Задание 14 вариант 14 егэ 2018

Задание 14. В правильной четырехугольной призме ABCA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE:EA1=1:2.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Решение.

а) Построение. Точка пересечения   прямых   и  :  , показана на рисунке ниже. Точка   - общая точка плоскостей ABC и  . Плоскости ABC и   пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что  . Учитывая, что  , следует   (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как

.

По условию задачи  , следовательно,  , а  . Треугольник   подобен треугольнику   с коэффициентом подобия  . Следовательно, отрезок  . Найдем длину отрезка   из прямоугольного треугольника ANB:

.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB:

,

откуда

.

Таким образом,

и

.