Задание 14. Вариант 11 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. Вариант 11 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : МС = 1:5. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решение.

а) Пусть плоскость α пересекает ребро SB в точке L. Поскольку прямая ВС параллельна плоскости α, прямые LM и ВС параллельны, а значит,

SL : LB = SM : МС = AK : KB.

Следовательно, прямые KL и SA параллельны. Таким образом, плоскость α, содержащая прямую KL, параллельна прямой SA.

б) Пусть точка Н — середина ребра ВС. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, плоскость ASH перпендикулярна плоскости α, параллельной прямой ВС, и плоскости SBC, содержащей прямую ВС.

Поскольку плоскость α параллельна прямой SA, лежащей в плоскости ASH, искомый угол равен углу между прямой SA и плоскостью SBC. Таким образом, угол между плоскостями α и SBC равен углу ASH. В треугольнике ASH имеем:

AS = 7, АН = 3√3,

.

По теореме косинусов

и угол ASH, равен:

Ответ:  .