Задачи на взвешивания, 5 класс

Задачи на взвешивание –

достаточно распространённый вид математических задач.

В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний.

Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Буратино и Кот Базилио

У Буратино есть 27 золотых монет . Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих.

Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету? 

Показать решение

• Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет.
• Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке).
• Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета.
• Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части.

Задача решена.

Золушка

Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет : из них 8 настоящих, а одна фальшивая – она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания? 

Показать решение

• Разделим 9 монет на 3 равных кучки.
• Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке).
• Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.

Фальшивая монета 2

Имеется 8 монет . Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания какая из монет фальшивая. 

Показать решение

• Делим монеты на две равные кучки – по 4 монеты в каждой. Взвешиваем.
• Ту кучку, которая легче, опять делим на две одинаковых кучки – теперь по две монеты в каждой.
• Взвешиваем.
• Определяем, какая из них легче.
• Кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки.
• Фальшивая та, которая легче.

Задача решена.

Фальшивая монета 3

Имеется 10 монет .

Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты.

Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая? 

Показать решение

• Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет.
• Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета.
• Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета.
• Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче.
• Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая.

Задача решена.

Лиса Алиса и Кот Базилио

Лиса Алиса и Кот Базилио – фальшивомонетчики.

Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса – легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна – фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету – Кот Базилио или Лиса Алиса? 

Показать решение

Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет.

При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке.

Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую – столько настоящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее.

Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие.

Тогда Буратино уберет с весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее.

Задача решена.

Буратино

Буратино имеет четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Как Буратино определить фальшивую монету? Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется? 

Показать решение

• Разделим монеты на 2 равных кучки – по 2 монеты.
• Положим на чаши весов. В более легкой кучке находится фальшивая монета.
• Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая.

Буратино потребуется два взвешивания.

Задача решена.

Дядюшка Скрудж

Дядюшке Скруджу принесли 8 одинаковых по виду монет, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Помогите Скруджу определить фальшивую монету. Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?

Показать решение

Разделим монеты на кучки по 3, 3, 2 монеты.

Положим на чаши весов кучки по 3 монеты – по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка. 

1 случай. Если весы покажут равенство, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда кладем на чаши весов монеты из третьей кучки. Фальшивкой будет та, которая легче. 

2 случай. Если весы покажут неравенство. Тогда кладем на чаши весов по монете из более легкой кучки; если установилось равенство, то фальшивкой является третья монета из этой кучки; если неравенство – то более легкая монета и есть фальшивка. Следовательно, Скруджу потребуется минимум два взвешивания.

Задача решена.