Задачи на комбинации фигур

Задачи на комбинации фигур.

Задача 1.  Трапеция со сторонами 2, 2, 2 и 4 вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости трапеции и проходящей через одну из вершин большего основания перпендикулярно этому основанию. Найдите объем тела вращения.

Ответ:   куб. ед.

Задача 2.  В конус помещены две сферы. Одна из этих сфер вписана в конус, а вторая касается первой сферы и конической поверхности, имея с ней общую окружность. Найдите отношение радиусов первой и второй сфер, если образующая конуса в три раза больше радиуса его основания.

Ответ: 2 : 1.

Задача 3. Внутри конуса расположены четыре равных шара радиуса r так, что каждый из них касается двух других шаров, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите объем конуса, если его образующие наклонены к плоскости основания под углом j.

Ответ: 

Задача 4.  Радиус сферы, вписанной в усеченный конус, равен r, радиус сферы, описанной около этого усеченного конуса, равен  Найдите угол между образующей усеченного конуса и его основанием.

Ответ: 0,5arccos 0,6.

Задача 5.  Плоскость α, образующая с осью цилиндра угол в 45°, делит ось в отношении1 : 3. Найдите площадь круга, по которому эта плоскость пересекает шар, вписанный в цилиндр, если высота цилиндра равна h.

Ответ:   кв. ед.

Задача 6.  В цилиндр помещены четыре попарно касающиеся сферы радиуса R = 3 так, что каждая сфера касается данной цилиндрической поверхности. При этом две сферы касаются нижнего, а две другие — верхнего оснований цилиндра. Найдите объем этого цилиндра.

Ответ:   куб. ед.

Задача 7. Одна из образующих цилиндра расположена на диаметре шара, а две другие являются хордами этого шара. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, если расстояние между каждой из пар этих образующих равно 6, а радиус шара равен 10. Определите, весь ли цилиндр находится внутри шара?

Ответ: нет, часть цилиндра расположена вне шара.

Задача 8. На плоскости лежат цилиндр радиуса R и два шара радиуса r (R  r). Цилиндр касается плоскости по своей образующей; шары касаются друг друга и боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус шара, большего, чем данные, касающегося обоих данных шаров, боковой поверхности цилиндра и плоскости.

Ответ: 

Задача 9.  Три равные сферы радиуса 6 касаются друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих сфер, если ее центр лежит в плоскости центров трех данных сфер.

Ответ: ; .

Задача 10.  В вершинах правильного тетраэдра с ребром 18 расположены центры четырех равных сфер, попарно касающихся друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих сфер.

Ответ: ; .