Задачи ВСОШ школьного тура по математике.

2020 год.

Задачи ВСОШ школьного тура по математике.

10 класс

10.1. К бабушке приехали 11 внучат — все дети двух ее дочерей. Одна из внучек сказала: «Ой, а здесь у меня в два раза больше сестричек, чем дома», а другая ответила: «Здесь у меня в три раза больше сестричек, чем дома». Сколько внуков и сколько внучек у бабушки?

10.2. В ромбе ABCD ∠A = 60◦ и проведены биссектрисы углов BAC, BCA, ACD и DAC. Докажите, что точки пересечения этих биссектрис со сторонами ромба являются вершинами квадрата.

10.3. Футбольные команды «Спартак», «Зенит» и «Динамо» сыграли турнир в один круг. «Спартак» в двух своих матчах забил 6 голов, «Зенит» в двух своих матчах пропустил 8 голов, а команда «Динамо» в двух своих матчах сколько забила, столько и пропустила. Докажите, что в матче «Зенит» — «Динамо» было забито не менее 4 голов.

10 класс. Ответы и решения.

10.1. К бабушке приехали 11 внучат — все дети двух ее дочерей. Одна из внучек сказала: «Ой, а здесь у меня в два раза больше сестричек, чем дома», а другая ответила: «Здесь у меня в три раза больше сестричек, чем дома». Сколько внуков и сколько внучек у бабушки?

Решение.

Способ 1. Эти внучки — дочки разных мам. Пусть a — число дочек у одной мамы, b — число дочек у другой мамы. Тогда 2(a − 1) = a + b − 1, 3(b − 1) = a + b − 1. Отсюда a = b + 1, 3b − 3 = 2b, b = 3, a = 4. Тогда общее число внучек 7, а внуков — 4.

Способ 2. У каждой внучки число ее сестренок, включая двоюродных, одно и то же, при чем по словам первой оно кратно 2, по словам второй — кратно 3. Тогда оно кратно 6. Но общее число внучат равно 11, следовательно каждая внучка могла насчитать только 6 сестренок. Тогда общее число внучек 7, а внуков 4. Проверка показывает, что такая ситуация возможна, например если родных сестер у одной в 3, а в другой в 2 раза меньше, то есть, у одной две, а у другой три родных сестры, то каждая насчитает 6 сестренок. Ответ: 7 внучек, 4 внука.

Рекомендации по проверке. При втором способе доказательства — через делимость — необходима проверка полученного решения, фактически надо проверить число сестренок 7=3+2+1+1. Отсутствие этого пункта является небольшой ошибкой и карается в 1 балл. При первом способе доказательства — через уравнение — проверка решения не требуется. Правильно составленное уравнение даже без решения оценивается в 4 балла.

10.2. В ромбе ABCD ∠A = 60◦ и проведены биссектрисы углов BAC, BCA, ACD и DAC. Докажите, что точки пересечения этих биссектрис со сторонами ромба являются вершинами квадрата. Рис. 7: к решению задачи 10.5 Решение.

Способ 1. Пусть биссектриса угла BAC пересекает сторону AC в точке K, биссектриса угла BCA — AB в точке N, биссектриса угла DAC — сторону DC в точке L и биссектриса угла ACB — сторону AD в точке M (см. рис. 7). По свойству биссектрис угла BK/KC = AB/AC, BN/NA = BC/AC, DL/LC = AD/AC и DM/MA = DC/AC. Так как все стороны ромба равны, все отношения также равны и AN = CK = CL = AM. Отсюда следует четырех треугольников ANC, AKC, ALC и AMC, равенство их высот, опущенных на AC, и параллельность прямых NK, ML и AC. Аналогично устанавливается параллельность прямых NM, KL и BD. Таким образом, в четырехугольнике KLMN противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограммом. А так как его стороны параллельны диагоналям ромба, которые, как известно, перпендикулярны, KLMN — прямоугольник. Из подобных треугольников BNK и BAC видим, что NK AC = BK BC , а тогда NK = AC BC ·BK = AN NB ·BK = AN. Треугольник ANM — равнобедренный с углом A = 60◦ , стало быть, он равносторонний. Тогда BK = AN = NM, и стороны прямоугольника KLMN равны. Значит, этот прямоугольник — квадрат.

