Вычисление статических моментов и координат центров тяжести материальной кривой

ББК 22.21

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ И КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ МАТЕРИАЛЬНОЙ КРИВОЙ

А.С. Тирский, старший преподаватель кафедры

«Естетственных и технических наук»,

К.В. Майоров, студент группы Мех 09

Олёкминский филиал
ФГБОУ ВПО Якутская ГСХА»,, г. Олёкминск

Как известно, математика все больше и больше внедряет свои методы в технические науки. Целью такого внедрения является оптимизация решения данной задачи. Кроме того, зачастую решить задачу можно только математически. Рассмотрим одну из таких задач механики «Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской материальной кривой»

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек соответственно с массами .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты: . Аналогично определяется статический момент этой системы: Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Пусть у=f(x) ( ) - Это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной плотностью . Для произвольного на кривой АВ найдется точка с координатами (х;у). выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий эту точку. Тогда масса этого участка будет равна . Примем за этот участок dl приближенно точку, отстоящую от оси Ох на расстояние у. Тогда дифференциал статического момента равен . Следователь но,

. Аналогично получаем:

.

Статические моменты кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести(центр масс). Центром тяжести материальной кривой у=f(x)( ) называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всей кривой у=f(x) относительно той же оси. Обозначим через - центр тяжести кривой АВ. Из определения центра тяжести следуют равенства: или

Отсюда,

Таким образом, получаем:

Литература:

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов – М. Высшая школа, 2001.- 345с.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов – М: Высшая школа, 1998.- 380с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч.1,Ч.2.:Учебн. пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.- 280с.