить взаимопроверку, при необходимости они могут обратиться к эталонам ответов на слайде презентации (Слайд 16, Приложение 7) и, используя критерии оценки, оценить работу одногруппника (каждое правильно выполненное задание оценивается в 2 балла). 5. Предлагаю обсудить результаты тренинга и трудности, возникшие в результате его выполнения. |
Студенты вычисляют интегралы у доски или в тетрадях.
Студенты вычисляют интегралы у доски или в тетрадях.
Студенты выполняют задания (Приложение 6, Слайд 16).
Студенты выполняют взаимопроверку, при необходимости обращаются к эталонам ответов (Слайд 16), оценивают работу одногруппников (заносят данные в "Листы самооценки").
Студенты делятся впечатлениями и обсуждают результаты тренинга. |
| 4. Решение прикладных задач | Решение профессионально-направленных задач | 10 мин | Рассказываю студентам о применении интеграла к решению профессионально-направленных задач. - Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Мне хотелось бы остановиться на применении интеграла к решению задач, имеющих медицинское содержание. Давайте рассмотрим следующую задачу (Слайд 18): В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Скорость восстановления недостатка железа определяется соотношением Решение: Нам дана скорость восстановления недостатка железа. Так как интегрирование является операцией обратной дифференцированию, то вычислив интеграл от
Полученный интеграл вычислим методом замены переменной:
Постоянную С определим, используя начальные условия
Итак, закон восстановления недостатка железа имеет вид:
На последующих уроках мы поговорим о применении интегралов более подробно. |
Студенты смотрят презентацию, случают пояснения преподавателя; записывают решение задачи в тетрадь. |
| 5. Контроль знаний. | Определение уровня усвоения знаний и умений. | 10 мин | 1. Предлагаю выполнить online тестирование по данной теме на сайте Online Test Pad [режим доступа http://onlinetestpad.com/ru-ru/Test/Pervoobraznaya-i-integral-25975/Default.aspx].
2. Результаты тестирования занести в "Лист самооценки". |
Студенты выполняют online тестирование.
Результаты тестирования заносят в "Лист самооценки". |
| 6. Подведение итогов занятия и выставление оценок. | Подведение итогов, педагогическое оценивание.
Рефлексия. | 3 мин | 1. Предлагаю студентам оценить проделанную на уроке работу, выставив себе оценки; делаю необходимые замечания. 2. Предлагаю заполнить вторую колонку листа рефлексии: "Мои достижения". |
Студенты выставляют оценки, в соответствии с предложенными критериями. Слушают преподавателя.
Студенты заполняют лист рефлексии, делятся своими впечатлениями об уроке. |
| 7. Домашнее задание. | 2 мин | Преподаватель дает домашнее задание: Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике». Гл.11, п.1, стр.194, №25(1,2), №26(3,4). |
Студенты записывают задание в тетради. | |
. ; 
, где 
- время в сутках. Определите закон восстановления недостатка железа. 
, получим требуемый закон.
.
мг.
.
.Приложение 1
Лист самооценки студента группы М-106
_______________________________________________________________
(Фамилия И. О.)
| Вид задания | Критерии | Максимальное количество баллов | Количество баллов |
| Тест | За каждый правильный ответ 1 балл | 5 баллов |
|
| Разработка алгоритмов | За каждый правильный шаг 1 балл | 10 баллов |
|
| Решение задачи у доски | За каждое правильное решение задачи с комментарием - 2 балла | 2 балла |
|
| Тренинг | За каждое правильное решение задачи - 2 балла | 12 баллов |
|
| online тестирование |
| 7 баллов |
|
| Суммируйте все ваши баллы | 36 баллов |
| |
| Если вы набрали (31-36) баллов, поставьте оценку | 5 | ||
| Если вы набрали (26-30) баллов, поставьте оценку | 4 | ||
| Если вы набрали (20-25) баллов, поставьте оценку | 3 | ||
| Если вы набрали (0-19) баллов, поставьте оценку | 2 | ||
| Ваша оценка |
| ||
Приложение 2
Лист рефлексии "Мои ожидания"/"Мои достижения" студента группы М-106
____________________________________________________________
(Фамилия И. О.)
| Вид задания | Мои ожидания | Мои достижения |
| Тест |
|
|
| Разработка алгоритмов |
|
|
| Решение задач у доски |
|
|
| Тренинг |
|
|
| online тестирование |
|
|
Приложение 3
Тест по теме "Неопределенный интеграл, его свойства и формулы"
Вариант 1
Закончите предложения:
1. Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют ...
2. .... называют неопределенным интегралом и обозначают ...
3. Теорема. Если 
является первообразной функции
на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид…
4. Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается …., то интеграл найден верно.
5. Интегрирование - операция обратная ...
Вариант 2
Заполните таблицу
| Свойства неопределенного интеграла | № | Формула |
|
| 1 |
|
| Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла | 2 |
|
|
| 3 |
|
| Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению | 4
|
|
| Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С | 5
|
|
Вариант 3
Заполните пропуски
1.
2.
3.
4.
5.
Критерии оценивания: Каждое правильно выполненное задание оценивается в 1 балл. Максимальное количество - 5 баллов
Приложение 4
Ответы-эталоны
к тесту по теме "Неопределенный интеграл, его свойства и формулы"
Вариант 1
Заполните пропуски
1. Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.
2. Множество первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают .
3. Теорема. Если является первообразной функции на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид .
4. Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральная функция, то интеграл найден верно.
5. Интегрирование - операция обратная дифференцированию.
Вариант 2
Заполните таблицу
| Свойства неопределенного интеграла | № | Формула |
| Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции |
1 |
|
| Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла |
2 | |
| Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций |
3 |
|
| Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению |
4
| |
| Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С |
5
|
|
Вариант 3
Заполните пропуски
1.
2.
3.
4.
5.
Приложение 5
Эталоны вычислительных алгоритмов
1) Алгоритм вычисления неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования:
1. Преобразуем подынтегральную функцию.
2. Представляем интеграл в виде суммы или разности интегралов.
3. Выносим постоянные множители за знаки интегралов.
4. Сводим полученные интегралы к табличным интегралам.
5. Вычисляем интегралы и записываем ответ.
2) Алгоритм вычисления неопределенных интегралов методом замены переменной:
1. Определяем, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.
2. Определяем, какую часть подынтегральной функции нужно заменить и записываем замену.
3. Вычисляем дифференциал новой переменной, выражаем старый дифференциал через новый.
4. Производим замену и вычисляем полученный интеграл с помощью таблицы интегралов.
5. Возвращаемся к старой переменной и записываем ответ.
Приложение 6
Тренинг
Вычислите интегралы
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Приложение 7
Эталон ответов к тренингу
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