Способ 2. Пусть биссектриса угла BAC пересекает сторону AC в точке K, отразим эту биссектрису относительно прямой BD. В силу симметричности ромба новый отрезок будет биссектрисой угла BCA, обозначим его через CN. По свойству зеркального отражения KN будет перпендикулярен BD, а следовательно параллелен AC как другой диагонали ромба. Аналогично отражая эти две биссектрисы относительно AC получим новые биссектрисы: CM у угла ACD и AL у угла CAD, вновь, в силу свойств зеркального отражения NM и KL будут перпендикулярны AC (а значит и KN), кроме того KN = LM, AN = AM (расстояния сохраняются). Тогда KLMN — параллелограмм (KN = LM, NMkKL) 18 имеющий два прямых угла: NM⊥KN⊥KL, то есть, прямоугольник. Поскольку NKkAC, то ∠NKA = ∠CAK равны как накрест лежащие, углы NAK, CAK равны по свойству биссектрисы AK. Тогда треугольник NAK — равнобедренный и AN = NK. Ранее показано, что AN = AM, следовательно, треугольник NAM равнобедренный, то есть, равносторонний (угол NAM равен 60◦ ). Тогда MN = AN = NK. Таким образом, KLMN — квадрат.

Рекомендации по проверке. Возможны и принципиально другие решения, например, с использованием тригонометрии, векторов, координатного метода и т.п. Они не лучше и не хуже приведенных. При их оценке следует иметь в виду следующее: если ход решения прописан до конца, то оценка задачи 4 балла или выше; ошибки в счете караются вычитанием 1 балла; ошибки в тригонометрических формулах — вычитанием 3 баллов. Если доказательства нет, и из выкладок не видно, как автор собирается его получать, то в зависимости от продвижения оценка задачи не более 2 баллов.

10.3. Футбольные команды «Спартак», «Зенит» и «Динамо» сыграли турнир в один круг. «Спартак» в двух своих матчах забил 6 голов, «Зенит» в двух своих матчах пропустил 8 голов, а команда «Динамо» в двух своих матчах сколько забила, столько и пропустила. Докажите, что в матче «Зенит» — «Динамо» было забито не менее 4 голов.

Решение.

Пусть матчи «Спартак» — «Зенит», «Спартак» — «Динамо» и «Зенит» — «Динамо» завершились соответственно со счетами a : b, c : d и e : f. По условию a + c = 6, a + f = 8 и c + e = d + f. Вычитая из второго уравнения первое, находим, что f − c = 2, откуда f 2, так как все значения переменных неотрицательны. Из третьего условия находим e − d = f − c = 2, поэтому также e 2. Но тогда f + e 4, что и требуется доказать. Словесное описание решения. «Спартак» «Зениту» не мог забить больше 6 голов, значит оставшиеся до 8 (то есть, не меньше 2) на счету «Динамо» в матче «Зенит» — «Динамо». Более того, отсюда разность между забитыми «Зениту» командой «Динамо» и забитыми «Спартаком» в матче с «Динамо» равна двум. Поскольку команда «Динамо» забила, столько же сколько пропустила, то двум равна и разность между забитыми «Зенитом» команде «Динамо» и забитыми динамовцами «Спартаку». Но тогда в матче «Зенит» «Динамо» команда «Динамо» пропустила не меньше двух голов. Забила также не меньше двух. Следовательно общее число голов в этом матче не меньше 4.

Рекомендации по проверке. За доказательство неравенства f 2 («Динамо» забил «Зениту» не меньше 2 голов) нужно давать 3 балла, если при этом доказано большее ( f − c = 2), то 4 балла. Полное доказательство того, что команда «Динамо» пропустила от «Зенита» не меньше двух голов (e 2), оценивается в 4 балла. Разбор любого числа частных случаев оценивается в 0 баллов. При доказательстве через «жадный» алгоритм (что-нибудь типа «легко видеть, что при число голов забитых в этом матче не увеличится, а значит можно считать, что »), если такое утверждение верно, то в зависимости от ясности обоснования снимается от 0 до 2 баллов; в случае если это утверждение неверно, то все решение оценивается в 0 баллов. Отметим, что возможна ситуация, когда в этом матче забито было ровно четыре гола, по 2 с каждой стороны, таким образом любая оценка вида f 3, e 3, f − e 1 является неверной.

6 класс.

6.1. Какой цифрой оканчивается сумма 26∙27∙28∙29+51∙52∙53∙54=?

6.2. Восстановите ребус, в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры: КОКА + КОЛА = ВОДА.

6.3. Разделите квадрат 5×5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.

6 класс. Ответы и решения.

6.1. Какой цифрой оканчивается сумма 26∙27∙28∙29+51∙52∙53∙54=?

Решение.

Перемножив только единицы, фиксируя в частности только последние цифры. Получаем, что сумма оканчивается на 8.

6.2. Восстановите ребус, в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры: КОКА + КОЛА = ВОДА.

Решение. 3930 + 3980 = 7910.

6.3. Разделите квадрат 5×5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.

Решение.